Association Bourbaki

Pour les articles homonymes, voir Bourbaki.

Nicolas Bourbaki est un mathématicien imaginaire, sous le nom duquel un groupe de mathématiciens francophones, formé en 1935 à Besse-et-Saint-Anastaise en Auvergne sous l'impulsion d'André Weil, a commencé à écrire et éditer des textes mathématiques à la fin des années 1930. L'objectif premier était la rédaction d'un traité d'analyse. Le groupe s'est constitué en association, l'Association des amis de Nicolas Bourbaki, le 30 août 1952. Sa composition a évolué avec un renouvellement constant de générations.

Sous le nom Nicolas Bourbaki fut publiée une présentation cohérente des mathématiques, appuyée sur la notion de structure, dans une série d'ouvrages sous le titre Éléments de mathématique. Cette œuvre est à ce jour inachevée. Elle a eu une influence sur l'enseignement des mathématiques et sur l'évolution des mathématiques du XX^e siècle. Toutefois, elle connaît de nombreuses critiques : incompatibilité^{[réf. nécessaire]} entre le formalisme retenu et la théorie des catégories, style trop rigoureux^{[réf. nécessaire]}, manque d'exemples, incompréhension des étudiants, etc.

L'activité du groupe cependant a dépassé la rédaction d'ouvrages, par exemple avec l'organisation des séminaires Bourbaki.

[modifier] Explications sur la biographie imaginaire

[modifier] Bourbaki

Le nom de famille Bourbaki était le nom emprunté par Raoul Husson en 1923 lors d'un canular, alors qu'il était élève en troisième année de l'École normale supérieure. Il s'était donné l'apparence d'un mathématicien barbu du nom du professeur Holmgren pour donner une fausse conférence, volontairement incompréhensible et avec des raisonnements subtilement faux^[1]. L'objectif aurait été la démonstration d'un prétendu « théorème de Bourbaki ». Cette histoire amusa tellement le groupe, que le nom « Bourbaki » fut choisi.

Le choix de ce nom par Husson connaît trois explications possibles :

• Bourbaki vient du général Charles Bourbaki sous lequel avaient servi des élèves normaliens durant la guerre de 1870. Ce nom lui aurait été emprunté, par souvenir ;
• Bourbaki est le nom d'un furet curieux et intelligent dans un roman d'Octave Mirbeau, Le Journal d'une femme de chambre (1900). Cette seconde explication a été proposée par le mathématicien Sterling K. Berberian en 1980, mais n'a été confirmée par les propos d'aucun membre du groupe ;
• Bourbaki est la conjonction de deux termes contradictoires en hébreu: בור - prononcé Bour signifiant : ignorant et בקי - prononcé Baki signifiant : compétent ;
• Pour une autre hypothèse, voir : François Laubie, « A Mathematician called Bourbaki », The Mathematical Intelligencer, n^o 29, 2007, p. 7-8.

Le nom Bourbaki a été arrêté en juillet 1935 lors du congrès fondateur de Besse-en-Chandesse.

Extrait d'une lettre^[2] de Jean Dieudonné à la rédaction du Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques :

« [Le nom de Bourbaki] est effectivement une idée de Weil. A Aligarh, il s'était lié avec un mathématicien hindou D. Kosambi, lequel avait une querelle avec un de ses collègues dont, je ne sais pas le nom. Weil lui suggéra pour faire « perdre la face » à son adversaire de publier un article où il ferait référence à un mémoire imaginaire que l'autre évidemment ne connaitrait pas et en serait humilié. L'article est effectivement paru sous le titre : On a generalization of the second theorem of Bourbaki, Bull. Acad. Sci. Allahabad, vol. 1., 1931-1932, p. 145-147. [...] Ce dernier a été dûment analysé dans Jahrbuch, tome. 58, 1932, p. 734, par Schouten^[3]. Il est dit en effet qu'un mathématicien russe du nom de D. Bourbaki aurait publié un théorème sur les dérivées covariantes que Kosambi généralise dans l'article ; Kosambi disait dans l'article que le mémoire lui aurait été signalé par A. Weil, mais Schouten a cru que c'était une erreur de nom et a dit dans son compte-rendu que c'était H. Weyl qui aurait signalé le mémoire russe à Kosambi, et il ajoute qu'il ne sait pas dans quel périodique a paru le mémoire. »

[modifier] Prénom

Le prénom Nicolas a été choisi par Éveline de Possel^[4] à la fin de 1935^[5], afin que puisse être communiquée une fausse note biographique à l'académie des sciences.

Toutefois, la mention N. Bourbaki dans les premiers écrits publiés sous ce nom ne renvoie pas à l'initiale de Nicolas. N était écrit tant que le nom du professeur était inconnu^[6].

Depuis les débuts, les Éléments de mathématique sont publiés sous le nom de N. Bourbaki. Le seul ouvrage publié sous le nom de Nicolas Bourbaki se trouve être les Éléments d'histoire des mathématiques. On remarquera que si le mathématicien N. Bourbaki parle de « mathématique », l'historien Nicolas Bourbaki parle des mathématiques.

[modifier] Poldèvie

En 1935, dans une lettre à Élie Cartan, Weil introduit N. Bourbaki comme un professeur de Poldèvie, pays imaginaire d'Europe centrale. D'après Maurice Mashaal, ce risque pris fut une nécessité pour pouvoir publier des travaux sous ce pseudonyme. Une prétendue nation poldève avait déjà été évoquée en 1929 par le journaliste d'Action française Alain Mellet pour mystifier les députés républicains de gauche^[7].

Le nom Poldévie est resté. Il est notamment mentionné comme le lieu de travail de Nicolas Bourbaki dans la Notice sur la vie et l'œuvre de Nicolas Bourbaki.

[modifier] Histoire de Bourbaki

[modifier] Origines

Théorie des ensembles, premier tome des Éléments de mathématique, 1970, chez Herman.

Le groupe Bourbaki s'est constitué dans un contexte où une génération de mathématiciens potentiels avait été décimée par la Première Guerre mondiale. Les jeunes normaliens qui constituèrent le groupe se trouvaient donc sans prédécesseurs immédiats au sein de l'Université, sauf Gaston Julia, et avaient pour interlocuteurs des chercheurs du XIX^e siècle (Élie Cartan, Henri Lebesgue, Jacques Hadamard^[8], Picard, Goursat). La critique de Bourbaki portait sur :

• l'émiettement des mathématiques en spécialités étanches ;
• la pré-éminence d'une analyse foisonnante mais manquant de rigueur ;
• l'ignorance (explicable en partie par le contexte politique) de branches actives à l'étranger, particulièrement l'algèbre développée en Allemagne.

À l'origine, au début de leurs prises de fonction à l'université de Strasbourg, Henri Cartan et André Weil se retrouvent à devoir enseigner l'intégration et le calcul différentiel. Ils sont alors peu satisfaits des traités disponibles, en particulier du Traité d'analyse d'Édouard Goursat qu'ils utilisent pour leur cours.

Leur vient alors l'idée de réunir des amis, également anciens camarades de l'École normale supérieure de la rue d'Ulm (sauf Szolem Mandelbrojt), avec la volonté de rédiger un tel traité les satisfaisant. Le groupe d'amis, les membres fondateurs de ce qui deviendra Bourbaki, est à cette époque composé d'André Weil^[9] et Jean Delsarte (promotion 1922), d'Henri Cartan, Jean Coulomb et René de Possel (promotion 1923), Jean Dieudonné et Charles Ehresmann (promotion 1924), Claude Chevalley (promotion 1926) et Szolem Mandelbrojt.

Parmi les règles qui organisent ce groupe secret de mathématiciens, il est décidé qu'à l'âge de 50 ans, tout membre de Bourbaki devra céder sa place aux jeunes générations. Pour l'anecdote, André Weil, à l'occasion de la fête d'anniversaire des 50 ans de Dieudonné, fit lire au groupe Bourbaki une lettre où il annonçait son retrait du groupe, car il avait lui-même dépassé l'âge limite. Cet éclat (chose à laquelle on peut s'attendre de la part de Weil) eut son effet mais les cinquantenaires traînèrent un peu les pieds pour partir.

La première réunion de travail a lieu dans un café du quartier latin^[10] en décembre 1934. En juillet de l'année suivante, le groupe se retrouve pour la première fois à Besse-en-Chandesse. Ils pensent alors que trois ans seront suffisants pour mener l'entreprise à son terme. En fait, le premier chapitre nécessitera quatre ans de travail et, très rapidement, c'est un traité sur la mathématique qui devient le projet du groupe : les Éléments de mathématique, œuvre collective publiée sous le pseudonyme de N. Bourbaki. L'ampleur de la tâche fait qu'elle se poursuit encore...

[modifier] L'âge d'or de Bourbaki

Le premier volume des Éléments de mathématique à être publié, en 1939, fut le Fascicule de résultats de la Théorie des ensembles. La publication des volumes suivants ne respecta pas l'ordre du traité (Théorie des ensembles, Algèbre, Topologie générale, ...).

Même si Nicolas Bourbaki n'est pas mort aujourd'hui, on considère que l'influence de Bourbaki a été la plus importante dans les années 1960-70. À cette époque, son importance était telle que les choix réalisés par Bourbaki ont influencé toute la recherche française en mathématiques, et peut-être même l'enseignement à travers la réforme Lichnerowicz^{[réf. nécessaire]}.

Nicolas Bourbaki totalise 5 médailles Fields (la plus importante récompense en mathématiques) à travers Laurent Schwartz (1950), Jean-Pierre Serre (1954), Alexander Grothendieck (1966), Alain Connes (1982) et Jean-Christophe Yoccoz (1994).

[modifier] La mort de Bourbaki

Dans la lignée dadaïste de sa naissance, le faire-part de décès suivant fut publié pour annoncer la « mort » de Nicolas Bourbaki :

« Les familles Cantor, Hilbert, Noether ; les familles Cartan, Chevalley, Dieudonné, Weil ; les familles Bruhat, Dixmier, Samuel, Schwartz ; les familles Cartier, Grothendieck, Malgrange, Serre ; les familles Demazure, Douady, Giraud, Verdier ; les familles filtrantes à droite et les épimorphismes strictes, mesdemoiselles Adèle et Idèle ;

ont la douleur de vous faire part du décès de M. Nicolas Bourbaki, leur père, frère, fils, petit-fils arrière-petit-fils et petit-cousin respectivement pieusement décédé le 11 novembre 1968, jour anniversaire de la victoire, en son domicile de Nancago. La crémation aura lieu le samedi 23 novembre 1968 à 15 heures au cimetière des fonctions aléatoires, métro Markov et Gödel.
On se réunira devant le bar « aux produits directs », carrefour des résolutions projectives, anciennement place Koszul.

Selon les vœux du défunt, une messe sera célébrée en l'église Notre-Dame des problèmes universels, par son éminence le Cardinal Aleph 1 en présence des représentants de toutes les classes d'équivalence et des corps algébriquement clos constitués. Une minute de silence sera observée par les élèves des Écoles normales supérieures et des classes de Chern.

Car Dieu est le compactifié d'Alexandroff de l'univers, Grothendieck IV, 22. »

[modifier] Héritage et influence

[modifier] En mathématique

Ce que les mathématiques doivent à Bourbaki est essentiellement :

• un style, une façon d'écrire les mathématiques ;
• la vulgarisation en France des symboles ∀ et ∃ (l'un venant de Gentzen et l'autre de Peano) ;
• la vulgarisation du symbole ∅ introduit par André Weil et Claude Chevalley^[11] ;
• l'utilisation des symboles ⇐, ⇒ et ⇔ en logique ;
• la vulgarisation du lemme de Zorn ;
• la notion de structure ;
• la vulgarisation du symbole pour désigner le produit tensoriel et l'introduction du terme « algèbre multilinéaire » ;
• les termes partition, surjectif, injectif, boule, noethérien, artinien, factoriel ;
• les notions de « filtre » et d'« ultrafiltre » ;
• le terme « forme sesquilinéaire »^[12]
• l'introduction des termes « chambre » et « appartement » en théorie des immeubles de Tits et l'introduction des couples (B, N) en théorie des groupes de Lie^[13] ;
• une certaine attention à l'histoire des mathématiques développée dans quelques « notes » accompagnant la parution des Éléments^[14].

On est redevable à Bourbaki d'un travail de clarification des concepts, de précision dans la formulation, d'une recherche — parfois aride — de structure, de classification systématique et exhaustive des mathématiques.

[modifier] Dans d'autres disciplines

En littérature, l'Oulipo copie indéniablement la « méthode » Bourbaki de travail collectif et de mise en évidence systémique des structures profondes de la création littéraire. À noter qu'un membre important de l'Oulipo, Jacques Roubaud est un mathématicien qui a été très marqué par Bourbaki. C'est par exemple lui qui a écrit l'avis de décès de Bourbaki, sous forme de canular.

Le structuralisme lacanien ou celui de Lévi-Strauss en ethnologie, à la même époque, dénote d'une quête de structures fondamentales dont on peut débattre s'il s'agit de l'influence de Bourbaki ou d'un certain « air du temps »^[15].

Le philosophe des sciences Jules Vuillemin fut influencé par Bourbaki (La philosophie de l'algèbre).

Note critique

Il est inutile d'imaginer un groupe qui ait influencé les autres groupes. André Weil (1906) est sensiblement de la même génération qu'André Breton (1896), Jacques Lacan (1900), ou Claude Lévi-Strauss (1908). Tous ces groupes avaient atteint leur apogée en 1964.

Une rencontre s'est opérée géographiquement au mois de janvier 1964 lorsque le directeur de l'École normale, Robert Flacelière a mis à la disposition de Jacques Lacan une salle dans les locaux de son école. (Séminaire Livre XI, Les Quatre concepts fondamentaux de la psychanalyse).

D'un côté Jacques Lacan souhaitait la venue des mathématiciens pour formuler les structures algébriques et topologiques qu'il considérait à l'œuvre dans la psychanalyse ; de l'autre les mathématiciens voyaient là, peut-être avec un certain amusement, une application concrète des mathématiques fondamentales.

C'est sensiblement à cette époque que le groupe Bourbaki fit paraître la Théorie des ensembles dont Lacan fit un très grand usage.

Ce qui distinguerait le groupe des mathématiciens des autres groupes, ce serait son côté fermé et réservé aux mathématiciens de haut niveau de l'École normale supérieure, alors que le structuralisme prétendrait intéresser tous les praticiens des sciences humaines : littérature, politique, psychanalyse, ethnologie, linguistique.

Il y a bien sûr un point commun, qui est le retour aux sources, la recherche des fondements et la rupture épistémologique.

Mais les deux groupes sont néanmoins restés sur leur quant-à-soi.

[modifier] Mathématiciens ayant appartenu à Bourbaki

[modifier] Membres fondateurs

• André Weil
• Henri Cartan
• Claude Chevalley
• Jean Delsarte
• Jean Dieudonné
• Charles Ehresmann
• René de Possel
• Szolem Mandelbrojt

[modifier] Membres non-fondateurs

[modifier] Membres actuels

Les noms des membres actuels de Bourbaki sont tenus secrets.

[modifier] Références

[modifier] Notes

[modifier] Bibliographie

• Frédéric Patras, La Pensée mathématique contemporaine, coll. « Science, histoire et société », P.U.F., 2001 ; 2^e éd. 2002.
• Michèle Chouchan, Nicolas Bourbaki Faits et légendes, Édition du choix, 1995 (ISBN 2-909028-18-6).
• Maurice Mashaal, Bourbaki, une société secrète de mathématiciens, Pour la science, 2002 (ISBN 2-84245-046-9).
• (en) David Aubin, « The Withering Immortality of Nicolas Bourbaki: A Cultural Connector at the Confluence of Mathematics », Science in Context, n^o 10, 1997, p. 297-342, [pdf].
• (en) François Laubie, « A Mathematician called Bourbaki », The Mathematical Intelligencer, n^o 29, 2007, p. 7-8.
• Amir D. Aczel, Nicolas Bourbaki, Histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé, édition JC Lattès, 2009.
• Michèle Audin, La Vérité sur la Poldévie, 2009 .

[modifier] Liens

[modifier] Liens internes

• Éléments de mathématique
• Mathématiques
• Mathématiques modernes
• Bourbakisme

[modifier] Liens externes

• Page officielle de l'association
• Biographie sur (BibM@th)
• Notice Bourbaki sur le site Images des mathématiques
• Archives de l'Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki
• Séminaire Bourbaki sur Numdam
• Source des canulars « mariage » et « décès »
• Robert Mainard, Le Mouvement Bourbaki – Bourbaki à Nancy