Base orthonormale

Base orthonormale : encyclopédie mathématiques

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Une base orthonormale (BON) est une structure mathématique.

Sommaire

[modifier] Définitions

Soit E_n un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et $\mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n)$ , une base de E_n.

Si n = 1, alors $\mathcal B = ( \vec e_1)$ est dite orthonormale si et seulement si

$\| \vec e_1 \| = 1$

Si n > 1, alors $\mathcal B$ est orthonormale si et seulement si

$\| \vec e_1 \| = \| \vec e_2 \| = ... = \| \vec e_n \| = 1$

et,

pour tout $i \not = j$ , $\vec e_i \perp \vec e_j$ ( c'est-à-dire $( \vec e_i \cdot \vec e_j)$ = 0 )

Toute famille orthonormale est une famille libre, donc une base de E_n si elle contient n vecteurs. Une base orthonormale de E_n est donc une famille de n vecteurs 2 à 2 orthogonaux et de norme 1, c'est-à-dire, en utilisant le symbole de Kronecker, une famille $\mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n)$ vérifiant

$\forall i,j, ( \vec e_i \cdot \vec e_j) = \delta_{ij}$

Cette définition s'applique aussi sur un espace hermitien. Il correspond à une généralisation aux complexes d'un espace euclidien.

[modifier] Repère orthonormal (ou orthonormé)

Soient A_n un espace affine euclidien associé à l'espace vectoriel euclidien E_n et O un point quelconque de A_n, alors le repère

$\mathcal R = (\ O , \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n)$

est dit orthonormal si et seulement si sa base associée $\mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n)$ est elle-même orthonormale.

[modifier] En géométrie dans l'espace

En géométrie dans l'espace, la base est en général notée $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ au lieu de $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ .

La base est dite « directe » si $\vec{k}$ est le produit vectoriel de $\vec{i}$ et de $\vec{j}$ ( $\vec{k} = \vec{i} \wedge \vec{j}$ ).

Voir l'article Orientation (mathématiques).

[modifier] Propriétés

[modifier] Existence de bases orthonormales

Article détaillé : Procédé de Gram-Schmidt.

À partir d'une base quelconque d'un espace euclidien, le procédé de Gram-Schmidt fournit une méthode constructive pour obtenir une base orthonormale de cet espace. Notamment, on peut affirmer:

Dans tout espace euclidien de dimension non nulle, il existe des bases orthonormales.

En appliquant ce résultat à l'orthogonal de l'espace engendré par une famille orthonormale de p vecteurs de E_n, on établit le théorème de la base orthonormale incomplète:

Toute famille orthonormale de vecteurs d'un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormale de cet espace.

[modifier] Calculs dans une base orthonormale

Soit $\mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n)$ une base orthonormale de E_n.

La décomposition d'un vecteur de E_n dans cette base est donnée par:

$\forall \vec x \in E_n, \vec x=\sum_{i=1}^n (\vec e_i \cdot \vec x) \vec e_i$ .

L'expression du produit scalaire de deux vecteurs de E_n est alors donnée par:

$\forall \vec x , \vec y \in E_n, ( \vec x \cdot \vec y) =\sum_{i=1}^n (\vec e_i \cdot \vec x) (\vec e_i \cdot \vec y)$ .

L'expression du carré de la norme d'un vecteur de E_n est donc:

$\forall \vec x \in E_n, \|\vec x\|^2 =\sum_{i=1}^n (\vec e_i \cdot \vec x)^2$ .

Ces trois propriétés sont en fait équivalentes entre elles, et équivalentes au fait que la famille $\mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n)$ soit une base orthonormale de E_n.

Si u est un endomorphisme de E_n, sa matrice dans la base $\mathcal B$ est:

$M=[( \vec e_i \cdot u( \vec e_j))]_{1\le i,j\le n}$ .

Cela permet de caractériser les endomorphismes symétriques ou les automorphismes orthogonaux par leurs matrices dans une base orthonormale.

Si E_n est un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien E, la projection orthogonale $p( \vec x )$ sur E_n d'un vecteur $\vec x$ de E a pour expression

$p( \vec x)=\sum_{i=1}^n (\vec e_i \cdot \vec x) \vec e_i$ .

Le caractère 1-lipschitzien d'un projecteur orthogonal permet d'en déduire l'inégalité de Bessel, qui comporte une généralisation à une famille orthonormale infinie.

[modifier] Changement de base orthonormale

Si $\mathcal B$ et $\mathcal C$ sont deux bases orthonormales de E_n, la matrice de passage de l'une vers l'autre est une matrice orthogonale. Notamment, l'inverse de cette matrice est égale à sa transposée.

Inversement, si la matrice de la famille $\mathcal C$ dans la base orthonormale $\mathcal B$ est orthogonale, alors $\mathcal C$ est une base orthonormale.

Les applications linéaires qui transforment une base orthonormale en une base orthonormale sont les automorphismes orthogonaux.

[modifier] Voir aussi

Système de coordonnées cartésiennes
Base canonique
Base hilbertienne

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau