Base orthonormale (encyclopédie mathématiques)

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En géométrie vectorielle, une base orthonormale, ou base orthonormée, (BON) d'un espace euclidien ou hermitien est une base de cet espace vectoriel constituée de vecteurs de norme 1 et orthogonaux deux à deux. Dans une telle base, les coordonnées d'un vecteur quelconque de l'espace sont égales aux produits scalaires de ce vecteur par chacun des vecteurs de base, et le produit scalaire de deux vecteurs quelconques a une expression canonique en fonction de leurs coordonnées.

Sommaire

[modifier] Définitions

Soit E_n un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel, et $\mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n)$ , une base de E_n.

$\mathcal B$ est dite orthonormale si et seulement si

$\| \vec e_1 \| = \| \vec e_2 \| = ... = \| \vec e_n \| = 1$

et,

pour tout $i \not = j$ , $\vec e_i \perp \vec e_j$ ( c'est-à-dire $( \vec e_i \cdot \vec e_j)$ = 0 )

En particulier, si n = 1, alors $\mathcal B = ( \vec e_1)$ est dite orthonormale si et seulement si

$\| \vec e_1 \| = 1$ .

Toute famille orthonormale est une famille libre, donc une base de E_n si elle contient n vecteurs. Une base orthonormale de E_n est donc une famille de n vecteurs 2 à 2 orthogonaux et de norme 1, c'est-à-dire, en utilisant le symbole de Kronecker, une famille $\mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n)$ vérifiant

$\forall i,j, ( \vec e_i \cdot \vec e_j) = \delta_{ij}$

Cette définition s'applique aussi sur un espace hermitien. Il correspond à une généralisation aux complexes d'un espace euclidien.

[modifier] Repère orthonormal (ou orthonormé)

Soient A_n un espace affine euclidien associé à l'espace vectoriel euclidien E_n et O un point quelconque de A_n, alors le repère

$\mathcal R = (\ O , \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n)$

est dit orthonormal si et seulement si sa base associée $\mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n)$ est elle-même orthonormale.

[modifier] En géométrie dans l'espace

En géométrie dans l'espace, la base est en général notée $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ au lieu de $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ .

La base est dite « directe » si $\vec{k}$ est le produit vectoriel de $\vec{i}$ et de $\vec{j}$ (c'est-à-dire $\vec{k} = \vec{i} \wedge \vec{j}$ ).

Voir l'article Orientation (mathématiques).

[modifier] Propriétés

[modifier] Existence de bases orthonormales

Article détaillé : Procédé de Gram-Schmidt.

À partir d'une base quelconque d'un espace euclidien, le procédé de Gram-Schmidt fournit une méthode constructive pour obtenir une base orthonormale de cet espace. Notamment, on peut affirmer :

Dans tout espace euclidien de dimension non nulle, il existe des bases orthonormales.

En appliquant ce résultat à l'orthogonal de l'espace engendré par une famille orthonormale de p vecteurs de E_n, on établit le théorème de la base orthonormale incomplète :

Toute famille orthonormale de vecteurs d'un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormale de cet espace.

L'existence de bases orthonormales permet d'établir que l'infinité de structures euclidiennes dont peut être muni un espace vectoriel — avec des notions d'orthogonalité différentes — sont toutes isomorphes entre elles^[1].

[modifier] Calculs dans une base orthonormale

Soit $\mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n)$ une base orthonormale de E_n.

La décomposition d'un vecteur de E_n dans cette base est donnée par :

$\forall \vec x \in E_n, \vec x=\sum_{i=1}^n (\vec e_i \cdot \vec x) \vec e_i$ .

L'expression du produit scalaire de deux vecteurs de E_n est alors donnée par :

$\forall \vec x , \vec y \in E_n, ( \vec x \cdot \vec y) =\sum_{i=1}^n (\vec e_i \cdot \vec x) (\vec e_i \cdot \vec y)$ .

L'expression du carré de la norme d'un vecteur de E_n est donc :

$\forall \vec x \in E_n, \|\vec x\|^2 =\sum_{i=1}^n (\vec e_i \cdot \vec x)^2$ .

Ces trois propriétés sont en fait équivalentes entre elles, et équivalentes au fait que la famille $\mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n)$ soit une base orthonormale de E_n.

Si u est un endomorphisme de E_n, sa matrice dans la base $\mathcal B$ est :

$M=[( \vec e_i \cdot u( \vec e_j))]_{1\le i,j\le n}$ .

Cela permet de caractériser les endomorphismes symétriques ou les automorphismes orthogonaux par leurs matrices dans une base orthonormale : elles sont respectivement symétriques et orthogonales.

Si E_n est un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien E, la projection orthogonale $p( \vec x )$ sur E_n d'un vecteur $\vec x$ de E a pour expression

$p( \vec x)=\sum_{i=1}^n (\vec e_i \cdot \vec x) \vec e_i$ .

Le caractère 1-lipschitzien d'un projecteur orthogonal permet d'en déduire l'inégalité de Bessel, qui comporte une généralisation à une famille orthonormale infinie.

[modifier] Changement de base orthonormale

Si $\mathcal B$ et $\mathcal C$ sont deux bases orthonormales de E_n, la matrice de passage de l'une vers l'autre est une matrice orthogonale. Notamment, l'inverse de cette matrice est égale à sa transposée.

Inversement, si la matrice de la famille $\mathcal C$ dans la base orthonormale $\mathcal B$ est orthogonale, alors $\mathcal C$ est une base orthonormale.

Les applications linéaires qui transforment une base orthonormale en une base orthonormale sont les automorphismes orthogonaux.

[modifier] Notes et références

↑ Jean Dieudonné, « Groupes », dans Dictionnaire des mathématiques, Algèbre, analyse, géométrie, Albin Michel & Encyclopædia Universalis, 2002, 924 p. (ISBN 2-226-09423-7), p. 534

[modifier] Voir aussi

Système de coordonnées cartésiennes
Base canonique
Base hilbertienne

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme de Minkowski • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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