Bijection

Bijection : encyclopédie mathématiques

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Une bijection est une application bijective. Une application est bijective si et seulement si tout élément de son ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent, c'est-à-dire est image d'exactement un élément de son ensemble de départ, ou encore si elle est injective et surjective.

On peut remarquer que, dans cette définition, on n'impose pas de condition aux éléments de l'ensemble de départ. La définition de la bijectivité peut ainsi être étendue sans problème aux fonctions (et même aux correspondances), mais une fonction bijective n'est une bijection que si c'est une application, c'est-à-dire si elle est définie en tout point de son ensemble de départ.

De manière équivalente, une bijection est une injection surjective ou une surjection injective. Les bijections sont aussi appelées correspondances biunivoques.

Il est facile de montrer que l'existence d'une bijection entre deux ensembles finis signifie qu'ils ont le même nombre d'éléments. L'extension de cette équivalence aux ensembles infinis a mené au concept de cardinal d’un ensemble, et à distinguer différentes tailles d’ensembles infinis. Cantor a le premier démontré que, s'il existe une injection de X vers Y et une injection de Y vers X (pas nécessairement la réciproque de la précédente), alors il existe une bijection entre les deux ensembles (voir Théorème de Cantor-Bernstein).

Sommaire

[modifier] Définition formelle

Soit $f$ une application de $E$ dans $F$ . $f$ est bijective si et seulement si tout élément de l'ensemble d'arrivée $F$ a exactement un antécédent par $f$ dans l'ensemble de départ $E$ , c'est-à-dire si :

$\forall\ y \in F ,\ \exist!\ x \in E /\ f ( x ) = y \,$

[modifier] Exemple concret

Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes, X, vers l'ensemble des chambres, Y, (à chaque touriste est associée une chambre).

Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.
L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.
Ces desiderata sont incompatibles si le nombre de touristes est différent du nombre de chambres. Dans le cas contraire, il sera possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : on dira alors que l'application est à la fois injective et surjective ; elle est bijective.

[modifier] Exemples et contre-exemples

Considérons la fonction $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ définie par f(x) = 2x + 1. Cette fonction est bijective, puisque pour tout nombre réel arbitraire donné y, nous pouvons trouver exactement une solution réelle de l’équation y = 2x + 1 d’inconnue x à savoir x = (y − 1)/2.

D’un autre côté, la fonction $g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ définie par g(x) = x² n’est pas bijective, pour essentiellement deux raisons différentes. La première est que, nous avons (par exemple) g(1) = 1 = g(−1), et donc g n’est pas injective; la seconde est qu’il n’y a (par exemple) aucun nombre réel x tel que x² = −1, et donc g n’est pas surjective non plus.

L’une ou l’autre de ces constatations est suffisante pour montrer que g n’est pas bijective.

D’autre part, si nous définissons la fonction $h:\mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R_+$ par la même relation que g, mais avec les ensembles de définition et d’arrivée restreints à $\mathbb R_+$ , alors la fonction h est bijective.

L’explication est que, pour un nombre réel positif donné y, nous pouvons trouver exactement une solution réelle positive de l’équation y = x² qui est x = √y.

[modifier] Propriétés

Une fonction $f:X\rightarrow Y\,$ est bijective si et seulement s’il existe une fonction g: Y → X telle que $g\circ f$ soit l’application identité sur X et $f\circ g$ soit l’application identique sur Y. Les bijections sont précisément les isomorphismes dans la catégorie des ensembles. Dans ce cas, g est déterminée de manière unique par f et nous appelons g l’application réciproque de f et nous écrivons f⁻¹ = g. De plus, g est aussi une bijection, et la réciproque de g est f à nouveau.
Si f o g est bijective, alors f est surjective et g est injective.
Si f et g sont toutes deux bijectives, alors f o g est aussi bijective.
Si X est un ensemble, alors les fonctions bijectives de X sur lui-même, forment avec l’opération de composition des applications ( $\circ$ ), un groupe, le groupe des permutations de X, qui est noté indifféremment S(X), S_X, σ_X ou σ(X).
Le nombre de bijections entre deux ensembles de cardinal n est n !
Lorsque X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle $\mathbb R$ , une fonction bijective $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ a un graphe qui intersecte toute droite horizontale en exactement un point.