Bissectrice

Bissectrice : encyclopédie mathématique

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Bissectrice d'un angle

En mathématiques, la bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'axe de symétrie de cet angle.

Sommaire

[modifier] Théorème de la bissectrice

Soit un angle $\widehat{xOy}\,$ et sa bissectrice $[Oz)\,$ . Tout point $A\,$ de $[Oz)\,$ vérifie :
$dist(A,[Ox))= dist(A,[Oy))\,$ .

C'est-à-dire que tout point de la bissectrice d'un angle est équidistant à ses côtés.

Démonstration

Démonstration du théorème de la bissectrice

Soient $B\,$ et $C\,$ les projetés orthogonaux de $A\,$ respectivement sur $[Ox)\,$ et sur $[Oy)\,$ . On sait que $dist(A,[Ox))= AB\,$ et $dist(A,[Oy))= AC\,$ . Les triangles $OAB\,$ et $OAC\,$ sont des triangles rectangles respectivement en $B\,$ et $C\,$ . D'après les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, on en déduit que
$AB = OA \times \sin(\widehat{xOz})\,$ et $AC = OA \times \sin(\widehat{yOz})\,$
Puisque $[Oz)\,$ est la bissectrice de $\widehat{xOy}\,$ , on a $\widehat{xOz} = \widehat{yOz}\,$ .

On en déduit que $AB = AC\,$ d'où le théorème.

Ce théorème peut également s'interpréter comme le fait que tout point de la bissectrice est le centre d'un cercle tangent simultanément aux deux droites. Réciproquement tout cercle tangent aux deux droites a son centre sur une des bissectrices.

Remarque: On peut également voir que la bissectrice est un axe de symétrie pour les deux droites séquentes (formant l'angle), ainsi la distance entre un point $A$ de la bissectrice et un point $B$ d'une des deux droite est égale à la distance entre le point $A$ et le et $B'$ le symétrique du point $B$ par rapport à la bissectrice. Cette démonstration est accessible à une classe de quatrième et explique pourquoi il est possible de la tracer avec un compas...!

[modifier] Bissectrices d'un ensemble de droites

Les bissectrices (en rouge) de deux droites sont orthogonales entre elles.

Les bissectrices d'un couple de droites sécantes sont par définition les bissectrices des secteurs angulaires définis par les deux droites. Ce sont deux droites perpendiculaires. Elles sont également les deux axes de symétrie de la figure formée par les deux droites.

[modifier] Bissectrices d'un triangle

On appelle bissectrices d'un triangle les trois bissectrices des trois angles de ce triangle.

Ces bissectrices sont concourantes. Leur point commun est le centre d'un cercle tangent aux 3 côtés du triangle, c'est-à-dire le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Remarque: Le centre du cercle inscrit est toujours à l'intérieur du triangle.

[modifier] Construction géométrique

Animation montrant les étapes de la construction

Construction de la bissectrice à la règle et au compas

Voici une méthode de construction à la règle et au compas de la bissectrice d'un angle.

Pointer le compas au sommet de l'angle et tracer un premier arc de cercle. Marquer les points d'intersection de cet arc avec les deux côtés de l'angle.
Pointer successivement le compas aux points d'intersection tracer deux arcs de cercle de même rayon (en gardant le même écartement du compas entre les deux opérations). Marquer le point d'intersection de ces deux arcs.
Relier le sommet de l'angle et le point d'intersection des deux derniers cercles et vous avez tracé la bissectrice de l'angle.

Il vous faut un compas et un crayon gris bien taillé

[modifier] Bissectrices du plan

Lorsque le plan est muni d'un repère direct $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ , on appelle

première bissectrice du plan la bissectrice de l'angle orienté $(\widehat{\vec{\imath}, \vec{\jmath}})$ en O ;
deuxième bissectrice du plan la bissectrice de l'angle $(\widehat{\vec{\imath}, -\vec{\jmath}})$ en O.