Cercles d'Apollonius

Il y a plusieurs candidats répondant au nom de cercle d'Apollonius'.

[modifier] Une autre définition du cercle

Apollonius de Perga propose de définir le cercle comme l'ensemble des points M du plan pour lesquels le rapport des distances MA/MB reste constant, les points A et B étant donnés. Précisément

Démonstration â€”

• Solution de MA/MB = k sur (AB) : si k=1, MA=kMB a une unique solution sur (AB), le milieu de [AB]. Sinon le problème d'Apollonius MA = k MB a deux solutions sur (AB), disons C et son conjugué harmonique D par rapport à A et B ; D existe dès que C n'est pas le milieu de [AB].

• Solution hors de (AB) :Si MA/MB = k, alors MA/MB = CA/CB ; (MC) est alors la bissectrice de l'angle en M dans le triangle AMB. Mais on a aussi MA/MB = DA/DB et (MD) est la seconde bissectrice de l'angle en M dans AMB. En particulier le triangle CMD est rectangle en M et M est sur le cercle de diamètre [CD].

• Synthèse :Pour tout M du plan hors de (AB) les droites (MA), (MB), (MC) et (MD) forme un faisceau harmonique. Si de plus M est sur le cercle de diamètre [CD], on sait alors que (MC) et (MD) sont les bissectrices de ∠AMB. On conclut avec la caractérisation de la bissectrice en termes de rapport

• Le cercle de diamètre [CD] est le cercle d'Apollonius pour le triplet (A,B,k).

[modifier] Faisceau de cercles d'Apollonius

Soit ABC un triangle. Le cercle c₄ de centre I est circonscrit au triangle ABC.

Les bissectrices en A coupent [BC] en I₁ et J₁, le cercle c₁ de centre O₁ a pour diamètre [I₁J₁].

Les bissectrices en B coupent [AC] en I₂ et J₂, le cercle c₂ de centre O₂ a pour diamètre [I₂J₂].

Les bissectrices en C coupent [AB] en I₃ et J₃, le cercle c₃ de centre O₃ a pour diamètre [I₃J₃].

Le faisceau de cercles d'Apollonius est formé par les trois cercles c₁, c₂ et c₃ d'Apollonius qui ont en commun les deux points P et Q. Ce sont les points de base du faisceau.

Leurs centres O₁, O₂ et O₃ sont alignés sur la médiatrice de [PQ].

Le centre I du cercle circonscrit c₄ est situé sur la droite (PQ).

[modifier] Fractal

Voir : Cercle d'Apollonius