Chiffre

Chiffre : encyclopédie mathématiques

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Bien qu'appelés communément "chiffres arabes", les Indiens connaissaient et utilisaient déjà un système décimal proche de celui que nous connaissons aujourd'hui. Ce n’est que bien plus tard, à la suite de conquêtes en Asie, que les mathématiciens musulmans découvrirent ce système. De même, le concept du zéro, en tant qu'élément neutre de l'addition et élément absorbant de la multiplication, était déjà utilisé par la pensée mathématique indienne.

Sommaire

[modifier] Histoire, étymologie et définition

Les chiffres de 1 à 9 ont été inventés en Inde. Ils apparaissent dans des inscriptions de Nana Ghât au 3e siècle av.J.-C. La numération de position avec un zéro (un simple point à l’origine), a été développée au cours du 5e siècle. Dans un traité de cosmologie en sanscrit de 458, on voit apparaître le nombre 14 236 713 écrit en toute lettres. On y trouve aussi le mot “sunya” (le vide), qui représente le zéro. C’est à ce jour le document le plus ancien faisant référence à cette numération.

Au Xe siècle, le moine français Gerbert d’Aurillac apprit la nouvelle numération et, grâce aux chaires qu’il occupait dans les établissement religieux d’Europe, put introduire le nouveau système en Occident. En 999, il fut élu pape sous le nom de Sylvestre II, ce qui lui conféra l’autorité nécessaire pour implanter la numération indo-arabe.

Les dix chiffres en écriture décimale positionnelle

Un chiffre est un symbole employé pour représenter des nombres. Le mot « chiffre » vient de l'arabe sifr (أَلصِّفْر ʾaṣ-ṣifr), utilisé pour « zéro » et signifiant « le vide », le "rien"^[1].

Les chiffres arabes font partie des écritures de type logographique. C'est-à-dire le symbole « 1 » se prononce de façon différente dans chaque langue, mais représente le même élément abstrait et reste donc compréhensible sous sa forme écrite.

Dans un système de numération donné, si la base est un nombre entier, le nombre de chiffres requis est toujours égal à la valeur absolue de la base.

Il arrive parfois qu'on confonde chiffre et nombre. Pour bien comprendre la différence entre les deux, on peut faire l'analogie avec l'écriture d'une langue en affirmant que les chiffres sont des lettres et que les nombres sont des mots. Ainsi, 13 (treize) est un nombre qui s'écrit avec les chiffres « 1 » et « 3 ». Comme un mot peut être constitué d'une seule lettre, tel que le mot « a » (le verbe « avoir » conjugué à la troisième personne de l'indicatif présent), un chiffre est également un nombre (le nombre 4 (quatre) s'écrit avec seulement le chiffre « 4 »).

En système décimal, les dix chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9

Numérations selon les cultures
Numération arabo-indienne
arabe khmer indienne	mongole thaï
Numérations à l’origine chinoise
chinoise japonaise	à bâtons suzhou
Numérations alphabétiques
arménienne cyrillique d'Âryabhata éthiopienne	hébraïque grecque tchouvache
Autres systèmes :
attique brahmi champs d'urnes colombienne égyptienne étrusque	forestière inuite maya mésopotamienne romaine
Notations positionnelles par base
Décimal (10)
2, 4, 8, 16, 32, 64
1, 3, 6, 9, 12, 20, 24, 30, 36, 60, plus…
v · d · m

[modifier] Vue d'ensemble

Dans un système numérique de base, un nombre s'écrit comme une séquence de chiffres qui peut être de différentes longueurs. Chaque position dans la séquence a une valeur, tout comme chaque chiffre. La valeur totale du chiffre est calculée en multipliant chaque chiffre dans la séquence par la valeur sa position, et en additionnant les résultats.

Par exemple, dans le nombre 153, le chiffre 3 occupe la première position, qui a pour valeur 1. Le chiffre 5 est en deuxième place, qui a pour valeur 10¹ = 10 (car nous sommes en base 10). Et le chiffre 1 occupe la troisième position, qui a pour valeur 10² = 100.

153 vaut donc

3 * 1 + 5 * 10 + 1 * 100 = 3 + 50 + 100 = 153

[modifier] Valeurs numériques

Chaque chiffre dans un système de numération représente un nombre entier. Par exemple, dans le système de numération indo-arabe, le chiffre 1 représente le nombre un, et dans le système hexadécimal, le chiffre A représente le nombre dix. Un système de numération utilisant la notation positionnelle doit avoir un chiffre qui représente chaque entier de zéro jusqu'à la base du système de numération, celle-ci étant exclue. Par exemple, en base 10, le nombre 10 n'est pas un chiffre.

[modifier] Mathématiques

En mathématiques, on utilise ordinairement les dix chiffres arabo-indiens, dits « arabes », pour représenter les nombres, comme les entiers naturels ou les nombres réels. Pour une base n, on utilise usuellement n chiffres. Si n est inférieur à dix, on utilise les n premiers chiffres, à partir de 0. Si n est strictement supérieur à 10, on utilise les chiffres de 0 à 9, et on poursuit généralement avec les n-10 lettres de l'alphabet latin à partir de A.

Le système décimal est le système par défaut, pour lequel les dix chiffres suivants sont employés :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Dans le système binaire, il n'existe que deux chiffres, qui sont représentés par les caractères 0 et 1.

Le système binaire est souvent utilisé pour représenter des valeurs telles que « vrai » et « faux », « tout » et « rien », « marche » et « arrêt ». Il convient notamment pour représenter le fonctionnement de l'électronique numérique utilisée dans les ordinateurs, d'où son usage en informatique.

Les chiffres du système hexadécimal sont

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

et valent respectivement, dans le système décimal, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Les chiffres romains sont les lettres I(=1), V (=5), X(=10), L(=50), C(=100), D(=500), M(=1000), exemple type de système où les nombres de 0 à 9 ne sont pas représenté par un unique chiffre.

Cependant, il existe aussi des systèmes balancés, employant des chiffres signés.

Le système trinaire balancé utilise les chiffres 1, 0, 1.

Il est adapté pour représenter les booléens dont les valeurs sont « vrai », « faux » et « indéterminé », et est pratique pour l'informatique, car il évite l'ajout d'un chiffre supplémentaire pour indiquer le signe d'un nombre. Dans un tel système, les nombres positifs et négatifs bénéficient de la même représentation.

[modifier] Musique

En musique, les chiffres servent au chiffrage de la mesure. Ils composent le nombre indicateur, qui indique la mesure. C'est la fraction placée au début d'un morceau dans une partition musicale. Son numérateur indique le nombre de temps de la mesure, et son dénominateur, la valeur de la note. Par exemple, 2/4 signifie « une mesure à deux noires » ; 3/2, « une mesure à trois blanches » ; 6/8, « une mesure à six croches », etc.

On parle aussi de chiffrage. Il y a deux possibilités :

Une note avec un chiffre (ou deux selon les règles du chiffrage) écrit en dessous, donne l'accord qui doit être construit à partir de cette note. Cela s'appelle une basse chiffrée. Ce sont souvent les clavecinistes et les organistes qui utilisent ce système dans la musique baroque. Les élèves qui apprennent l'harmonie, se servent aussi de basses chiffrées pour apprendre à composer un texte musical à partir de ces données, et selon certaines règles très précises.
Ainsi, un « 5 » indique un accord de quinte. Un « 7 » indique un accord de septième. Un « 6 » au-dessus d'un « 4 » indique un accord de quarte et sixte. Un « 7 » barré d'une barre oblique, indique une septième diminuée. Seule la tierce n'est pas représentée par un « 3 » car elle est sous-entendue.
En analyse musicale, on chiffre les accords pour faciliter la construction d'une œuvre.

Ce système s'apprend en cours de solfège, maintenant rebaptisé formation musicale.

Les chiffres servent aussi à doigter les notes d'une partition, c'est-à-dire que le chiffre placé au-dessus d'une note indique le doigt utilisé pour réaliser la note. Ainsi, au violon le « 1 » représente l'index, le « 2 » le majeur, le «3» l'annulaire et le «4» l'auriculaire. Au piano, le « 1 » représente le pouce, le « 2 » l'index, ainsi de suite.

[modifier] Annexes

[modifier] Blocs de caractères Unicode contenant des chiffres ou nombres

Table des caractères Unicode - commandes C0 et latin de base
Table des caractères Unicode - commandes C1 et supplément latin-1
Table des caractères Unicode - arabe
Table des caractères Unicode - n’ko
Table des caractères Unicode - dévanâgarî
Table des caractères Unicode - bengalî
Table des caractères Unicode - gourmoukhî
Table des caractères Unicode - goudjarâtî
Table des caractères Unicode - oriyâ
Table des caractères Unicode - tamoul
Table des caractères Unicode - télougou
Table des caractères Unicode - kannara
Table des caractères Unicode - malayâlam
Table des caractères Unicode - thaï
Table des caractères Unicode - laotien
Table des caractères Unicode - tibétain
Table des caractères Unicode - birman
Table des caractères Unicode - éthiopien
Table des caractères Unicode - khmer
Table des caractères Unicode - mongol
Table des caractères Unicode - limbou
Table des caractères Unicode - nouveau taï-lü
Table des caractères Unicode - symboles khmers
Table des caractères Unicode - balinais
Table des caractères Unicode - exposants et indices
Table des caractères Unicode - formes numérales
Table des caractères Unicode - alphanumériques entourés
Table des caractères Unicode - casseau
Table des caractères Unicode - ponctuation CJC
Table des caractères Unicode - kanboun
Table des caractères Unicode - lettres et mois CJC entourés
Table des caractères Unicode - compatibilité CJC
Table des caractères Unicode - formes de demie ou pleine chasse
Table des caractères Unicode - phénicien

[modifier] Articles connexes

v · d · m Notion de nombre
Ensembles usuels	$\mathbb{N}$ Entier naturel • $\mathbb{Z}$ Entier relatif • $\mathbb{D}$ Nombre décimal • $\mathbb{Q}$ Nombre rationnel • $\mathbb{R}$ Nombre réel • $\mathbb{C}$ Nombre complexe
Extensions	$\mathbb{H}$ Quaternion • $\mathbb{O}$ Octonion • $\mathbb{S}$ Sédénion • Nombre complexe fendu • Tessarine • Nombre bicomplexe • Nombre multicomplexe • Biquaternion • Coquaternion • Octonion fendu • Nombre hypercomplexe • $\mathbb{Q}_p$ Nombre p-adique • Nombre hyperréel • Nombre superréel • Nombre dual • Droite réelle achevée • Nombre cardinal • Nombre ordinal • Nombre surréel et pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité • Nombre premier • Nombre composé • Carré parfait • Nombre parfait • Nombre positif • Nombre négatif • Fraction dyadique • Nombre irrationnel • Nombre algébrique • Nombre transcendant • Nombre imaginaire pur • Nombre de Liouville • Nombre normal • Nombre univers • Nombre constructible • Nombre réel calculable • Nombre transfini • Infiniment petit • Infiniment grand
Exemples d’importance historique	π Pi • √2 Racine carrée de deux • φ Nombre d’or • 0 Zéro • $i$ Unité imaginaire • $e$ Constante de Neper • ℵ₀ Aleph-zéro • Table de constantes mathématiques
Notions connexes	Chiffre • Numération • Fraction • Opération • Calcul • Algèbre • Arithmétique • Suite d’entiers • ∞ Infini • Chiffre significatif