Chiffre (encyclopédie mathématiques)

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Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres. Il est cependant utilisé avec le sens de « nombre » dans de nombreuses expressions.

Sommaire

[modifier] Histoire, étymologie et définition

Bien qu'appelés communément "chiffres arabes", les Indiens connaissaient et utilisaient déjà un système décimal proche de celui que nous connaissons aujourd'hui. Ce n’est que bien plus tard, à la suite de conquêtes en Asie, que les mathématiciens musulmans découvrirent ce système. De même, le concept du zéro, en tant qu'élément neutre de l'addition et élément absorbant de la multiplication, était déjà utilisé par la pensée mathématique indienne.

Les chiffres de 1 à 9 ont été inventés en Inde. Ils apparaissent dans des inscriptions de Nana Ghât au III^e siècle av. J.‑C.. La numération de position avec un zéro (un simple point à l’origine), a été développée au cours du V^e siècle. Dans un traité de cosmologie en sanscrit de 458, on voit apparaître le nombre 14 236 713 écrit en toutes lettres. On y trouve aussi le mot “sunya” (le vide), qui représente le zéro. C’est à ce jour le document le plus ancien faisant référence à cette numération.

Au X^e siècle, le moine français Gerbert d’Aurillac apprit la nouvelle numération et, grâce aux chaires qu’il occupait dans les établissement religieux d’Europe, put introduire le nouveau système en Occident. En 999, il fut élu pape sous le nom de Sylvestre II, ce qui lui conféra l’autorité nécessaire pour implanter la numération indo-arabe.

Le mot « chiffre » (chiffre 1486, Commyne) est un mot refait d'après l'italien cifra, l'ancien français avait cifre (cifre 1220, Coincy), issu du latin médiéval cifra lui-même emprunté à l'arabe sifr^[1] (أَلصِّفْر ʾaṣ-ṣifr), utilisé pour « zéro » et signifiant « le vide », le "rien"^[2].

Les chiffres arabes font partie des écritures de type logographique. C'est-à-dire le symbole « 1 » se prononce de façon différente dans chaque langue, mais représente le même élément abstrait et reste donc compréhensible sous sa forme écrite.

Dans un système de numération donné, si la base est un nombre entier, le nombre de chiffres requis est toujours égal à la valeur absolue de la base.

En système décimal, les dix chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

[modifier] Chiffre et nombre

Il arrive parfois qu'on confonde chiffre et nombre. Pour bien comprendre la différence entre les deux, on peut faire l'analogie avec l'écriture d'une langue en affirmant que les chiffres sont des lettres et que les nombres sont des mots. Ainsi, 13 (treize) est un nombre qui s'écrit avec les chiffres « 1 » et « 3 ». Comme un mot peut être constitué d'une seule lettre, tel que le mot « a » (le verbe « avoir » conjugué à la troisième personne de l'indicatif présent), un chiffre est également un nombre (le nombre 4 (quatre) s'écrit avec seulement le chiffre « 4 »).

Cependant, le mot « chiffre » est utilisé dans de nombreuses expressions avec le sens de « nombre ». Par exemple, le Dictionnaire de l'Académie française indique comme seconde définition de « chiffre » « Le nombre que figurent les chiffres ; le montant total. Le chiffre de la population d'un pays, le nombre de ses habitants. COMMERCE. Chiffre d'affaires, montant des recettes d'un exercice annuel. La taxe sur le chiffre d'affaires. Augmenter son chiffre d'affaires. »]^[3]. En démographie, on parlera des « chiffres de la population » et non des « nombres de la population » (voir Chiffres de population française, Chiffres de population de la France, etc.)^[4] ; en économie, on parlera de « chiffre d'affaires ».

[modifier] Vue d'ensemble

Dans un système numérique de base, un nombre s'écrit comme une séquence de chiffres qui peut être de différentes longueurs. Chaque position dans la séquence a une valeur, tout comme chaque chiffre. La valeur totale du chiffre est calculée en multipliant chaque chiffre dans la séquence par la valeur de sa position, et en additionnant les résultats.

Par exemple, dans le nombre 153, le chiffre 3 occupe la première position qui, quelle que soit la base b, a pour valeur b⁰=1. Le chiffre 5 est en deuxième place, qui a pour valeur 10¹ = 10 (car nous sommes en base 10). Et le chiffre 1 occupe la troisième position, qui a pour valeur 10² = 100.

153 vaut :

(3 × 10⁰) + (5 × 10¹) + (1 × 10²)

= (3 × 1) + (5 × 10) + (1 × 100)

= 3 + 50 + 100 = 153.

[modifier] Valeurs numériques

Chaque chiffre dans un système de numération représente un nombre entier. Par exemple, dans le système de numération indo-arabe, le chiffre 1 représente le nombre un, et dans le système hexadécimal, le chiffre A représente le nombre dix. Un système de numération utilisant la notation positionnelle doit avoir un chiffre qui représente chaque entier de zéro jusqu'à la base du système de numération, celle-ci étant exclue. Par exemple, en base 10, le nombre 10 n'est pas un chiffre.

[modifier] Mathématiques

En mathématiques, on utilise ordinairement les dix chiffres arabo-indiens, dits « arabes » (bien qu’il en existe de nombreuses variantes graphiques dans le monde, et que la graphie des chiffres utilisés dans les langues européennes a aussi connu des évolutions, la forme moderne la plus courante telle qu'on l’utilise aujourd'hui par exemple en français étant appelée les chiffres « arabo-européens », tandis que d’autres formes sont plus communément employées dans les langues à écriture arabe), pour représenter les nombres, comme les entiers naturels ou les nombres réels.

Dans les systèmes de numération positionnels, on utilise une base n normalement fixe, et il suffit alors de n chiffres pour représenter tous les nombres entiers.

Si n est inférieur à dix, on utilise généralement les n premiers chiffres arabo-indiens, à partir de 0.
Si n est strictement supérieur à 10, on utilise les chiffres de 0 à 9, et on poursuit généralement avec les (n−10) lettres de l’alphabet latin à partir de A (pour les bases de numération entre 11 et 36) ; toutefois ce choix est arbitraire, et d’autres langues écrites dans des écritures différentes peuvent utiliser soit des chiffres supplémentaires (propres à cette écriture, certaines écritures pouvant avoir plus de 10 chiffres distincts), soit des lettres de leur propre alphabet, soit encore des signes diacritiques modifiant la valeur des chiffres ou lettres.

Le système décimal est le système par défaut, pour lequel les dix chiffres suivants sont employés :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Dans le système binaire, il n'existe que deux chiffres, qui sont représentés par les caractères 0 et 1.

Le système binaire est souvent utilisé pour représenter des valeurs telles que « vrai » et « faux », « tout » et « rien », « marche » et « arrêt ». Il convient notamment pour représenter le fonctionnement de l'électronique numérique utilisée dans les ordinateurs, d'où son usage en informatique.
Les chiffres du système hexadécimal sont

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (la casse des « lettres » est non significative).

et valent respectivement, dans le système décimal, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Pour les systèmes de numération dont la base est variable ou supérieure à 36, on exprime le plus souvent les nombres dans cette base sous forme d’une suite d’entiers avec un séparateur conventionnel entre eux. C'est le cas pour :

la notation des heures (à base variable et dont certains chiffres sont exprimés en base 60),
la notation des dates (qui utilisent des bases variables fondées sur des règles de calcul compliquées, corrigées périodiquement mais de façon non totalement prévisible par des mesures astronomiques ou des conventions légales ou culturelles).
Le choix du séparateur de chiffres dans ces systèmes est aussi fortement lié à des conventions culturelles.

Tous les systèmes de numération ne sont pas à base fixe, et certains ne contiennent pas de chiffre zéro. De plus, indépendamment de la base de numération, certains chiffres peuvent être représentés par un ou plusieurs symboles, et même voir leur valeur modifiée selon leur position relative dans le nombre. De tels systèmes sont dits « non positionnels » * Ces anciens systèmes traditionnels ne permettent d’exprimer que les seuls nombres ordinaux). Des exemples typiques de système où les nombres de 0 à 9 ne sont pas tous représentés par un unique chiffre sont :

Le système unaire (le plus ancien utilisé par l’humanité) qui n’utilise qu’un seul chiffre (généralement un simple bâton, ou le seul chiffre 1) pour exprimer tous les nombres ordinaux de façon additive.
Le système des « chiffres romains », qui utilise en fait les lettres latines :

I, V, X, L, C, D, M

et qui valent respectivement 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1 000 uniquement lorsqu’elles sont employées seules. Ce système de numération ne permet pas de représenter le zéro.
De tels systèmes étaient communs dans l’Antiquité et même au delà jusqu’au Moyen Âge (avant l’invention du zéro par les anciennes civilisations indiennes et son importation, souvent tardive, dans les autres cultures), et sont encore communément utilisés aujourd’hui dans certaines régions. Ils sont dérivés de la notation unaire en remplaçant certains groupes de chiffres par un seul symbole (ou mot) les représentant tous de façon plus commode, le système restant cependant additif par essence même s’il utilise déjà une base de numération (généralement 10, mais d‘autres cultures ont utilisé les bases 12 ou 20).
Cependant les chiffres romains ont introduit une notion d’ordre nécessaire pour interpréter la valeur d‘un nombre selon la position de ses chiffres, en leur conférant une valeur soit positive soit négative, selon la grandeur des chiffres suivants (sans pour autant pouvoir exprimer les nombres négatifs ou nuls).

Dans la grande majorité des notations (culturelles, mathématiques ou à usage scientifique), le signe des nombres n’est pas représenté par les chiffres eux-mêmes, mais par l’adjonction d’un signe multiplicatif modifiant la valeur du nombre entier exprimé en chiffres (dont l’interprétation reste positive) : le plus souvent on emploie les signes + et − (mais en géographie, on emploie le plus souvent des lettres pour noter une direction nord/sud ou est/ouest, et les comptables leur préfère souvent les parenthèses dans les livres de comptes écrits ou imprimés). Cependant, il existe aussi des systèmes balancés, employant des chiffres signés.

Le système trinaire balancé utilise les chiffres 1, 0, 1.

Il est adapté pour représenter les booléens dont les valeurs sont « vrai », « faux » et « indéterminé », et est pratique pour l'informatique, car il évite l'ajout d'un chiffre supplémentaire pour indiquer le signe d'un nombre. Dans un tel système, les nombres positifs et négatifs bénéficient de la même représentation.

D’autre part, des chiffres supplémentaires sont nécessaires pour exprimer des nombres dans des systèmes dont la base n’est pas unidimensionnelle. Par exemple, pour noter les nombres complexes, un chiffre supplémentaire i est introduit (chiffre dit « imaginaire », parfois noté j dans les formules utilisées dans d’autres sciences comme l’électricité, l’électromagnétisme et le traitement du signal) et s'emploie comme une quantité multiplicative, combinable par des opérations arithmétiques simples pour exprimer le nombre complexe quelconque. Dans d’autre cas, on lui préfère une notation algébrique sous forme de couple (aussi utilisée pour noter les coordonnées).

En arithmétique également, on peut représenter les nombres de nombreuses autres façon, par exemple par la suite des exposants dans la décomposition d’un nombre entier sous forme de produit de puissances de nombre premiers : le nombre de chiffres nécessaires dans un tel système n'étant pas limité, il est nécessaire d’utiliser un séparateur entre les chiffres qui eux-mêmes sont des nombres entiers qui sont exprimés sous forme positionnelle dans une base fixe.

Enfin, tous les chiffres utilisés dans certaines cultures ne sont pas nécessairement entiers. Certaines écritures (par exemple tibétaine) contiennent des chiffres dont la valeur est réduite d’une demi-unité, et des chiffres peuvent exprimer aussi diverses fractions de l’unité dans de nombreuses cultures indiennes.

[modifier] Musique

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En musique, les chiffres servent au chiffrage de la mesure. Ils composent le nombre indicateur, qui indique la mesure. C'est la fraction placée au début d'un morceau dans une partition musicale. Son numérateur indique le nombre de temps de la mesure, et son dénominateur, la valeur de la note. Par exemple, 2/4 signifie « une mesure à deux noires » ; 3/2, « une mesure à trois blanches » ; 6/8, « une mesure à six croches », etc.

On parle aussi de chiffrage. Il y a deux possibilités :

Une note avec un chiffre (ou deux selon les règles du chiffrage) écrit en dessous, donne l'accord qui doit être construit à partir de cette note. Cela s'appelle une basse chiffrée. Ce sont souvent les clavecinistes et les organistes qui utilisent ce système dans la musique baroque. Les élèves qui apprennent l'harmonie, se servent aussi de basses chiffrées pour apprendre à composer un texte musical à partir de ces données, et selon certaines règles très précises.
Ainsi, un « 5 » indique un accord de quinte. Un « 7 » indique un accord de septième. Un « 6 » au-dessus d'un « 4 » indique un accord de quarte et sixte. Un « 7 » barré d'une barre oblique, indique une septième diminuée. Seule la tierce n'est pas représentée par un « 3 » car elle est sous-entendue.
En analyse musicale, on chiffre les accords pour faciliter la construction d'une œuvre.

Les chiffres servent aussi à doigter les notes d'une partition, c'est-à-dire que le chiffre placé au-dessus d'une note indique le doigt utilisé pour réaliser la note. Ainsi, au violon le « 1 » représente l'index, le « 2 » le majeur, le « 3 » l'annulaire et le «4» l'auriculaire. Au piano, le « 1 » représente le pouce, le « 2 » l'index, ainsi de suite.

[modifier] Notes et références

↑ Albert Dauzat, Jean Dubois, Henri Mitterand, Nouveau dictionnaire étymologique et historique, Librairie Larousse 1971. p. 162.
↑ Étymologie donnée par le Robert des collèges.
↑ Dictionnaire de l'Académie française, neuvième édition. Version informatisée. Le Dictionnaire de l'Académie française donne pour premières définitions de « chiffrer » (dérivé de « chiffre ») : « 1. Numéroter, distinguer par des chiffres. Chiffrer les pages d'un registre. 2. Évaluer en chiffres. Chiffrer une dépense, un projet. Noter quelqu'un ou quelque chose par une appréciation chiffrée ». Pour « chiffrage » (dérivé de chiffrer) il donne en première définition : « Action d'évaluer en chiffres ; résultat de cette action. Le chiffrage d'un stock de marchandises. Le chiffrage du prix de revient d'une construction ».
↑ Article R25-1 du code électoral

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

Nombre
Système de numération
Chiffre significatif
Chiffre arabo-indien
Numération chinoise
Chiffres grecs
Chiffres japonais
Chiffres romains
Symbolique des chiffres

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[modifier] Bibliographie

Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres L'intelligence des hommes racontée par les nombres et les calculs, 2 tomes, Paris, éd. Robert Laffont, 1994 (ISBN 978-2-221-05779-7 et 978-2-221-07837-2)

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