Commutativité (encyclopédie mathématiques)

En mathématiques, une loi de composition interne $\star$ sur un ensemble S est dite commutative lorsque, pour tous x et y dans S,

$x \star y = y \star x$ .

Les exemples les plus simples de lois commutatives sont sans doute l'addition et la multiplication des entiers naturels.

D'autres exemples de lois commutatives incluent l'addition et la multiplication des nombres réels et des nombres complexes, l'addition des vecteurs, l'intersection et la réunion des ensembles.

D'importantes lois non commutatives sont la soustraction, la division, la multiplication des matrices, la composition de fonctions et la multiplication des quaternions.

Sommaire

[modifier] Exemples de structures à lois commutatives

Les structures suivantes ont pour point commun d'être décrites par la donnée d'une ou plusieurs lois internes dont on exige la commutativité :

les groupes commutatifs (on dit aussi « groupes abéliens ») ;
les anneaux commutatifs ;
les corps commutatifs.

[modifier] Éléments permutables

Soit $S$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $\star$ . Deux éléments x et y de S sont dits permutables lorsque :

$x\star y=y\star x$ .

On dit alors que x et y commutent.

Ainsi $\star$ est commutative si et seulement si pour tout couple (x,y) d'éléments de S, les éléments x et y sont permutables.

[modifier] Histoire et étymologie

Extrait de la p. 98 de l'article de Servois où est apparu pour la première fois le terme.

Certains écrits des temps anciens utilisent implicitement des propriétés de commutativité. Euclide, dans ses Éléments, avait supposé la commutativité de la multiplication^[1].

La première apparition du terme « commutatif » remonte à un article aux Annales de Gergonne écrit par François-Joseph Servois en 1814^[2]^,^[3]^,^[4], où celui-ci étudiait les propriétés de fonctions qui commutent entre elles (par composition). L'expression commutative law (en anglais) est ensuite apparue dans les Philosophical Transactions en 1844^[3], sous la plume de George Boole^[5].

[modifier] Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Commutative property » (voir la liste des auteurs)

↑ (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « The real numbers: Pythagoras to Stevin », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews [lire en ligne] .
↑ Servois, « Analise transcendante. Essai sur un nouveau mode d'exposition des principes du calcul differentiel », dans Annales de Gergonne, vol. 5, n^o 4, 1^er octobre 1814, p. 93-140
↑ ^{a et b} Julio Cabillón et Jeff Miller, Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Commutative and Distributive
↑ (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « François Joseph Servois », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews [lire en ligne] .
↑ (en) G. Boole, « On a general method in analysis », dans Philos. Trans. R. Soc., vol. 134, 1844, p. 225-282

[modifier] Voir aussi

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Commutativité

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