Composition d'applications (encyclopédie mathématiques)

En mathématiques, la composition de fonctions (ou composition d'applications) est un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, à en construire une nouvelle. Pour cela on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la seconde (à condition que cela ait un sens). On parle alors de fonction composée (ou d'application composée).

Sommaire

[modifier] Définition formelle

Soient $X$ , $Y$ et $Z$ trois ensembles quelconques. Soient deux fonctions $f:X\to Y$ et $g:Y \to Z$ . On définit la composée de $f$ par $g$ , notée $g \circ f$ par

$\forall x \in X,\ (g\circ f)(x)=g(f(x)).$

On applique ici $f$ à l'argument $x$ , puis on applique $g$ au résultat.

On se retrouve donc avec une nouvelle fonction $g \circ f: X \to Z$ .

La notation $g \circ f$ se lit « $g$ rond $f$ », « $f$ suivie de $g$ » ou encore « $g$ après $f$ ». On note parfois $g\circ f(x)$ pour $(g \circ f)(x)$ .

[modifier] Exemple d'incompatibilité des domaines

Soient les deux fonctions :

$\begin{matrix} f:&\mathbb R & \rightarrow & \mathbb R_+ \\ & x & \mapsto & x^2 \end{matrix}$

$\begin{matrix} g: & \mathbb R_- & \rightarrow & \mathbb R_+ \\ & x & \mapsto & \sqrt{-x} \end{matrix}$

Ici, le domaine d'arrivée de $f$ est $\R_+$ . Or le domaine de départ de $g$ est $\R_-$ (il n'existe pas de nombre réel tel que son carré soit strictement négatif). La fonction $g\circ f$ n'a donc pas de sens ici (puisqu'elle n'est vérifiée que pour une seule valeur de x, 0).

[modifier] Propriétés

Ici on ne se préoccupe pas des problèmes de compatibilité des domaines des fonctions considérées.

La composition de fonctions n'est généralement pas commutative :

$f \circ g \ne g \circ f$

La composition de fonctions est associative :

$f \circ ( g \circ h ) = ( f \circ g ) \circ h$

La composition de fonctions n'est généralement pas distributive (sur un opérateur quelconque $\star$ ) :

$f \circ (g \star h) \ne (f \circ g) \star (f \circ h)$

Si la fonction $g$ est continue en $x_0$ et la fonction $f$ est continue en $g(x_0)$ alors $f \circ g$ est continue en $x_0$ .

Composition de deux fonctions et strictement monotones ( le sens de variation obéit à une sorte de règle des signes):
- si $f$ et $g$ ont même sens de variation, leur composée est strictement croissante;
- si $f$ et $g$ ont des sens de variation différents, leur composée est strictement décroissante.

Dérivée d'une composition de fonctions dérivables :

$(f \circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'$

Voir l'article théorème de dérivation des fonctions composées.

Réciproque d'une composée :

$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$

[modifier] Puissances fonctionnelles

On conserve les notations ci-dessus. Si $Y \subset X$ alors $f$ peut être composée avec elle-même; et la composée est notée $f^2$ . Ainsi

$f^2=f \circ f$

$f ^3= f \circ f \circ f$

Et de manière plus générale:

$\forall n \in \N^*, f^n=\underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n\ \mathrm{fois}}$

On pose

$f^0=\operatorname{Id}_X$

où $\operatorname{Id}_X$ est l'application identité de l'ensemble $X$ .

Une extension de cette notation avec des exposants entiers négatifs peut être définie, à condition de supposer la fonction $f$ bijective de $X$ dans lui-même. Ainsi, $f^{-1}$ désigne l'application réciproque et pour tout entier $n$ strictement négatif, $f^n$ , est la composée de $f^{-1}$ par elle-même $-n$ fois.

Attention à ne pas confondre cette notation avec la puissance d'une fonction pour la multiplication des applications. Par exemple $\sin^2$ est la fonction $\sin \times \sin$ qui vérifie

$\forall x \in \R,\ \sin^2(x) = \sin(x)\times \sin(x)$

Il y a aussi une confusion possible entre l'inverse d'une fonction pour la multiplication et l'application réciproque.

[modifier] Autre notation

Au milieu du XX^e siècle, quelques mathématiciens trouvèrent que la notation $g \circ f$ portait à confusion et décidèrent d'utiliser $xf$ pour $f(x)$ et $xfg$ pour $(g \circ f)(x)$ .

[modifier] Voir aussi

Logique combinatoire
Lambda calcul
Fonction d'ordre supérieur
Théorème de dérivation des fonctions composées

v · d · m

Opérations binaires

Numériques	En ensemble ordonné	Structurelles	Autres

Élémentaires $+$ Addition $-$ Soustraction $\times$ Multiplication $\div$ Division $\hat{}$ Puissance Arithmétiques $\mathrm{div}$ Quotient euclidien $\mathrm{mod}$ Reste euclidien $\mathrm{pgcd}$ PGCD $\mathrm{ppcm}$ PPCM Combinatoires $( )$ Coefficient binomial $A$ Arrangement	Ensembles de parties $\cup$ Union $\backslash$ Complémentation $\cap$ Intersection $\Delta$ Différence symétrique Ordre total $\min$ Minimum $\max$ Maximum Treillis $\wedge$ Borne inférieure $\vee$ Borne supérieure	Ensembles $\times$ Produit cartésien $\dot{\cup}$ Somme disjointe $\hat{}$ Puissance ensembliste Groupes $\oplus$ Somme directe $\ast$ Produit libre $\wr$ Produit en couronne (en) Modules $\otimes$ Produit tensoriel $\mathrm{Hom}$ Homomorphisme $\mathrm{Tor}$ Torsion $\mathrm{Ext}$ Extension Arbres $\vee$ Enracinement Variétés connexes $\#$ Somme connexe Espaces pointés $\vee$ Bouquet $\wedge$ Smash produit $\ast$ Joint	Fonctionnelles $\circ$ Composition de fonctions $\ast$ Produit de convolution Vectorielles $\cdot$ Produit scalaire $\wedge$ Produit vectoriel $\times\,$ Produit vectoriel généralisé Algébriques $[,]$ Crochet de Lie $\{,\}$ Crochet de Poisson $\wedge$ Produit extérieur Homologiques $\smile$ Cup produit $\cdot$ Produit d'intersection Séquentielles $+$ Concaténation