Conjugué (encyclopédie mathématiques)

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En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe $z$ est le nombre complexe formé de la même partie réelle que $z$ mais de partie imaginaire opposée.

Sommaire

[modifier] Définition

Le conjugué d'un nombre complexe $z = a + bi\,$ , où a et b sont réels, est noté $\bar z = a - bi\,$ (lu « z barre ») ou parfois $z^*\,$ , notation recommandée par la norme ISO 31-11.

Dans le plan, le point d'affixe $\bar z$ est le symétrique du point d'affixe $z\,$ par rapport à l'axe des abscisses.

Le module du conjugué reste inchangé.

On peut définir une application, appelée conjugaison, par

$\begin{array}{r|ccc} c:& \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \longmapsto & \overline{z} \end{array}$

La conjugaison est une opération linéaire qui est de plus continue. C'est de plus un automorphisme de corps de $\mathbb{C}$ dans lui-même.

[modifier] Propriétés

On prend $(z,w)\in \mathbb{C} ^2$ .

$\overline{z+w} = \bar z + \bar w$
$\overline{zw} = \bar z \times \bar w$
$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\bar z}{\bar w}$ si $w\,$ est non nul
si $\operatorname{Im}\left(z\right) = 0$ alors $\bar z = z$
$\left|\bar z\right| = \left|z\right|$
$z \overline{z} = \left|z\right|^2$
$z^{-1} = {\overline{z} \over {\left|z\right|^2}}$ pour z non-nul.