Construction des nombres complexes

Construction des nombres complexes : encyclopédie mathématiques

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Le but de cet article est de présenter, d'une part la construction des nombres complexes, et d'autre part la démonstration plus ardue qu'il s'agit bien d'un corps algébriquement clos.

Sommaire

[modifier] Différentes constructions

[modifier] Corps valué

En tant que simple corps, les complexes sont aisés à définir; cela fait appel à la notion d'extension algébrique par adjonction de racines :

$\mathbb{C}=\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$

La classe de $X$ est notée $i$ (parfois, par exemple en électricité, les physiciens préfèrent utiliser $j$ , et réservent la lettre $i$ à une intensité). Elle vérifie comme on le souhaitait la relation: $i 2 = - 1$ .

Ceci définit une extension des nombres réels, de dimension $2$ (on peut donc bien écrire de façon unique tout nombre complexe sous la forme $a + b i$ où $a$ et $b$ sont des réels). On va la munir de la norme euclidienne la plus naturelle dans ce cadre: $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ . Elle prolonge bien celle des réels, et en tant qu'espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb{R}$ , on a bien un espace complet.

[modifier] Construction à partir d'opérations

On munit simplement $\mathbb{R}^2$ de deux lois internes, notées + et $\times$ (ou l'absence de symbole) définies par:

$\forall (x,y),(x',y') \in \mathbb{R}^2,~ (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$

$\forall (x,y),(x',y') \in \mathbb{R}^2,~ (x,y)\times(x',y')=(xx'-yy',xy'+yx')$

On vérifie que $(\mathbb{R}^2,+,\times)$ est un corps commutatif.

L'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^2$ qui a tout réel x associe (x,0) est injective et est un morphisme de corps. Ainsi on identifie x et (x,0) ainsi que $\mathbb{R}\times\{0\}$ avec $\mathbb{R}$ .

On note alors $\mathbb{C}$ l'ensemble $\mathbb{R}^2$ .

On note $i = (0,1)$ , qui vérifie $i 2 = - 1$ et on a donc:

$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,~(x,0)(1,0)+(y,0)(0,1))=x1+yi=x+iy$

On a bien que $\mathbb{C}$ est un $\mathbb{C}^2$ -espace vectoriel de dimension 1, dont une base est 1. De plus c'est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension 2, dont la base est $(1, i)$

L'application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{C}$ qui a tout couple (x,y) de $\mathbb{R}^2$ associe x+iy est un morphisme de $\mathbb{R}$ -espace vectoriel.

[modifier] Construction matricielle

On note ici $\mathcal{M}_{2}( \mathbb R)$ l'ensemble des matrices carrées à coefficients réels; on suppose connues les propriétés et la structure de cet ensemble muni des lois d'addition et de multiplication.

On s'intéresse aux matrices carrées

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

$J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

On considère à présent l'ensemble

$C=\left\{ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix} | (a,b) \in \mathbb R ^2 \right\} = \mathbb R I + \mathbb R J$

L'ensemble $C$ apparait alors comme un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{2}( \mathbb R)$ de dimension 2 ayant $(I, J)$ pour base.

Le calcul habituel sur les matrices donne $J 2 = - I$ d'où

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \\ \end{pmatrix} = (aI + bJ) (cI + dJ) = (ac-bd) I + (ad+bc) J = \begin{pmatrix} ac-bd & -(ad+bc) \\ ad+bc & ac-bd \\ \end{pmatrix}$

On vérifie très simplement que la multiplication laisse stable $C$ et est commutative sur $C$ . Observons de plus que $I$ est l'élément neutre de la multiplication sur les matrices carrées à coefficients réels. L'ensemble $C$ est donc un sous anneau commutatif de $\mathcal{M}_{2}( \mathbb R)$ .

Tout élément non nul de $C$ est inversible; en effet

$\forall (a,b)\in \mathbb R,\ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix} ^t \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix} = (a^2 + b^2) I$

Le corps $\mathbb R$ apparait comme isomorphe à un sous corps de $C$ ; en identifiant tout réel $μ$ à la matrice scalaire $μ I$ , et en posant $i = J$ , on obtient le corps des complexes.

Remarques

Pour obtenir le conjugué d'un complexe, il suffit de transposer la matrice qui lui est associée

Le module est obtenu par l'extraction de la racine carrée du déterminant de la matrice qui lui est associée.

[modifier] Clôture algébrique

Article détaillé : Théorème de d'Alembert-Gauss.

Les nombres complexes bénéficient de la propriétés suivantes :

Tout polynôme non constant à coefficients dans les nombres complexe possède au moins une racine.

Un corps commutatif possédant cette propriété est dit algébriquement clos. Ce résultat possède de nombreuses conséquences, elle garantit, par exemple en algèbre linéaire, l'existence d'une valeur propre pour tout endomorphisme sur un espace vectoriel complexe de dimension finie. En arithmétique, elle permet de montrer que tous corps de caractéristique nulle et pas trop vaste (de dimension finie en tant qu'espace vectoriel sur les nombres rationnels) s'identifie à un sous-corps des nombres complexes.

Trois démonstrations différentes sont proposés dans l'article détaillé.