Cosinus hyperbolique (encyclopédie mathématiques)

Graphe de la fonction cosinus hyperbolique sur une partie de ℝ

Le cosinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Sommaire

[modifier] Définition

La fonction cosinus hyperbolique, notée ch ou cosh, est la fonction complexe suivante :

$\begin{matrix}\cosh:&\C&\to&\C\\&z&\mapsto&\frac{e^z+e^{-z}}2\end{matrix}$

où $\scriptstyle z\mapsto e^z$ est l'exponentielle complexe.

La fonction cosinus hyperbolique est donc la partie paire de l'exponentielle complexe. Elle se restreint en une fonction réelle d'une variable réelle.

La fonction cosinus hyperbolique restreinte à ℝ est en quelque sorte l'analogue de la fonction cosinus dans la géométrie hyperbolique.

La notation Ch. x a été introduite par Vincenzo Riccati au XVIII^e siècle.

[modifier] Propriétés

[modifier] Propriétés générales

cosh est continue et même holomorphe donc de classe C^∞ (i.e. infiniment dérivable). Sa dérivée est sinh, la fonction sinus hyperbolique.
cosh est paire.
Les primitives de cosh sont sinh+C, à une constante d'intégration C près.
cosh est strictement croissante sur ℝ⁺.

[modifier] Propriétés trigonométriques

Des définitions des fonctions cosinus et sinus hyperboliques, on peut déduire les égalités suivantes, valables pour tout complexe $z$ et analogues aux formules d'Euler en trigonométrie circulaire :

$e^z=\cosh(z)+\sinh(z)\quad\text{et}\quad e^{-z}=\cosh(z)-\sinh(z),\quad\text{donc}\quad\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1.$

Quand t décrit ℝ, de même que le point de coordonnées (cos(t), sin(t)) parcourt un cercle d'équation $x^2 + y^2 = 1$ , celui de coordonnées (cosh(t), sinh(t)) parcourt donc une branche d'une hyperbole équilatère d'équation $x^2- y^2 = 1$ .

D'autre part, pour tous nombres complexes $x$ et $y$ :

$\cosh(i x) = \frac{e^{i x} + e^{-i x}}2= \cos(x)$

$\cosh(x) = \cos(i x) \,$

$\cosh(x+y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y) \,$

$\cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1+\cosh(x)}{2}$

L'utilisation de formules trigonométriques telles que sin(2t) = ^{(2 tan t)}⁄_{(1+tan² t)} permet aussi d'obtenir des relations plus anecdotiques, telle que (pour tout réel $x$ ) :

$\cosh(x)=\frac1{\sin(2\times\arctan(e^x))}$ ;

voir également l'article Gudermannien.

[modifier] Développement en série de Taylor

La série de Taylor de la fonction $\cosh$ converge sur ℂ tout entier et est donnée par :

$\cosh z = 1 + \frac {z^2} {2!} + \frac {z^4} {4!} + \frac {z^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}$

[modifier] Valeurs

Quelques valeurs de cosh :

$\cosh(0) = 1 \,$
$\cosh(1) = \frac {e^2+1}{2e}$
$\cosh(i) = \cos(1) \,$

[modifier] Zéros

Tous les zéros de $\cosh$ sont des imaginaires purs. Plus précisément, pour tout nombre complexe $z$ ,

$\cosh(z)=0 \Leftrightarrow z \in i\pi\left(\Z+\frac12\right).$

En effet, soit $z=x+i y$ avec $x,y$ réels. On a alors $\cosh (z)=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)$ , donc

$\cosh(z)=0 \Leftrightarrow \cos(y)=0 \mbox{ et } \sinh(x)=0 \Leftrightarrow y \in \{\pi / 2 +k \pi~|~k \in\Z\} \mbox{ et } x=0$ .

[modifier] Fonction réciproque

Graphe de la fonction argument cosinus hyperbolique sur $\left[1;+\infty\right[$

Sur [0,+∞[, cosh est continue et strictement croissante ; sa valeur en 0 est 1 et sa limite en +∞ est +∞. C'est donc une bijection de [0,+∞[ dans [1,+∞[. Sa bijection réciproque, notée argcosh (ou argch), est nommée argument cosinus hyperbolique.

Sur ℂ, il s'agit d'une fonction multivaluée complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure le segment $\left]-\infty;1\right[$ .

$\operatorname{argcosh}(z) = \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt {z-1})$

Pour $\scriptstyle x \in \left[1;+\infty\right[$ , il existe deux réels dont le cosh vaut $x$ :

$\operatorname{argcosh}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\quad\text{et}\quad-\operatorname{argcosh}(x)=\ln\left(x-\sqrt{x^2-1}\right).$

En effet, en posant $\scriptstyle t=\operatorname{argcosh}(x)$ et en utilisant que $\cosh^2t-\sinh^2t=1$ et $t>0$ , on obtient

$e^t=\cosh t+\sinh t= x+\sqrt {x^2-1}.$

La fonction argch est dérivable sur ]1;+ $\infty$ [ , et, pour tout x de l'intervalle ]1;+ $\infty$ [ , on a : $\operatorname{argch}'(x) = \dfrac1{\sqrt{x^2-1}}$ .

[modifier] Utilisation

[modifier] Physique

La courbe représentative de la fonction cosh sur ℝ décrit une chaînette, c’est-à-dire la forme d'un câble fixé aux deux extrémités et soumis à la pesanteur.

L'arche du Gateway

[modifier] Architecture

Le cosinus hyperbolique correspond en architecture à l'arc caténaire issu au départ de l'ingénierie des ponts suspendus. Antoni Gaudí a été l'un des premiers à l'utiliser massivement en architecture commune avec en particulier deux de ses œuvres les plus connues : la Crypte de la Colonia Güell et la Sagrada Família.

L'arche du Gateway à Saint-Louis (Missouri) possède la forme d'une chaînette renversée. Elle s'élève à 192 m en son centre et enjambe 192 m à sa base. Les points de cette arche satisfont approximativement l'équation

$y=-39 \cosh \left( \frac x{39} \right)+231$

pour -96 < x < 96.

[modifier] Voir aussi

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Tangente hyperbolique

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