Cosinus hyperbolique

Cosinus hyperbolique : encyclopédie mathématiques

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Graphe de la fonction cosinus hyperbolique sur une partie de $\mathbb R$

Le cosinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Sommaire

[modifier] Définition

La fonction cosinus hyperbolique, notée cosh (parfois, mais plus rarement, ch) est la fonction complexe suivante :

$\begin{matrix} \cosh: &\mathbb C &\longrightarrow &\mathbb C \\ \ &z &\longmapsto &\frac {e^z+e^{-z}} {2} \end{matrix}$

où $e$ est la fonction exponentielle complexe.

La fonction cosinus hyperbolique est en quelque sorte l'analogue de la fonction cosinus dans la géométrie hyperbolique.

[modifier] Propriétés

[modifier] Propriétés générales

cosh est continue et infiniment dérivable, dite de classe $C^\infty$
La dérivée de cosh est sinh, la fonction sinus hyperbolique.
La primitive de cosh est sinh+C, à une constante d'intégration C près.
La restriction de cosh à $\mathbb R$ est paire et strictement croissante sur $\mathbb R^+$ .

[modifier] Propriétés trigonométriques

De par les définitions des fonction cosinus et sinus hyperbolique, on peut déduire les égalités suivantes :

e z = cosh(z) + sinh(z)

e - z = cosh(z) - sinh(z)

Ces égalités sont analogues à la formule d'Euler en trigonométrie classique.

De même que les coordonnées (cos(t), sin(t)) définissent un cercle, (cosh(t),sinh(t)) définissent la branche positive d'une hyperbole équilatérale. On a en effet pour t>0 :

cosh 2 (t) - sinh 2 (t) = 1

D'autre part, pour $x \in \mathbb R$ :

$\cosh(i x) = \frac{(e^{i x} + e^{-i x})}{2} = \cos(x)$

cosh(x) = cos(i x)

cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + sinh(x)sinh(y)

$\cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1+\cosh(x)}{2}$

[modifier] Développement en série de Taylor

cosh, étant indéfiniment dérivable, possède un développement en série de Taylor en tout point :

$\cosh z = 1 + \frac {z^2} {2!} + \frac {z^4} {4!} + \frac {z^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}$

[modifier] Valeurs

Quelques valeurs de cosh :

$cosh(0) = 1$
$\cosh(1) = \frac {e^2+1}{2e}$
$cosh(i) = cos(1)$

[modifier] Fonction réciproque

Graphe de la fonction Cosinus hyperbolique réciproque sur $\left[1;+\infty\right[$

cosh admet une fonction réciproque, notée arccosh (ou arcosh). Il s'agit d'une fonction à valeurs multiples complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure le segment $\left]-\infty;1\right[$ .

$\operatorname{arcosh}(z) = \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt {z-1})$

Pour $x \in \left[1;+\infty\right[$ , la restriction de cosh à $\mathbb R$ admet deux réciproques : $\operatorname{arcosh}(x)=\ln\left(x \pm \sqrt{x^2-1}\right)$ .

[modifier] Physique

La courbe représentative de la fonction cosh sur $\mathbb R$ décrit une chaînette, c’est-à-dire la forme d'un câble fixé aux deux extrémités et soumis à la pesanteur.