Critère de Cauchy (encyclopédie mathématiques)

Pour les articles homonymes, voir Cauchy.

Ne doit pas être confondu avec critère intégral de Cauchy.

En mathématiques et en topologie, le critère de Cauchy, ainsi nommé en l’honneur du mathématicien français Augustin Louis Cauchy, est une condition se rapportant à la convergence des suites dans un espace métrique.

Une suite vérifiant ce critère est appelée suite de Cauchy.

Lorsque l’espace est complet, le critère de Cauchy est équivalent à la convergence.

Ce critère est parfois confondu avec la « règle de Cauchy » qui est une autre condition relative à la convergence des séries dans un espace de Banach.

Sommaire

[modifier] Énoncé

Article détaillé : Suite de Cauchy.

Une suite $(s_n)\,$ dans un espace métrique satisfait le critère de Cauchy ( $\Leftrightarrow$ est une suite de Cauchy) si et seulement si

$\lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{p,q>n}d(s_p,s_q)=0.$

Le critère de Cauchy est lié aux deux assertions suivantes :

Dans un espace métrique, une suite convergente est nécessairement de Cauchy.
Dans un espace métrique complet, toute suite de Cauchy est convergente.

[modifier] Espaces particuliers

L’équivalence est vraie dans $\R$ (où la distance est la valeur absolue), dans $\Complex$ (où la distance est le module), dans $\R^n$ et dans $\Complex^n$ où la distance découle de n’importe quelle norme, ou dans un espace de Banach : tous ces espaces sont métriques et complets.

Par contre, dans le $\mathbb{Q}$ -espace vectoriel normé $\mathbb{Q}^n$ muni de la distance associée à la norme euclidienne, seule la première assertion est vraie car cet espace n'est pas complet. Cependant, toute suite de Cauchy convergera tout de même, mais sa limite appartiendra à $\R^n$ , sans être nécessairement dans $\mathbb{Q}^n$ .

[modifier] Preuve

Première assertion :

Si une suite $(s_n)\,$ converge vers $s\,$ , alors pour tout réel $\epsilon > 0$ , il existe un entier $m$ tel que $d(s_n,s) < \epsilon\$ pour tout entier $n > m$ . Par inégalité triangulaire de la distance $d(s_p,s_q) \leqslant d(s_p,s) + d(s_q,s) < 2 \ \epsilon$ pour tout $p, \ q > m$ . La suite est donc de Cauchy.