Densité (mathématiques)

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En topologie, le concept de densité d'un sous-ensemble A d'un espace topologique X permet de refléter l'idée que pour tout point x de X on peut trouver un point de A qui soit aussi proche de x que possible. Ainsi, cette notion exprime la "densité", au sens usuel, de répartition des points de A dans X.

[modifier] Définition

Soit X un espace topologique et A un sous-ensemble de X. A est dense dans X si pour tout élément x de X, tout voisinage de x contient au moins un point de A.

De façon équivalente, A est dense dans X si le seul sous-ensemble fermé de X contenant A est X lui-même. C’est-à-dire que l'adhérence de A est X, ou que l'intérieur du complémentaire ensembliste de A est vide.

Dans le cas d'un espace métrique, il est possible d'utiliser la définition suivante : l'ensemble A dans un espace métrique X est dense si tout élément x de X est la limite d'une suite d'éléments de A.

[modifier] Espace topologique séparable

Un espace séparable est un espace topologique possédant un sous-ensemble dense dénombrable.

[modifier] Point dense

Un point x de X est dense si l'ensemble {x} est dense dans X.

[modifier] Exemples

• Tout espace topologique est dense dans lui-même.
• Les ensembles des nombres rationnels () et des nombres irrationnels sont denses dans l'ensemble des nombres réels () muni de la topologie usuelle.
• Un espace métrique M est dense dans sa complétion γM.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

• Espace séparable
• Ensemble nulle part dense
• Ordre dense