Différences divisées

Différences divisées : encyclopédie mathématiques

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En mathématiques, les différences divisées sont une méthode récursive de calculs de divisions.

Sommaire

[modifier] Définition

Étant donné n points

$(x_0, y_0),\ldots,(x_{n-1}, y_{n-1})$

les différences divisées sont définies de la manière suivante

$[y_{\nu}] := y_{\nu} \qquad \mbox{ , } \nu = 0,\ldots,n-1$

$[y_{\nu},\ldots,y_{\nu+j}] := \frac{[y_{\nu+1},\ldots y_{\nu+j}] - [y_{\nu},\ldots y_{\nu+j-1}]}{x_{\nu+j}-x_{\nu}} \qquad \mbox{ , } \nu = 0,\ldots,n-j,j=1,\ldots,n-1$

[modifier] Notes

Si les points sont donnés à l'aide d'une fonction f(x)

$(x_0, f(x_0)),\ldots,(x_{n-1}, f(x_{n-1}))$

que l'on écrit généralement

$f[x_{\nu}] := f(x_{\nu}) \qquad \mbox{ , } \nu = 0,\ldots,n-1$

$f[x_{\nu},\ldots,x_{\nu+j}] := \frac{f[x_{\nu+1},\ldots x_{\nu+j}] - f[x_{\nu},\ldots x_{\nu+j-1}]}{x_{\nu+j}-x_{\nu}} \qquad \mbox{ , } \nu = 0,\ldots,n-j,j=1,\ldots,n-1$

[modifier] Exemple

Les premières itérations donnent :

Ordre 0 :

[y 0] = y 0

Ordre 1 : $[y_0,y_1] = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$

Ordre 2 : $[y_0,y_1,y_2] = \frac{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}-\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}}{x_2-x_0}$

Pour expliciter le processus récursif, les différences divisées peuvent être décrites de cette manière

$\begin{matrix} x_0 & y_0 = [y_0] & & & \\ & & [y_0,y_1] & & \\ x_1 & y_1 = [y_1] & & [y_0,y_1,y_2] & \\ & & [y_1,y_2] & & [y_0,y_1,y_2,y_3]\\ x_2 & y_2 = [y_2] & & [y_1,y_2,y_3] & \\ & & [y_2,y_3] & & \\ x_3 & y_3 = [y_3] & & & \\ \end{matrix}$

[modifier] Formulation de Peano

[modifier] Application

La méthode des différences divisées est utilisée dans le calcul des coefficients dans une interpolation newtonienne (méthode particulière d'une interpolation polynomiale).