Duplication du cube

La duplication du cube est un problème classique de mathématiques. C'est un problème géométrique, faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la quadrature du cercle et la trisection de l'angle. Ce problème consiste à construire un cube, dont le volume est deux fois plus grand qu'un cube donné, à l'aide d'une règle et d'un compas. Cela revient donc à multiplier l'arête du cube par .

Le problème a son origine dans une légende rapportée par Ératosthène dans Le Platonicien et par Théon de Smyrne^[1] dans son Arithmétique. Les Déliens, victime d'une épidémie de peste, demandèrent à l'oracle de Delphes comment faire cesser cette épidémie. La réponse de l'oracle fut qu'il fallait doubler l'autel consacré à Apollon, autel dont la forme était un cube parfait. Les architectes allèrent trouver Platon pour savoir comment faire. Ce dernier leur répondit que le dieu n'avait certainement pas besoin d'un autel double, mais qu'il leur faisait reproche, par l'intermédiaire de l'oracle, de négliger la géométrie.

La question intéressa nombre de mathématiciens, par exemple Hippias d'Élis, Archytas de Tarente, Ménechme, Eudoxe de Cnide. Plusieurs solutions furent proposées par intersection de coniques ou par intersection de figures spatiales, mais aucune solution plane ne fut trouvée avec la seule utilisation de la règle et du compas.

En 1837, Pierre-Laurent Wantzel établit un théorème donnant la forme des équations des problèmes solubles à la règle et au compas. Il démontre que n'est pas constructible. La duplication du cube est donc impossible à réaliser.

La relation entre la construction géométrique et la théorie algébrique est développée dans Nombre constructible. Les démonstrations algébriques se trouvent dans Tour d'extension quadratique.

[modifier] Voir aussi

• Mésolabe
• Quadrature du cercle
• Trisection de l'angle

[modifier] Références