Ensemble fini

Ensemble fini : encyclopédie mathématiques

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En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement s'il existe un entier n et une bijection de E sur l'ensemble des entiers naturels strictement plus petits que n, en particulier, si n = 0, E est l'ensemble vide qui est donc bien fini. On montre l'unicité d'un tel entier n, et on appelle celui-ci nombre d'éléments de E, ou cardinal de E, en particulier l'ensemble vide a pour cardinal 0. La notation pour le cardinal varie suivant les ouvrages, on trouve n = card(E), n = #E, n = |E|, ou encore E (notation originelle de Cantor).

Cette définition fait référence aux entiers, mais certains mathématiciens et logiciens ont souhaité fonder les mathématiques sur la notion d'ensemble qui leur semblait plus primitive. Des définitions d'ensemble fini ont été proposées, qui ne faisaient pas référence aux entiers. La plus célèbre est probablement celle de Dedekind, elle caractérise les ensembles finis par le principe des tiroirs : un ensemble est fini au sens de Dedekind si et seulement s'il ne peut pas être mis en bijection avec l'une de ses parties propres. Mais pour montrer qu'un ensemble fini au sens de Dedekind est fini au sens usuel, il faut l'axiome du choix.

Les développements de la théorie des ensembles, après sa première axiomatisation par Ernst Zermelo, ont permis ensuite de montrer qu'il était possible de définir les entiers dans celle-ci, et donc la définition donnée en termes d'entier peut se voir finalement comme une définition purement ensembliste. Par ailleurs d'autres caractérisations d'ensemble fini ont été données, comme celle d'Alfred Tarski, dont l'équivalence avec la définition usuelle n'utilise pas l'axiome du choix.

Sommaire

[modifier] Définitions et propriétés élémentaires

[modifier] Ensemble fini de cardinal n

On précise un peu la définition. Soit n un entier naturel, alors E est un ensemble fini de cardinal n, quand E est en bijection avec les n premiers entiers naturels, soit {x ∈ N | x < n} = {0, … , n -1} (N désigne l'ensemble des entiers naturels), ou encore quand E est en bijection avec les n premiers entiers naturels non nuls {1, … , n}. On dit que E est équipotent à chacun de ces deux ensembles.

Cette notion de cardinal est évidemment stable par équipotence : un ensemble en bijection avec un ensemble fini de cardinal n est lui même fini de cardinal n, la composée de deux bijections étant une bijection.

Par définition, un ensemble E est alors fini s'il existe un entier naturel n tel que E soit fini de cardinal n. Un ensemble qui n'est pas fini, est dit infini. On va voir que la classe des ensembles finis est stable par les opérations usuelles de la théorie des ensembles : on ne peut introduire d'ensemble infini par ces opérations, sauf à utiliser un ensemble dont on sait déjà qu'il est infini.

Mais tout d'abord il est nécessaire de montrer les propriétés les plus évidentes des ensembles finis et de leurs cardinaux, à commencer par l'unicité du cardinal c'est-à-dire, pour un ensemble E fini, l'unicité de l'entier n tel que E est en bijection avec {x ∈ N | x < n}, qui permet de parler du cardinal d'un ensemble fini E. Les démonstrations de ces propriétés n'ont pas tant pour but de convaincre que celles-ci sont justes^[1], que de ce que la formalisation choisie pour la notion d'ensemble fini est correcte.

L'objet du paragraphe suivant est donc de montrer certaines de ces propriétés, à commencer par l'unicité du cardinal. La définition d'ensemble fini choisie présuppose l'existence des entiers, et on utilisera dans la suite, en plus des propriétés fondamentales comme la récurrence, quelques propriétés arithmétiques élémentaires, à commencer par celles de la relation d'ordre usuelle.

[modifier] Premières propriétés

Le premier objectif est de montrer l'unicité du cardinal. Pour cela on énonce le lemme suivant dont l'énoncé peut sembler un peu contourné car il ne présuppose pas l'unicité du cardinal de l'ensemble E. On va noter dans ce paragraphe et les suivants N_n = {0, … , n-1}.

Lemme. — S'il existe une injection d'un ensemble E dans N_n = {0, … , n-1}, alors E est fini, de plus si cet ensemble E est de cardinal p, alors p ≤ n.

On procède par récurrence sur n. Si n = 0, N_n est vide et E forcément vide aussi (le graphe de l'injection est vide).

On suppose le résultat pour N_n. Soit E un ensemble et i une injection de E dans N_{n +1} . Le résultat est évident par hypothèse de récurrence si n n'est pas atteint par l'injection. S'il l'est, soit a son antécédent par i. La restriction de i à E - {a} est une injection de cet ensemble dans N_n, donc, par hypothèse de récurrence, E - {a} est fini, et donc E est fini (compléter la bijection). Supposons que E soit de cardinal p, c'est-à-dire qu'il y a une bijection j de N_p dans E. Si l'image de p -1 par j est a le résultat suit par hypothèse de récurrence (j définit par restriction à N_{p -1} une injection de cet ensemble dans E - {a} qui s'injecte dans N_n, donc par hypothèse de récurrence p -1 ≤ n -1). Sinon on se ramène à ce cas en composant j avec la transposition qui échange a et l'image de p -1 et laisse tous les autres points de E fixes.

On en déduit immédiatement l'unicité du cardinal. en effet si un ensemble E est de cardinal n et p, alors il existe par composition une bijection entre N_n et N_p, et donc d'après le lemme p ≤ n et n ≤ p. Proposition. — Si E est un ensemble fini, alors il existe un unique entier naturel n tel que E soit de cardinal n.

Cet entier est appelé le cardinal de E, (ou son nombre d'éléments), et on le note dans la suite de cet article card E (d'autres notations existent voir le résumé introductif).

On peut maintenant ré-énoncer le lemme de façon plus directe.

Proposition. — S'il existe une injection d'un ensemble E dans un ensemble fini de cardinal n, alors E est fini de cardinal p ≤ n. En particulier un sous-ensemble fini d’un ensemble fini est fini de cardinal inférieur ou égal à celui de l'ensemble qui le contient.

Il peut être vu aussi comme une formulation du principe des tiroirs de Dirichlet, dont l'énoncé usuel est plutôt l'énoncé contraposé :

Il n'existe pas d'injection d'un ensemble fini de cardinal p éléments dans un ensemble fini de cardinal n si p > n,

dit autrement,

toute application d'un ensemble de cardinal p dans un ensemble de cardinal n est telle qu'un élément de l'ensemble d'arrivée a au moins deux antécédents si p > n.

Article détaillé : principe des tiroirs.

[modifier] Image par une application

Une conséquence de la propriété précédente est que :

Proposition. — L'image d'un ensemble fini par une application est un ensemble fini de cardinal inférieur ou égal à celui de l'ensemble de départ.

En effet, on peut se restreindre sans perte de généralité au cas où l'ensemble image est l'ensemble d'arrivée, soit F, qui est donc l'image d'un ensemble fini par une application surjective ; F est alors l'image d'un certain N_n par une application f surjective par composition. On construit une réciproque à droite de f, en associant à tout élément de F son plus petit antécédent (ce sont des entiers). On a ainsi une injection de F dans N_n, d'où le résultat, d'après la proposition précédente.

On peut reformuler ce résultat ainsi :

Si E est un ensemble fini, et f une fonction définie sur E, alors f(E) est fini et Card f(E) ≤ Card E.

[modifier] Clôture sous les opérations usuelles

Une première remarque est que, comme tout sous-ensemble d'un ensemble fini est fini, on obtient directement la clôture par toute opération qui conduit à construire un sous-ensemble d'un des ensembles d'origine, comme l'intersection, ou la différence ensembliste.

[modifier] Union

On va montrer que, comme attendu, la réunion de deux ensembles finis est finie, mais pour cela on envisage d'abord l’union disjointe (la réunion de deux ensembles disjoints, c'est-à-dire d'intersection vide), pour laquelle le cardinal correspond à l'addition :

[modifier] Union disjointe

Si E et F sont deux ensembles finis disjoints, E de cardinal n et F de cardinal p alors E ∪ F, la réunion de ces deux ensembles, est finie. et de cardinal n + p.

Si E ∩ F = ∅, alors card(E ∪ F) = card E + card F.

On peut réaliser l'union disjointe de deux ensembles qui ne le sont pas en utilisant en « colorant » leurs éléments, de façon distincte suivant qu'ils appartiennent à l'un ou à l'autre ensemble. Ainsi N_n × {0} et N_p × {1} sont deux ensembles disjoints, le premier étant en bijection avec N_n et le second avec N_p par oubli de la seconde composante. Par composition des bijections en jeu, il suffit de montrer le résultat précédent pour ces deux ensembles, à savoir que N_n × {0} ∪ N_p × {1} a pour cardinal n + p. On vérifie que l'application de cette réunion dans N_{n + p} et qui associe au couple (x, y) l'entier x + y n est une bijection.

[modifier] Différence et intersection

Si E est un ensemble fini, et F un ensemble quelconque, E ∩ F, l'intersection de E et de F, ainsi que E − F leur différence, sont des sous-ensembles de E donc finis. Comme E est la réunion disjointe de ces deux ensembles, on en déduit que :

card E = card (E ∩ F) + card (E − F)

[modifier] Réunion (cas général)

L'union de deux ensembles finis E et F peut se ramener à une réunion disjointe d'ensembles dont nous avons vus qu'ils étaient finis. En effet

E ∪ F = (E − F) ∪ (E ∩ F) ∪ (F − E).

On en déduit donc que si E et F sont deux ensembles finis, leur réunion est finie. De plus :

$\operatorname{card}\, (E \cup F) = \operatorname{card}\, E + \operatorname{card}\, F - \operatorname{card}\, (E \cap F)$ .

[modifier] Produit cartésien

Si E et F sont finis, de cardinaux respectifs n et p, E × F est fini de cardinal np.

Tout comme pour l'union disjointe, il suffit de montrer le résultat pour les ensembles d'entiers N_n et N_p. On montre que l'application qui au couple (x, y) associe (x+1)(y+1) - 1 établit une bijection de N_n × N_p dans N_np (il aurait été plus naturel d'établir une bijection de {1, …, n} × {1, …, p} dans {1, …, np} en associant xy à (x, y)).

[modifier] Ensemble des parties

L'ensemble des parties P(E) d'un ensemble fini E de cardinal n est un ensemble fini de cardinal 2ⁿ.

De façon analogue aux cas précédents on peut se ramener à E = N_n, puisque si f est une bijection d'un ensemble A dans un ensemble B, elle induit une bijection de P(A) dans P(B), en associant à un sous-ensemble X de A le sous-ensemble de B des images par f des éléments de X.

On donne deux démonstrations de ce résultat, la première présuppose un peu plus de connaissances arithmétiques. Â un ensemble X de N_n on associe par f l'entier dont la repésentation binaire aura 1 à la i-ème placce si i appartient à X, 0 sinon :

$f(X)=\sum_{i\in X}2^i$ .

La valeur maximale atteinte par f l'est pour E (tous les chiffres de la représentation à 1) et f(E)=2ⁿ - 1. Un entier strictement inférieur à 2ⁿ à une représentation binaire de longueur inférieure à n. L'écriture binaire d'un entier est unique. On en déduit que La fonction f établit donc une bijection de P(E) dans N_2ⁿ.

On peut aussi se servir uniquement de la définition par récurrence de la fonction exponentielle :sur les entiers naturels. La fonction qui à un entier naturel n associe l'entier naturel 2ⁿ est l'unique fontion de N dans N qui satisfait les équations :

2⁰=1 ; 2ⁿ⁺¹=2•2ⁿ

Il suffit donc de montrer que la fonction qui à un ensemble E de cardinal n associe le cardinal de son ensemble des parties P(E) satisfait ces équations.

C'est vrai pour l'ensemble vide, seul ensemble de cardinal 0, dont l'ensemble des parties est le singleton {∅} ayant pour seul élément cet ensemble.

Soit E un ensemble de cardinal n +1, et qui a donc au moins un élément soit e. Un sous-ensemble de E a ou n'a pas e pour élément. Ceci permet de partager en deux l'ensemble des parties de E :

$\mathcal P(E) = \mathcal P(E-\{e\})\cup \left\{X\cup \{e\}\,\mid\, X\in\mathcal P(E-\{e\})\right\}$ .

Ces deux ensembles sont disjoints et de même cardinal, par la bijection qui consiste à ajouter e, d'où le résultat. On a bien montré que, si e n'appartient pas à A de cardinal fini :

$\mathrm{card}\,\mathcal P(\emptyset)=1\ ;\ \ \mathrm{card}\,\mathcal P(A\cup\{e\})=2\cdot\mathrm{card}\,\mathcal P(A)$

et donc si E est un ensemble fini :

$\mathrm{card}\,\mathcal P(E) = 2^{\mathrm{card}\,E}$ .

[modifier] Ensemble des applications d'un ensemble fini dans un ensemble fini

L'ensemble des applications d'un ensemble fini de cardinal n dans un ensemble fini de cardinal p, est un ensemble fini de cardinal pⁿ.

Il y a une bijection évidente de l'ensemble des parties d'un ensemble E dans l'ensemble des applications de E dans {0,1} en associant à un sous-ensemble de E sa fonction caractéristique. C'est le cas particulier p = 2. Le cas général se traite de la même façon.

[modifier] Axiomatisation : diverses caractérisations des ensembles finis

[modifier] Les entiers et les bons ordres

Si on reprend la définition d'ensemble fini en théorie des ensembles d'un point de vue plus axiomatique, elle repose sur la définition qu'on y donne des entiers. Dans la théorie de Zermelo ou de Zermelo-Fraenkel, l'ensemble des entiers naturels, noté ω, est le plus petit ensemble auquel appartient 0 et clos par successeur, où 0 est l'ensemble vide et le successeur d'un ensemble x est l'ensemble obtenu en lui ajoutant x comme élément : le successeur de x est x ∪ {x}. On montre que l'ensemble des entiers naturels est bien ordonné par l'appartenance (comme ordre strict), et donc ses éléments, qui sont aussi des sous-ensembles, le sont aussi.

Article détaillé : Axiome de l'infini.

Une caractérisation plus directe, et qui ne nécessite pas l'axiome de l'infini, est de définir les entiers comme les ordinaux finis, c'est-à-dire 0 et tous les ordinaux qui ont un prédécesseur ainsi que tous les ordinaux qui lui sont inférieurs. Dit autrement :

Un ordinal est fini quand tout ordinal non nul qui lui est inférieur ou égal a un prédécesseur.^[2]

On appelera dans la suite entier de von Neumann les ordinaux finis, c'est à dire, en présence de l'axiome de l'infini, les éléments de ω.

Tout ensemble en bijection avec un entier de von Neumann est bien ordonné, en transférant l'ordre par la bijection. L'entier de von Neumann est l'ordinal du bon ordre obtenu (le seul ordinal isomorphe à ce bon ordre). On peut également définir directement la notion de bon ordre fini :

Un ensemble bien ordonné est fini quand toutes ses parties non vides (y compris l'ensemble lui-même) ont un plus grand élément.

On passe en effet d'un bon ordre quelconque à son ordinal α par définition par récurrence. Si tout ordinal inférieur ou égal à α, qui est également un sous-ensemble de α, a un prédécesseur, celui-ci est par définition le plus grand parmi les éléments cet ordinal. Un sous-ensemble quelconque A de α a même élément maximal que l'ensemble β des ordinaux inférieurs ou égaux à au moins un élément de A, et on montre facilement que β est un ordinal inférieur ou égal à α.

Un ordinal fini est bien élément de ω, car deux ordinaux sont toujours comparables, or un ordinal supérieur ou égal à ω, qui n'a pas de plus grand élément, ne peut être fini.

Si p est un élément de ω non nul, il a, en tant qu'ensemble, un plus grand élément, car sinon, comme 0 lui appartient et qu'il serait clos par successeur, ce serait un sur-ensemble de ω, or l'appartenance définit un ordre strict sur ω (voir axiome de l'infini). Soit n un élément de ω. Tout ordinal p inférieur strictement à n est un élément de n et donc de ω, par transitivité de cet ensemble (voir axiome de l'infini). On vient de voir que si p est non nul, il a un plus grand élément (en tant qu'ensemble) et cela vaut aussi pour n (s'il est non nul). Ce plus grand élément est le prédécesseur de l'entier correspondant.

Il est donc équivalent (déjà dans la théorie de Zermelo) de définir un entier comme un élément de ω ou comme un ordinal fini tel que ci-dessus. On en déduit que l'on peut définir de façon équivalente un ensemble fini comme un ensemble qui peut être bien ordonné par un bon ordre fini, c'est-à-dire tel que tout sous-ensemble non vide a un plus grand élément, ou encore :

Un ensemble est fini si et seulement s'il existe un bon ordre sur celui-ci dont l'ordre inverse est aussi un bon ordre.^[3]

[modifier] Les définitions de Tarski et de Russell-Whitehead

Certains ouvrages^[4]^,^[5] donnent une définition due à Alfred Tarski^[6], qui s'avère équivalente aux précédentes dans une théorie des ensembles sans axiome du choix, et qui ne réfère pas à une définition préalable des entiers :

un ensemble E est fini si et seulement si toute famille non vide de parties de E admet un élément minimal pour l'inclusion.

On trouve également une caractérisation inductive des ensembles finis, donnée par Russell et Whitehead dans le volume II (1912) des Principia Mathematica^[7] :

Un ensemble E est fini quand E appartient à toute famille S de parties de E qui vérifie les deux conditions :

∅ ∈ S (l'ensemble vide appartient à S) ;
Si A ∈ S et x ∈ E, alors A ∪ {x} ∈ S (si A appartient à S, toute partie obtenue en ajoutant un élément de E à A appartient également à S).

Cette définition est équivalente aux précédentes, toujours dans une théorie des ensembles sans axiome du choix.

On montre ces équivalences dans la suite, à savoir qu'un ensemble est fini selon la définition initiale (équipotent à un entier de von Neumann) si et seulement s'il est fini au sens de Tarski, ou encore si et seulement s'il est fini au sens de Russell-Whitehead.

Remarquons tout d'abord que l'image par une bijection d'un ensemble fini au sens de Tarski est un ensemble fini au sens de Tarski.

L'ensemble vide est évidemment fini au sens de Tarski. Par ailleurs si E est un ensemble fini au sens de Tarski, alors un ensemble obtenu en ajoutant à E un élément, soit E ∪ {x}, est encore fini au sens de Tarski. En effet si une famille S non vide de parties de E ∪ {x} contient au moins une partie de S, alors la famille S’ des parties de E qui appartiennent à S admet un élément minimal, pour l'inclusion, qui est aussi minimal dans S. Sinon la famille S’ des parties de E qui, complétées par {x}, appartiennent à S admet un élément minimal. En ajoutant x à celui-ci on obtient forcément un élément de S, minimal dans S.

On en déduit donc que tous les entiers de von Neumann, et donc tous les ensembles finis par passage à la bijection, sont finis au sens de Tarski.

Montrons maintenant que si E est fini au sens de Tarski, alors E est fini au sens de Russell-Whitehead. En effet Soit S une partie de E vérifiant les deux condtions de Russel-Whitehead. Soit T l'ensemble des parties de E dont le complémentaire est dans S :

T = {E − X | X ∈ S}.

Comme ∅ ∈ S, T est non vide, elle a donc un élément minimal, soit I. Comme le complémentaire inverse l'ordre de l'inclusion, le complémentaire de I, E − I, est alors maximal pour l'inclusion dans S. On en déduit que, d'après la seconde condition de Russell-Whitehead, E − I = E, c'est-à-dire que E appartient à S.

On termine en montrant que si E est fini au sens de Russell-Whitehead, alors E est fini (équipotent à un entier de von Neumann). En effet, on vérifie facilement que S l'ensemble des parties finies (en bijection avec un entier de von Neumann) de E, satisfait les deux conditions de Russell-Whitehead, et donc que E est en bijection avec un entier de von Neumann.

On a donc démontré l'équivalence entre les trois définitions données d'ensemble fini : en bijection avec un entier de von Neumann, fini au sens de Tarski, fini au sens de Russell-Whitehead, et ceci dans une théorie des ensembles faible (la théorie de Zermelo sans l'axiome de l'infini), en particulier on n'a pas utilisé l'axiome du choix.

[modifier] Dedekind

Un ensemble E est fini au sens de Dedekind si et seulement s'il ne peut pas être mis en bijection avec l'une de ses parties strictes (ou encore : toute injection de E dans lui-même est surjective). E fini au sens ci-dessus implique E fini au sens de Dedekind, mais la réciproque nécessite l'axiome du choix.

[modifier] Notes et références

↑ Selon Piaget, la conservation des quantités discrètes, est un préalable à l'acquisition de la notion de nombre chez l'enfant (voir construction du nombre chez l'enfant).
↑ Jean-Louis Krivine, théorie des ensembles [détail des éditions]
↑ Définition donnée par Paul Stäckel en 1907, selon Tarski 1924, article cité en bibliographie, p 81.
↑ Patrick Suppes Axiomatic set theory Van Nostrand 265 p.
↑ Roland Fraïssé Logique mathématique, t.1 Gauthier-Villars Paris 1971, p. 12-13-14
↑ Alfred Tarski 1924, article cité en bibliographie.
↑ selon Tarski, article cité, p 56, Corollaire 15, Russell et Whitehead ne prennent pas cette caractérisation comme définition mais la donnent comme théorème, dans le cadre de la théorie des types.

[modifier] Bibliographie

Paul R. Halmos, Introduction à la théorie des ensembles [détail des éditions].
Alfred Tarski (1924) Sur les ensembles finis Fund. Math. t.6 pp 45-95.