Ensemble parfait

Dans un espace topologique, un ensemble parfait est une partie fermée sans point isolé, ou de façon équivalente, une partie égale à l'ensemble de ses points d'accumulation.

[modifier] Exemples

Dans , un segment [a,b] est un exemple trivial d'ensemble parfait.

Un exemple moins évident est constitué par l'ensemble de Cantor^[1]. Cet ensemble est totalement discontinu et homéomorphe à l'espace de Cantor . Plus généralement, l'espace produit {0,1}^I est parfait lorsque I est un ensemble infini. Un exemple^[2] d'ensemble parfait dans le plan, homéomorphe également à l'ensemble de Cantor, est donné par l'ensemble où est une série absolument convergente de complexes telle que, pour tout N,

.

On peut engendrer des ensembles parfaits de la façon suivante. Si P⁰ est une partie fermée de ou de , on définit le dérivéP' = P¹ de P⁰ comme l'ensemble des points d'accumulation de P⁰. Pour tout ordinal α, on pose P^{α + 1} = (P^α)', et, si α est un ordinal limite, . Si Ω désigne le premier ordinal non dénombrable, on montre que^[3] :

• Ou bien . On dit que P⁰ est réductible.
• Ou bien P^Ω et dans ce cas, c'est un ensemble parfait. P⁰ est la réunion de cet ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable.

[modifier] Propriétés

Un ensemble parfait non vide de n'est pas dénombrable^[4].

Toute partie fermée de (ou plus généralement : d'un espace polonais) est, de façon unique, réunion disjointe d'une partie dénombrable et d'un ensemble parfait : voir Théorème de Cantor-Bendixson (en).

[modifier] Notes et références