Ensemble parfait

Ensemble parfait : encyclopédie mathématiques

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Dans un espace topologique, un ensemble parfait est une partie fermée sans point isolé, ou de façon équivalente, une partie égale à l'ensemble de ses points d'accumulation.

Dans $\mathbb R$ , un segment $[a, b]$ est un exemple trivial d'ensemble parfait. Un exemple moins évident est constitué par l'ensemble de Cantor.

On peut engendrer des ensembles parfaits de la façon suivante. Si $P 0$ est une partie bornée de $\mathbb R$ ou de $\mathbb R^n$ , on définit le dérivé $P' = P 1$ de $P 0$ comme l'ensemble des points d'accumulation de $P 0$ . Pour tout ordinal $α$ , on pose $P α + 1 = (P α)'$ , et, si $α$ est un ordinal limite, $P^{\alpha} = \cap_{\beta<\alpha} P^{\beta}$ . Si $Ω$ désigne le premier ordinal non dénombrable, on montre que :

Ou bien $P^{\Omega} = \varnothing$ . On dit que $P 0$ est réductible.
Ou bien $P^{\Omega} \neq \varnothing$ et dans ce cas, c'est un ensemble parfait. $P 0$ est la réunion de cet ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable.