Espace accessible

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En topologie et dans d'autres branches des mathématiques, un espace accessible (ou espace T₁, ou de Fréchet) est un cas particulier d'espace topologique. Il s'agit d'un exemple d'axiome de séparation.

[modifier] Définition

Soit E un espace topologique. E est un espace T₁ si pour tout couple d'éléments distincts x et y de E, il existe un ouvert contenant x et pas y et un ouvert contenant y et pas x.

[modifier] Propriétés

Soit E un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

• E est un espace T₁.
• E est un espace T₀ et un espace R₀.
• Pour tout x de E, {x} est fermé (tous les singletons de E sont fermés).
• Tout singleton est l'intersection de ses voisinages.
• Toute partie de E est l'intersection de ses voisinages (ou encore : des ouverts qui la contiennent).
• Tout sous-ensemble fini de E est fermé.
• Tout sous-ensemble cofini de E est ouvert.
• L'ultrafiltre principal en x converge seulement vers x.
• Pour tout point x de E et tout sous-ensemble S de E, x est un point limite de S si et seulement si c'est un point d'accumulation de S.

[modifier] Exemples

• La topologie cofinie sur un ensemble infini est T₁, mais pas T₂.

[modifier] Voir aussi

• Espace séparé