Espace de Hilbert

Espace de Hilbert : encyclopédie mathématiques

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Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme ∥·∥ découle d'un produit scalaire ou hermitien <·,·> par la formule $\| x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$ . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.

[modifier] Théorème de M. Fréchet-J. von Neumann-P. Jordan

Un espace de Banach (respectivement espace vectoriel normé) est un espace de Hilbert (respectivement espace préhilbertien) si et seulement si sa norme vérifie l'égalité

$\| x + y\|^2 + \| x - y\|^2 = 2 ( \| x\|^2 + \| y\|^2)$ ,

qui signifie que la somme des carrés des côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés des diagonales (règle du parallélogramme).

Dans le cas réel le produit scalaire est défini par

$\langle x,y \rangle = \frac{1}{4}\bigl(\| x + y\|^2 -\| x - y\|^2\bigr)$ .

Dans le cas complexe le produit hermitien est défini par

$\langle x,y \rangle = \langle x,y \rangle_1+ i \langle x,iy \rangle_1$ ,

où

$\langle x,y \rangle_1 = \frac{1}{4}\bigl(\| x + y\|^2 -\| x - y\|^2\bigr)$

et $i$ est l'unité imaginaire (le nombre complexe identifié au couple de réels $(0,1)$ ).

Dans un espace de Hilbert de dimension infinie, le concept habituel de base est remplacé par celui de base de Hilbert qui permet, non plus de décrire un vecteur par ses coordonnées, mais de l'approcher par une suite infinie de vecteurs ayant chacun des coordonnées finies. On est donc au confluent de l'algèbre linéaire et de la topologie. C'est dans le cadre des espaces de Hilbert qu'est développée la théorie de la formulation variationnelle, utilisée dans de nombreux domaines de la physique.

En mécanique quantique, l'état d'un système est représenté par un vecteur dans un espace de Hilbert.

[modifier] Exemples d'espaces de Hilbert

$\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire usuel.
$L^2( [a,b] )~$ , espace des fonctions de $[a,b]~$ à valeurs dans $\Complex$ et de carré sommable avec la convention que deux fonctions égales presque partout sont égales (voir l'article sur l'espace $L^p(\Omega)~$ ), muni de $\langle f,g \rangle = \int_a^b \overline{f}(x)g(x)\,\mathrm dx$ .
$\ell^2$ , l'espace des suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de nombres complexes telles que $\sum_{n=0}^\infty|u_n|^2<+\infty$ , le produit scalaire de deux suites $u~$ et $v~$ étant par définition la somme de la série $\sum_{n=0}^\infty u_n\overline{v}_n$

En fait, tout espace de Hilbert séparable est isomorphe à $\ell^2$ , voir l'article sur les bases de Hilbert.

[modifier] Voir aussi

Base de Hilbert
Théorème de représentation de Riesz
Théorème de projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert
Théorème de Lax-Milgram
Théorème de Stampacchia
Espace de Banach
Analyse fonctionnelle
mesures secondaires

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