Espace de Hilbert (encyclopédie mathématiques)

Cette page contient des caractères spéciaux.

Si certains caractères de cet article s’affichent mal (carrés vides, points d’interrogation, etc.), consultez la page d’aide Unicode.

Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet, c'est-à-dire un espace de Banach dont la norme $\|\cdot\|$ découle d'un produit scalaire ou hermitien <·,·> par la formule $\| x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}.$ C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.

Sommaire

[modifier] Théorème de M. Fréchet-J. von Neumann-P. Jordan

Un espace de Banach (respectivement espace vectoriel normé) est un espace de Hilbert (respectivement espace préhilbertien) si et seulement si sa norme vérifie l'égalité

$\| x + y\|^2 + \| x - y\|^2 = 2 ( \| x\|^2 + \| y\|^2)$ ,

qui signifie que la somme des carrés des côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés des diagonales (règle du parallélogramme).

Identité de polarisation :

Dans le cas réel le produit scalaire est défini par $\langle x,y \rangle = \frac{1}{4}\bigl(\| x + y\|^2 -\| x - y\|^2\bigr)$ .
Dans le cas complexe le produit hermitien est défini par $\langle x,y \rangle = \langle x,y \rangle_1+ i \langle x,iy \rangle_1$ , où $\langle x,y \rangle_1 = \frac{1}{4}\bigl(\| x + y\|^2 -\| x - y\|^2\bigr)$ et $i$ est l'unité imaginaire (le nombre complexe identifié au couple de réels $(0,1)$ ).

Dans un espace de Hilbert de dimension infinie, le concept habituel de base est remplacé par celui de base de Hilbert qui permet, non plus de décrire un vecteur par ses coordonnées, mais de l'approcher par une suite infinie de vecteurs ayant chacun des coordonnées finies. On est donc au confluent de l'algèbre linéaire et de la topologie. C'est dans le cadre des espaces de Hilbert qu'est développée la théorie de la formulation variationnelle, utilisée dans de nombreux domaines de la physique.

En mécanique quantique, l'état d'un système est représenté par un vecteur dans un espace de Hilbert.

[modifier] Exemples d'espaces de Hilbert

L'espace euclidien $\R^n$ muni du produit scalaire usuel.
L'espace $L 2 ( [a,b] )$ des fonctions de $[a, b]$ à valeurs dans $\C$ et de carré sommable avec la convention que deux fonctions égales presque partout sont égales (voir l'article espace $L p$ ), muni de $\langle f,g \rangle = \int_a^bf(x)\overline{g(x)}~\mathrm dx$ .
L'espace de suites ℓ², constitué des suites $(u_n)_{n \in\N}$ de nombres complexes telles que $\sum_{n=0}^\infty|u_n|^2<+\infty$ , le produit hermitien de deux suites $u$ et $v$ étant par définition la somme de la série $\sum_{n=0}^\infty u_n\overline{v}_n$

En fait, tout espace de Hilbert séparable est isomorphe à ℓ², voir l'article sur les bases de Hilbert.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

Théorème de représentation de Riesz
Théorème de projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert
Théorème de Lax-Milgram
Théorème de Stampacchia
Espace de Sobolev
Mesure secondaire

[modifier] Lien externe

Cours d'analyse — Jacques Harthong

v · d · m

Algèbre bilinéaire

Espace euclidien · Espace hermitien · Forme bilinéaire · Forme quadratique · Forme sesquilinéaire · Orthogonalité · Base orthonormale · Projection orthogonale · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Inégalité de Minkowski · Matrice positive · Matrice définie positive · Décomposition QR · Déterminant de Gram · Espace de Hilbert · Base de Hilbert · Théorème spectral · Théorème de Stampacchia · Théorème de Lax-Milgram · Théorème de représentation de Riesz

v · d · m Analyse fonctionnelle
Théorèmes	Ascoli · Baire · Banach-Alaoglu · Banach-Mazur · Banach-Schauder · Banach-Steinhaus · Fréchet-Kolmogorov · Graphe fermé · Hahn-Banach · Lax-Milgram
Divers	Fonctionnelle · Équation d'Euler-Lagrange · Multiplicateur de Lagrange · Calcul des variations · Dérivée fonctionnelle · Espace de Banach · Algèbre de Banach · C-algèbre · Espace de Hilbert* · Espace de Fréchet · Variété banachique · Espace fonctionnel · Noyau reproduisant · Série de Fourier · Transformée de Fourier · Distribution · Topologie faible

Espace de Hilbert

Sommaire

[modifier] Théorème de M. Fréchet-J. von Neumann-P. Jordan

[modifier] Exemples d'espaces de Hilbert

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

[modifier] Lien externe

Rechercher

Menu

Espace membre

Changer d'île