Espace localement connexe

Le « peigne Â» (en) est connexe, mais pas localement connexe.

En mathématiques, plus précisément en topologie, un espace localement connexe est un espace topologique possédant une base d'ouverts dont chacun est connexe, c'est-à-dire intuitivement « fait d'une seule pièce Â».

[modifier] Définition équivalente

Un espace X est localement connexe si et seulement si pour tout point x de X,

x possède un système fondamental de voisinages dont chacun est connexe (pour la topologie induite par la celle de X),

autrement dit,

tout voisinage de x contient un voisinage connexe de x.

[modifier] Propriétés

• Tout ouvert U d'un espace X localement connexe est encore localement connexe (puisqu'on obtient une base d'ouverts de U – pour la topologie induite par la celle de X – en sélectionnant, parmi les ouverts d'une base de X, ceux qui sont inclus dans U).

• Dans un espace localement connexe, les composantes connexes sont ouvertes (puisque pour tout point x d'une telle composante U, il existe un ouvert contenant x et connexe, donc inclus dans U).

• Tout espace où les composantes connexes de chaque ouvert sont ouvertes est connexe (puisque les ouverts connexes forment alors une base d'ouverts).

• La connexité locale n'est pas préservée par image continue.

[modifier] Exemples

• Tout espace localement connexe par arcs est localement connexe (puisque tout espace connexe par arcs est connexe). Les exemples les plus classiques sont

• Dans muni de sa topologie usuelle, un exemple d'espace connexe qui n'est pas localement connexe est le « peigne Â» (figure ci-dessus). Un exemple de même nature est la partie  : tout point de A possède dans A un voisinage connexe (à savoir A lui-même) mais ne possède pas forcément de base de voisinages connexes.

• Un autre exemple classique de partie connexe de qui n'est pas localement connexe est la courbe sinus du topologiste.