Espace normal

Espace normal : encyclopédie mathématiques

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En mathématiques, un espace normal est un cas particulier d'espace topologique.

[modifier] Définition

Soit $X$ un espace topologique. On dit que $X$ est normal s'il est T1, et si pour tout couple d'ensembles fermés $A$ et $B$ disjoints, il existe $U$ et $V$ ouverts disjoints tels que: $A\subset U$ et $B\subset V$ .

[modifier] Caractérisation utile

On a la caractérisation suivante, utilisée souvent (dans le lemme d'Urysohn par exemple): $X$ est normal ssi pour tout $A$ fermé, pour tout $V$ ouvert tel que $A\subset V$ , il existe $U$ ouvert tel que $A\subset U\subset \overline{U} \subset V$ . On utilise en fait beaucoup plus souvent le sens direct de cette équivalence.

Démonstration

Supposons $X$ normal, et soit $A\subset V$ où $A$ est fermé et $V$ ouvert. Alors $A$ et $c V$ sont deux fermés disjoints donc il existe $U, U'$ ouverts disjoints tels que $A\subset U$ et ${}^cV\subset U'$ . Alors le fermé $c U'$ contient $U$ donc contient $\overline{U}$ et donc $\overline{U}\subset V$ ce qui montre la première implication.
Réciproquement, soient $A, B$ fermés de $X$ disjoints. Alors $A\subset {}^cB$ est ouvert donc on peut appliquer la propriété : il existe $U$ ouvert tel que $A\subset U \subset \overline{U}\subset {}^cB$ . Alors $U$ et ${}^c\overline{ U}$ vérifient les propriétés demandées.