Espace séparable (encyclopédie mathématiques)

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Ne pas confondre avec la structure d'espace séparé.

En mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous-ensemble fini ou dénombrable et dense, c'est-à-dire contenant un ensemble fini ou dénombrable de points dont l'adhérence est égale à l'espace topologique tout entier.

Sommaire

[modifier] Lien avec les espaces à base dénombrable

Article détaillé : espace à base dénombrable.

Tout espace métrisable séparable est un espace à base dénombrable et a donc au plus la puissance du continu. Sont de ce type la plupart des espaces usuels. Être à base dénombrable est une propriété beaucoup plus forte qu'être séparable.

L'hypothèse de séparabilité se retrouve abondamment dans les résultats d'analyse fonctionnelle.

Un sous-espace d'un espace séparable n'est pas en général séparable. Par contre, un sous-espace d'un espace à base dénombrable est encore à base dénombrable. A fortiori, par ce qui précède, un sous-espace d'un espace métrisable séparable est encore métrisable séparable. Mais il est possible de donner une démonstration directe de cette dernière assertion sans utiliser l'équivalence, pour un espace métrisable, entre la séparabilité et l'existence d'une base dénombrable.

Démonstration

Soit $(X,d)$ un espace métrique séparable, et soit $A$ un sous-espace de $X$ . On va construire une suite dense dans $A$ . Choisissons $(x_n)_{n\in\N^*}$ une suite dense dans $X$ . Pour tout entier $n>0$ , fixons un point $a_n$ de $A$ vérifiant $d(x_n,a_n)<d(x_n,A)+1/n$ . Soit $a$ un point de $A$ , et soit $\epsilon>0$ . Par définition de la suite $(x_n)$ , il existe un entier $n>3/\epsilon$ tel que $d(a,x_n)<\epsilon/3$ . On a alors (par définition de la suite $(a_n)$ ) $d(x_n,a_n)<\epsilon/3+1/n<2\epsilon/3$ donc (par inégalité triangulaire) $d(a,a_n)<\epsilon$ .

La suite $(a_n)$ est donc bien dense dans $A$ .

[modifier] Exemples

[modifier] L'ensemble $\R$ des nombres réels

L'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels, muni de sa topologie usuelle, est séparable car $\mathbb{Q}$ y est dense et de cardinal dénombrable.

[modifier] Espace métrique précompact

Tout espace métrique précompact est séparable.

Il existe de très gros espaces compacts non métrisables mais néanmoins séparables ; c'est le cas du compactifié de Stone-Čech de N qui a même puissance que l'ensemble des parties de R.

[modifier] Espaces de Lebesgue

Pour $1 \le p < \infty$ , l'espace $L^p(\mathbb R)$ des fonctions dont la puissance p est intégrable, est séparable. Par contre, l'espace $L^\infty(\mathbb R)$ des fonctions essentiellement bornées ne l'est pas.

[modifier] Espace produit

Si, pour tout $\alpha$ appartenant à un ensemble A ayant au plus la puissance du continu $\mathfrak c$ , $X_\alpha$ est un espace séparable, alors l'espace produit $\prod_{\alpha \in A} X_\alpha$ est séparable. En particulier, ${\mathbb R}^{\mathbb R}$ et $({\mathbb R}^{\mathbb R})^{\mathbb R}$ sont séparables.

Un espace séparable et séparé a un cardinal inférieur ou égal à $2^{\mathfrak c}$ , de sorte que ${\mathbb R}^{({\mathbb R}^{\mathbb R})}$ n'est pas séparable^[1].

[modifier] Notes et références

↑ François Guénard et Gilbert Lelièvre, Compléments d'analyse, Volume 1, Topologie, première partie, ENS Fontenay éd., (1985) p.41

Espace séparable

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