Extremum (encyclopédie mathématiques)

	« Maximum » et « Minimum » redirigent ici. Pour les autres significations, voir Maximum (homonymie) et Minimum (homonymie).

Les deux pluriels du substantif « maximum » étant « maximums » et « maxima » , consulter pour d'autres sens de ce dernier la page Maxima (homonymie).

Sur les autres projets Wikimedia :

Extremum, sur le Wiktionnaire

L'expression « élément extremum » signifie « élément maximum » ou « élément minimum ».

Dans un ensemble ordonné E, un élément d'une partie A est le plus grand élément ou maximum de A, s'il appartient à A et est supérieur à tout autre élément de A. L'existence d'un maximum n'est en général pas assurée pour toute partie d'un ensemble ordonné. En revanche, sous condition d'existence, un tel élément est unique (ce qui justifie l'emploi de l'article défini « le » dans la définition). De manière analogue, le plus petit élément ou minimum est, s'il existe, un élément de A inférieur à tout autre élément de A.

Sommaire

[modifier] Généralités

[modifier] Unicité

Si une partie A de E admet deux maxima, m₁ et m₂, alors m₁ est plus grand que tout élément de A, donc en particulier que m₂ ; et de même, m₂ est plus grand que m₁. Par antisymétrie des relations d'ordre, l'égalité m₁=m₂ s'en déduit.

[modifier] Comparaison avec d'autres notions

D'autres notions relatives aux ensembles ordonnés sont proches de celles de maximum ; les comparer permet de mieux les appréhender :

La notion de majorant : un élément de E est un majorant de A s'il est plus grand que tout élément de A. Ainsi, un maximum est en particulier un majorant ;
La notion de borne supérieure : un élément est une borne supérieure de A si c'est le plus petit de tous les majorants de A (une borne supérieure de A est donc définie comme le minimum d'une certaine partie). Si A admet un maximum, alors ce maximum est la borne supérieure de A ;
La notion d'élément maximal : un élément de A est maximal dans A, s'il appartient à A, et n'est inférieur à aucun autre élément de A. Un maximum est toujours un élément maximal, et les deux notions coïncident dans les ensembles munis d'un ordre total.

Vérifications

Le fait qu'un maximum est un majorant est évident. Soit A une partie de E admettant un maximum m. Soit M l'ensemble des majorants de A. Le maximum m est bien un majorant donc appartient à M. Soit m un autre majorant de A. Alors, puisque m est dans A (en tant que maximum), m est inférieur à m. Ainsi, m est un élément de M inférieur à tout autre élément de M, donc un minimum de M, donc une borne supérieure de A.

Soit m un maximum d'une partie A de E. Soit a un élément de m ; alors m est supérieur à a en tant que maximum ; s'il est aussi inférieur, alors il est égal à a, par antisymétrie de la relation d'ordre, ce qui montre que m n'est inférieur à aucun autre élément de A, donc est bien un élément maximal. On suppose maintenant E muni d'un ordre total. Soit a un élément maximal d'une partie A. Soit b un autre élément de A. Alors, puisque l'ordre est total, a est inférieur à b, ou b est inférieur à a. La première possibilité est exclue car a est supposé un élément maximal ; ainsi b est inférieur à a. Donc a est bien supérieur à tout élément de A, donc est le maximum de A.

[modifier] Exemples

L'ensemble N des entiers naturels muni de son ordre usuel admet un plus petit élément, à savoir 0. Il n'admet en revanche pas de plus grand élément. Une propriété assure toutefois que toute partie majorée de N (c'est-à-dire admettant un majorant), admet un maximum.

Dans l'ensemble R des nombres réels muni de son ordre usuel, certaines parties majorées n'admettent pas de plus grand élément, par exemple l'intervalle ]0,1[ des nombres strictement compris entre 0 et 1.

Dans un ensemble ordonné muni d'un ordre non total, certaines parties admettent des éléments maximaux qui ne sont pas des maxima. Par exemple dans l'ensemble $E=\{\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$ des parties de l'ensemble ${0,1}$ , ordonné par l'inclusion, la partie $A = {{0},{1}}$ admet deux éléments maximaux, mais pas de maximum.

[modifier] Autre exemple

Prenons pour ensemble ordonné E l'ensemble des intervalles réels, ordonné par la relation d'inclusion.
Choisissons comme partie P à étudier, l'ensemble des intervalles inclus dans $[-1; 0 [\cup]0 ; 1]$ .
Tout élément de P inclut l'ensemble vide, donc l'ensemble vide est un minorant de P. Or l'ensemble vide est élément de P, c'est donc aussi sa borne inférieure et son plus petit élément.
Tout élément de P est inclus dans l'intervalle [-1 ; 1] qui est élément de E mais pas de P. Donc [-1 ; 1] est un majorant de P, mais pas son plus grand élément. Malgré tout, c'est son plus petit majorant, donc sa borne supérieure.
Il n'existe aucun élément de P qui soit supérieur à ]0 ; 1]. ]0 ; 1] est donc un élément maximal de P. Mais il existe des éléments de P qui ne lui sont pas comparables, par exemple [-1 ; -1/2]. Donc ]0 ; 1] n'est pas le plus grand élément de P. Et pour cause, il existe un autre élément maximal distinct : [-1 ; 0[, donc P n'a pas de plus grand élément !

[modifier] Extrema d'une fonction

Le maximum d'une fonction f définie sur un ensemble E et à valeurs dans un ensemble F ordonné est le maximum de l'ensemble des valeurs prises par f (de la partie f(E) de F). Ainsi m est le maximum de f s'il existe un élément a de E tel que f(a) = m et tel que pour tout élément x de E, f(x) ≤ f(a) ; l'élément a (qui n'est pas nécessairement unique) est appelé point de maximum de f.

Dans le cas où l'espace de départ de f est muni d'une structure topologique (par exemple si f est une fonction d'une ou plusieurs variables réelles à valeurs réelles), on distingue deux types d'extrema : les extrema globaux, qui correspondent à la définition précédente, et les extrema locaux.

[modifier] Extremum local d'une fonction

Soient une fonction f définie sur un espace topologique E et a un point de E. On dit que f atteint en a un maximum local s'il existe un voisinage V de a tel que pour tout élément x de V, on ait f(x) ≤ f(a).
On dit alors que f(a) est un « maximum local » de f sur E et que a est un point de maximum local de f.

[modifier] Théorèmes topologiques d'existence d'extrema globaux

Soit une fonction $f : D \to\R$ , où D est un espace topologique. Par exemple, D peut être une partie de R (cas d'une fonction d'une variable réelle), ou d'un espace R^k, avec k un entier naturel (cas d'une fonction de k variables réelles).

L'existence d'extrema globaux est assurée dès lors que la fonction f est continue et définie sur une partie D compacte : en effet, l'image f(D) par une telle fonction continue d'une partie compacte est une partie compacte de l'espace d'arrivée R ; en tant que partie bornée de R, elle admet une borne supérieure, et cette borne supérieure est dans f(D) puisque cette partie est fermée.

En dimension k=1, c'est en particulier le cas si I est un intervalle fermé borné, c'est-à-dire de la forme [a,b] (voir théorème des bornes). En dimension supérieure k, c'est en particulier le cas si D est une boule fermée (de la forme $D=B(A,r)=\{X\in \mathbf{R}^k/||X-A||\leq r\}$ , où $| | . | |$ désigne une norme sur $\mathbf{R}^k$ .

[modifier] Méthodes issues du calcul différentiel pour la recherche d'extrema locaux.

Soit une fonction $f : D \to\R$ , où D est une partie ouverte de R^k ; par exemple, dans le cas d'une variable réelle, D peut être un intervalle ouvert de la forme ]a,b[ (avec a et b des nombres réels, ou $a=-\infty$ , ou $b=+\infty$ ).

Si la fonction f atteint un extremum local en un point a où elle est différentiable, alors toutes ses dérivées partielles s'annulent en a ; en particulier, dans le cas d'une fonction d'une seule variable, le nombre dérivé de f en a est nul.

Pour cette raison, l'étude des extrema passe souvent par la recherche des points d'annulation de la dérivée, appelés points critiques de f. Un point critique n'est pas nécessairement un point d'extremum, comme le montre l'exemple de la fonction

$f : \R \to\R,\, x \mapsto x^3$ au point 0. On peut, cependant, sous certaines hypothèses supplémentaires, affirmer qu'un point critique est un point d'extremum.

[modifier] Cas d'une fonction d'une variable

Condition suffisante pour un extremum local :

Si f est dérivable sur I, et si

a

est un point intérieur à I où la dérivée de f s'annule en changeant de signe, alors f atteint un extremum local en

a

. Plus précisément, en supposant $\ f\,'(a) = 0$ :

S'il existe

α

réel strictement positif tel que $[a-\alpha,\, a + \alpha] \subset I$

et $f\,' \geq 0$ sur $[a-\alpha,\, a]$ , $f\,' \leq 0$ sur $[a,\, a + \alpha]$ ,

alors f atteint un maximum local en

a

S'il existe

α

réel strictement positif tel que $[a-\alpha,\, a + \alpha] \subset I$

et $f\,' \leq 0$ sur $[a-\alpha,\, a]$ , $f\,' \geq 0$ sur $[a,\, a + \alpha]$ ,

alors f atteint un minimum local en

a

Remarque

La condition nécessaire pour un extremum local ne s'applique pas aux bornes de l'intervalle. Par exemple, la fonction

$f : [0, 1] \to\R,\, x \mapsto x$

admet deux extremums globaux (a fortiori locaux), atteints en 0 et 1. Par ailleurs, elle est dérivable et sa dérivée ne s'annule en aucun point.

[modifier] Cas des fonctions de plusieurs variables

Condition suffisante pour un extremum local :

On suppose ici que A est un ouvert, et que f est deux fois dérivable en un point

a

de A.

La (matrice) hessienne de f en

a

est notée $\nabla^2 f(a)$ ; elle est symétrique réelle.

Si $\nabla f(a) = 0$ et si $\nabla^2 f(a)$ est définie négative, alors f atteint un maximum local strict en

a

Si $\nabla f(a) = 0$ et si $\nabla^2 f(a)$ est définie positive, alors f atteint un minimum local strict en

a

Rappel : par définition, la hessienne de f en

a

est la matrice carrée d'ordre n ayant $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a)$ pour élément en ligne i et colonne j.

Comme f est deux fois dérivable en

a

, il résulte du théorème de Schwarz sur les dérivées partielles d'ordre 2 que la hessienne en

a

est symétrique.

[modifier] Cas des fonctions de plusieurs variables avec contraintes

Les conditions d'optimalité de ces problèmes sont présentées ailleurs.

[modifier] Fonction optimum de deux fonctions

Les fonctions minimum et maximum de deux fonctions peuvent être définies à l'aide de valeurs absolues :

$\operatorname{min} \left(f,g \right)=\frac{f+g-|f-g|}{2}$

$\operatorname{max} \left(f,g \right)=\frac{f+g+|f-g|}{2}$

v · d · m

Opérations binaires

Numériques	En ensemble ordonné	Structurelles	Autres

Élémentaires $+$ Addition $-$ Soustraction $\times$ Multiplication $\div$ Division $\hat{}$ Puissance Arithmétiques $div$ Quotient euclidien $mod$ Reste euclidien $pgcd$ PGCD $ppcm$ PPCM Combinatoires $()$ Coefficient binomial $A$ Arrangement	Ensembles de parties $\cup$ Union $\backslash$ Complémentation $\cap$ Intersection $Δ$ Différence symétrique Ordre total $min$ Minimum $max$ Maximum Treillis $\wedge$ Borne inférieure $\vee$ Borne supérieure	Ensembles $\times$ Produit cartésien $\dot{\cup}$ Somme disjointe $\hat{}$ Puissance ensembliste Groupes $\oplus$ Somme directe $\ast$ Produit libre $\wr$ Produit en couronne Modules $\otimes$ Produit tensoriel $Hom$ Homomorphisme $Tor$ Torsion $Ext$ Extension Arbres $\vee$ Enracinement Variétés connexes $\#$ Somme connexe Espaces pointés $\vee$ Bouquet $\wedge$ Smash produit $\ast$ Joint	Fonctionnelles $\circ$ Composition de fonctions $\ast$ Produit de convolution Vectorielles $\cdot$ Produit scalaire $\wedge$ Produit vectoriel $\times\,$ Produit vectoriel généralisé Algébriques $[,]$ Crochet de Lie ${,}$ Crochet de Poisson $\wedge$ Produit extérieur Homologiques $\smile$ Cup produit $\cdot$ Produit d'intersection Séquentielles $+$ Concaténation

Logique booléenne : $\land$ ET (conjonction) • $\lor$ OU (disjonction) • $\oplus$ OU exclusif • $\Rightarrow$ IMP (implication) • $\Leftrightarrow$ EQV (équivalence)

Extremum