Factorisation

Voir aussi : Factorisation (informatique)

En mathématiques, la factorisation est un procédé de transformation d'une expression algébrique en un produit. Cette transformation peut se faire en détectant un élément commun à plusieurs termes de l'expression ou en cherchant un diviseur de l'expression.

[modifier] Mise en facteur

Lorsqu'un élément apparait en facteur dans au moins deux termes d'une somme algébrique, tous ces termes peuvent être remplacés globalement par un seul produit de l'élément commun avec la somme de ses différents facteurs. Ce procédé s'appuie sur la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition :

ab + ac = a(b + c)

Par exemple :

3a + 21 = 3(a + 21 / 3) = 3(a + 7)

La factorisation par le monôme dominant permet par exemple de calculer les limites à l'infini des fonctions rationnelles en évitant la forme indéterminée.

Il est possible d'effectuer une factorisation pour d'autres opérations que la multiplication, telles les opérations ensemblistes d'intersection et d'union qui sont distributives l'une par rapport à l'autre, ou encore l'addition par rapport au maximum dans le semi-anneau (R, max, +).

[modifier] Recherche de diviseur

Certains critères de divisibilité peuvent être utilisés pour écrire un nombre entier comme un produit. Par exemple, un nombre se terminant par le chiffre « 0 Â» est un multiple de dix^[1] :

.

D'autres objets mathématiques tels que les polynômes admettent aussi des diviseurs. Par exemple, l'identification d'une racine r d'un polynôme permet de factoriser ce polynôme par son diviseur (X − r).

Diverses identités remarquables permettent de factoriser des expressions algébriques :

a² − b² = (a + b)(a − b)

a² + b² + 2ab = (a + b)²

a² + b² − 2ab = (a − b)² = (b − a)²

1 − xⁿ = (1 − x)(1 + x + x²... + x^{n − 1})

Les expressions du second degré à coefficient réels peuvent éventuellement être factorisées à l'aide de leur forme canonique :

.

Selon le signe du discriminant Δ = (b² − 4ac), cette forme se factorise comme une différence de deux carrés dans les réels si le discriminant est positif :

ou dans les nombres complexes si le discriminant est négatif :

d'après la décomposition du carré du module en produit des conjugués :

a² + b² = (a + bi)(a − bi), où i est l'unité imaginaire qui satisfait l'égalité i² = − 1.

L'objectif de la factorisation par la recherche de diviseurs peut être la décomposition en produit de facteurs premiers pour les entiers ou la recherche de toutes les racines d'un polynôme.

[modifier] Notes et références