Fonction additive

En théorie des nombres, une fonction additive est une fonction arithmétique f définie sur l'ensemble des entiers naturels non nuls telle que :

Pour tous a et b entiers naturels non nuls premiers entre eux, f(ab) = f(a) + f(b).

Une fonction arithmétique f est dite complètement additive lorsque :

Pour tous a et b entiers naturels non nuls quelconques, f(ab) = f(a) + f(b),

même si a et b ne sont pas premiers entre eux.

En dehors de la théorie des nombres, le terme additive est habituellement utilisé pour toutes les fonctions vérifiant :

Pour tous a et b entiers naturels non nuls, f(a + b) = f(a) + f(b).

Cet article ne concerne que les fonctions additives de la théorie des nombres.

Toute fonction complètement additive est additive, mais la réciproque est fausse.

[modifier] Exemples

Des exemples de fonctions complètement additives sont :

• La restriction de la fonction logarithme à ℕ^*,
• a₀ : la fonction qui à un entier naturel non nul n associe la somme avec répétition des diviseurs premiers de n (parfois appelée par les anglo-saxons sopfr). Nous avons a₀(20) = a₀(2² ⋅ 5) = 2 + 2+ 5 = 9. Pour avoir quelques valeurs de la fonction, voyez (SIDN A001414) :

a₀(4) = 4 ;

a₀(27) = 9 ;

a₀(144) = a₀(2⁴ ⋅ 3²) = a₀(2⁴) + a₀(3²) = 8 + 6 = 14 ;

a₀(2000) = a₀(2⁴ ⋅ 5³) = a₀(2⁴) + a₀(5³) = 8 + 15 = 23 ;

a₀(2001) = 55 ;

a₀(2002) = 33 ;

a₀(2003) = 2003 ;

a₀(54 032 858 972 279) = 1240658 ;

a₀(54 032 858 972 302) = 1780417 ;

a₀(20 802 650 704 327 415) = 1240681 ;

...

• La fonction Ω, qui associe à un entier naturel non nul n, le nombre total de facteurs premiers qui divisent n, en comptant de multiples fois les facteurs multiples. Nous avons Ω(1) = 0 puisque 1 n'a pas de facteur premier qui le divise. Pour avoir quelques valeurs de la fonction voyez (SIDN A001222) :

Ω(4) = 2 ;

Ω(27) = 3 ;

Ω(144) = Ω(2⁴ ⋅ 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6 ;

Ω(2,000) = Ω(2⁴ ⋅ 5³) = Ω(2⁴) + Ω(5³) = 4 + 3 = 7 ;

Ω(2001) = 3 ;

Ω(2002) = 4 ;

Ω(2003) = 1 ;

Ω(54 032 858 972 279) = 3 ;

Ω(54 032 858 972 302) = 6 ;

Ω(20 802 650 704 327 415) = 7.

...

• Un exemple de fonction arithmétique qui est additive mais pas complètement additive est ω, qui associe à un entier naturel n le nombre total de facteurs premiers distincts qui divisent n. Pour avoir quelques valeurs prises par la fonction voyez (SIDN A001221) (vous pourrez comparer avec Ω) :

ω(4) = 1 ;

ω(27) = 1 ;

ω(144) = ω(2⁴ ⋅ 3²) = ω(2⁴) + ω(3²) = 1 + 1 = 2 ;

ω(2000) = ω(2⁴ ⋅ 5³) = ω(2⁴) + ω(5³) = 1 + 1 = 2 ;

ω(2001) = 3 ;

ω(2002) = 4 ;

ω(2003) = 1 ;

ω(54 032 858 972 279) = 3 ;

ω(54 032 858 972 302) = 5 ;

ω(20 802 650 704 327 415) = 5.

...

• a₁ : la fonction qui à un entier n associe la somme de ses diviseurs premiers distincts, (parfois appelée par les anglo-saxons sopf) est aussi additive mais pas complètement additive. Nous avons a₁(1) = 0, a₁(20) = 2 + 5 = 7. Pour avoir quelques valeurs de la fonction, voyez (SIDN A008472) :

a₁(4) = 2 ;

a₁(27) = 3 ;

a₁(144) = a₁(2⁴ ⋅ 3²) = a₁(2⁴) + a₁(3²) = 2 + 3 = 5 ;

a₁(2 000) = a₁(2⁴ ⋅ 5³) = a₁(2⁴) + a₁(5³) = 2 + 5 = 7 ;

a₁(2 001) = 55 ;

a₁(2 002) = 33 ;

a₁(2 003) = 2003 ;

a₁(54 032 858 972 279) = 1238665 ;

a₁(54 032 858 972 302) = 1780410 ;

a₁(20 802 650 704 327 415) = 1238677.

...

[modifier] Fonctions multiplicatives

À partir de n'importe quelle fonction additive f, il est facile de créer une fonction multiplicative g en définissant par exemple g par :

.

[modifier] Références

1. Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp 97 - 108) (MSC (2000) 11A25)