Fonction arithmétique

En théorie des nombres, une fonction arithmétique f est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels non nuls, et à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes. En d'autres termes, une fonction arithmétique n'est rien d'autre qu'une suite de nombres complexes.

Les fonctions arithmétiques les plus étudiées sont les fonctions additives et les fonctions multiplicatives.

Une opération importante sur les fonctions arithmétiques est le produit de convolution de Dirichlet.

[modifier] Exemples

Les articles sur les fonctions additives et multiplicatives contiennent plusieurs exemples de fonctions arithmétiques.

Exemples de fonctions qui ne sont ni additives ni multiplicatives:

• c₄ : qui associe à un entier n le nombre d'écritures de n sous la forme d'une somme de quatre carrés d'entiers naturels, en tenant compte de l'ordre dans lequel sont placés les carrés.

Par exemple : 1 = 1²+0²+0²+0² = 0²+1²+0²+0² = 0²+0²+1²+0² = 0²+0²+0²+1², ainsi c₄(1)=4.

• P : la fonction partage d'un entier qui à un entier n associe le nombre d'écritures de cet entier sous la forme d'une somme d'entiers naturels, en ne tenant pas compte de l'ordre des opérandes. Par exemple P(2 . 5) = P(10) = 42 et P(2)P(5) = 2 · 7 = 14 ≠ 42.
• Ï€ : la fonction nombre de nombres premiers qui à partir d'un entier n donne le nombre de nombres premiers inférieurs (ou égaux) à n. On a Ï€(1) = 0 et Ï€(10) = 4 (les nombres premiers inférieurs à 10 sont 2, 3, 5 et 7).