Fonction harmonique

Fonction harmonique : encyclopédie mathématiques

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En mathématiques, une fonction harmonique est une fonction deux fois continûment dérivable : $f: U \rightarrow \mathbb{R}$ (Où U est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ ) qui satisfait l'équation de Laplace:

$\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0$ Sur tout U.

On écrit aussi :

$\nabla^2 f = 0$ ou

Δ f = 0

Un exemple particulier est constitué des fonctions partie réelle et partie imaginaire déduites d'une fonction holomorphe.

Un problème classique concernant les fonctions harmoniques est le problème de Dirichlet : une fonction continue étant donnée sur la frontière d'un ouvert, peut-on la prolonger en une fonction harmonique dans tout l'intérieur de cet ouvert?