Formule Brahmagupta

Formule Brahmagupta : encyclopédie mathématiques

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En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, trouvée par Brahmagupta, est une généralisation de la Formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe dont les sommets se situent sur un même cercle, en ne connaissant que la longueur de ses côtés:

$A = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

et

$p = \frac 12 (a+b+c+d) \,$

est le demi-périmètre du quadrilatère, a, b, c et d sont les longueurs des côtés du quadrilatère et A l'aire du quadrilatère.

[modifier] Démonstration

[modifier] Cas particuliers

Le carré : $b=c=d=a,\quad p=2a$ et $A = \sqrt{a^4} = a^2\,$
Le rectangle : $a=b=L,\quad c=d=l,\quad p=(L+l)$ et $A = \sqrt{L^2\cdot l^2} = L\cdot l\,$

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