Formule de Stirling

Formule de Stirling : encyclopédie mathématiques

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La formule de Stirling, du nom du mathématicien James Stirling, donne un équivalent de la factorielle au voisinage de l'infini réel (quand n tend vers l'infini) :

$\lim_{n \to +\infty} {n\,!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} } = 1$

que l'on trouve souvent écrite ainsi :

$n\,!\sim \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n$

Sommaire

[modifier] Version continue

La formule précédente est un cas particulier, pour un argument entier, de la formule asymptotique de Stirling pour la fonction Γ d'Euler.

[modifier] Histoire

La formule a d'abord été découverte par Abraham de Moivre^[1] sous la forme

$n\,!\sim C\; n^{n+1/2}\, \mathrm{e}^{-n}$ ,

où $\scriptstyle\ C\$ est une constante réelle (non nulle).

L'apport de Stirling^[2] fut de donner un développement de $\scriptstyle\ \ln(n!)\$ à tout ordre et d'attribuer la valeur $\scriptstyle\ C = \sqrt{2\pi}\$ à la constante. La démonstration classique de ceci est donné dans l'article intégrales de Wallis.

Démonstration du résultat de Moivre

La détermination de la constante n'est pas immédiate, mais il est facile de montrer le résultat de Moivre. En effet, en posant $u_n=\frac{n^n\, \mathrm{e}^{-n} \sqrt{n}}{n\,!}$ , il suffit de montrer que la suite $(u n)$ converge, et que sa limite est non nulle. Or $(u n)$ étant à termes strictement positifs pour $n\geq 1$ , on peut définir :

$v_n= \ln \left( \frac{u_{n+1}}{u_n} \right) = \ln \left( \frac{(n+1)^n\, \mathrm{e}^{-1} \sqrt{n+1}}{n^n \sqrt{n}} \right) = \left( n+\frac{1}{2} \right) \ln \left(1+\frac{1}{n} \right) -1$

de telle sorte qu'en utilisant le développement limité de $ln(1 + x)$ en 0 à l'ordre 3, on obtient :

$v_n = \left(n+ \frac{1}{2}\right)\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}+ o\left(\frac{1}{n^3}\right) \right] -1 = 1-\frac{1}{2n}+ \frac{1}{3n^2}+ \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)+\frac{1}{2n}-\frac{1}{4n^2}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3}\right)-1 = \frac{1}{12n^2}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)$

On en déduit que $\sum v_n$ est une série absolument convergente, donc en écrivant $v n$ sous la forme : $v n = ln(u n + 1) - ln(u n)$ , on trouve que la suite $(ln(u n))$ converge (vers une limite que nous notons L), donc la suite $(u n)$ aussi, et vers la limite non nulle $exp(L)$ , ce qu'on voulait démontrer.

pour introduire le facteur de de Moivre, une autre manière de présenter est la suivante : la formule d'Euler-Maclaurin appliquée à la fonction $ln$ entre 1 et n donne

$\ln(n!) = \sum_{k=1}^n \ln k = \int_{1}^n \ln (x) \mathrm{d}x + \frac12 \ln 1 + \frac12 \ln n +o(n) = n\ln(n) - n +1 + \frac 12 \ln(n) +o(n)$ .

On prend alors l'exponentielle et cela donne l'idée du calcul ci-dessus.

On peut même introduire le facteur $\sqrt{ 2 \pi}$ par la méthode de la descente rapide ( appelée aussi méthode du col). Cette méthode est assez puissante et en l'appliquant, on "comprend" l'apparition du $\sqrt{ 2 \pi}$ et on trouve immédiatement le résultat de Stirling.

[modifier] Généralisation

On peut améliorer la qualité de l'approximation de Stirling en utilisant le développement asymptotique de la fonction gamma Γ ; on trouve :

$n\,! = \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n \left[1 + \frac{1}{12\ n} + \frac{1}{288\ n^2} - \frac{139}{51\ 840\ n^3} - \frac{571}{2\ 488\ 320\ n^4} + \frac {163\ 879}{209\ 018\ 880\ n^5} + \mathcal{O} \left(\frac{1}{n^6} \right) \right]$

En fait, Abraham de Moivre généralisa le résultat de Stirling sous la forme

$\ln [n!] = \left(n+\frac12\right)\ln(n)-n + \ln(2\pi)+\sum_{k\ge 1}\frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}},$

où les nombres $B 2 k$ sont les nombres de Bernoulli. Écrite sous la forme

$n ! = \left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n} e^{\mu(n)},$

on trouve la formule (et la fonction) de Binet.

La formule d'Euler-MacLaurin permet d'aboutir au résultat à l'ordre que l'on veut.

(Sloane's A001163 and A001164).

[modifier] Calculs numériques

Pour juger de sa précision, on peut faire le tableau des premières valeurs de n

$n \;$	$n! \;$	$\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n$	$\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12\ n}\right)$
1	1	0,93	0,999
2	2	1,92	1,999
3	6	5,84	5,998
4	24	23,51	23,996
5	120	118,02	119,99
6	720	710,08	719,94
7	5 040	4 980,4	5 039,7
8	40 320	39 902,4	40 318,1
9	362 880	359 536,9	362 866,0
10	3 628 800	3,598 696 x $106$	3,628 685 x $106$
15	1 307 674 368 000	1,300 431 x $1012$	1,307 665 x $1012$
20	2 432 902 008 176 640 000	2,422 787 x $1018$	2,432 882 x $1018$
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000	1,545 959 x $1025$	1,551 113 x $1025$
30	265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000	2,645 171 x $1032$	2,652 519 x $1032$
40	815 915 283 247 897 734 345 611 269 596 115 894 272 000 000 000	8,142 173 x $1047$	8,159 136 x $1047$

Note : dans la sqrt(n), si on remplace n par n+1/6 les calculs sont nettement améliorés, pour les petites valeurs de n (approximation de Gosper); on peut aussi préférer un encadrement : cf Wolfram ; enfin on peut prendre la suite Sloane A 055 775.

[modifier] Notes et références

↑ à l'occasion de sa démonstration du théorème central limite dans le cas particulier de la loi binomiale.
↑ Jacobo Stirling, Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum, (1730), proposition 28, p.135