Formule du binôme de Newton : encyclopédie mathématiques
Cet article est issu de l'encyclopédie libre Wikipedia.La formule de Newton est une formule mathématique donnée par Isaac Newton[1] pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme de Newton, ou plus simplement formule du binôme.
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Soit un binôme composé des termes x et y défini sur un anneau (par exemple deux nombres réels ou complexes, deux matrices, etc.) qui commutent (c'est-à -dire tels que xy = yx) et un entier naturel n, alors
où les nombres
(parfois aussi notés ) sont les coefficients binomiaux, et où x0 désigne l'élément unité de l'anneau.
Remplacer dans la formule y par -y revient à prendre l'opposé du second terme :
Exemples :
Les formules pour la soustraction sont les mêmes que celles de l'addition, il faut juste alterner les signes en mettant un moins devant chaque terme qui est en position paire
De même, dans l'anneau des matrices carrées d'ordre p, on aura (A + Ip)4 = A4 + 4A3 + 6A2 + 4A + Ip.
Pour n=0 on a bien :
Pour n entier supérieur ou égal à 1, démontrons la formule de l'énoncé par récurrence.
Pour n=1 on a bien :
Soit n un entier supérieur ou égal à 1, montrons que si la relation est vraie pour n, elle l'est aussi pour n+1 :
Par hypothèse de récurrence :
Par distributivité de sur + :
Par factorisation :
En utilisant la formule du triangle de Pascal :
Ce qui termine la démonstration.
Une ébauche de preuve beaucoup plus intuitive utilise le fait que le coefficient binomial est le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments. Quand on développe l'expression
on obtient une somme de monômes de la forme xpyq où p et q représentent respectivement le nombre de fois qu'on a choisi x ou y en développant. On a forcément p + q = n, puisqu'à chaque fois qu'on ne choisit pas x, on choisit y. Enfin, comme il y a manières différentes de choisir k fois la valeur x parmi les n expressions (x + y) multipliées ci-dessus, le monôme xkyn − k doit apparaître dans le développement avec le coefficient
.
Cette preuve peut se formaliser en utilisant les polynômes symétriques.
On considère le polynôme unitaire P(X) = (X − y)n de racines d'ordre n, y. On cherche la suite des coefficients de P.
Pour , on désigne par Sk l'ensemble des applications strictement croissantes de
dans
Le k-ième polynôme symétrique élémentaire à n indéterminées est défini par :
D'après les relations entre coefficients et racines :
Or
(pour montrer la seconde formule, il suffit de remarquer qu'une application strictement croissante de dans
est déterminée de façon unique par son image, qui est un ensemble arbitraire de k éléments de
),
d'où
Enfin,
d'où
On peut également déduire la formule du binôme de la formule de Leibniz, en appliquant cette dernière au produit exp(ax).exp(bx).
Il est également possible de généraliser la formule à des sommes de plus de deux termes (voir l'article formule du multinôme) et à des exposants non entiers (voir l'article formule du binôme généralisée) ou entiers négatifs (voir l'article formule du binôme négatif).
Le professeur Moriarty, ennemi du célèbre Sherlock Holmes, aurait publié un article sur le binôme de Newton[2].
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