Formule du multinôme

Formule du multinôme : encyclopédie mathématiques

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En mathématiques, la formule du multinôme de Newton est une relation donnant le développement d'une puissance entière $n$ d'une somme d'un nombre fini $m$ de termes sous forme d'une somme de produits de puissances de ces termes affectés de coefficients. Nous avons pour tous entiers naturels $m$ et $n$ , et pour tous réels ou complexes $x_1,x_2,\dots,x_m$ ,

$(x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+k_3+\ldots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, k_3, \dots, k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2} x_3^{k_3} \dots x_m^{k_m}$ .

La somme porte sur toutes les combinaisons d'indices entiers naturels $k_1,\dots,k_m$ tels que $k_1+k_2+\dots+k_m = n$ , certains d'entre eux pouvant être nuls.

Une écriture équivalente mais bien plus concise consiste à sommer sur tous les multi-indices $\vec k$ de dimension $m$ dont le module $\left|\vec k\right| = \sum\nolimits_{i=0}^m k_i$ est égal à $n$ :

$\left( \sum_{i=1}^m x_i \right)^n = \sum_{\left|\vec k\right|=n} {n\choose\vec k} \prod_{i=1}^m x_i^{k_i}$

Les nombres

${n \choose k_1, k_2, k_3, \ldots, k_m} = {n\choose\vec k} = \frac{n!}{k_1! k_2! k_3! \dots k_m!} = \frac{n!}{\prod_{i=0}^m k_i!}$

sont appelés les coefficients multinomiaux.

La formule du binôme s'obtient comme cas particulier de la formule du multinôme, pour $m = 2$ ; et dans ce cas les coefficients multinomiaux sont les coefficients binomiaux.

[modifier] Démonstration

Cette preuve utilise la formule du binôme. On fait une preuve par récurrence sur m.

(i) Pour m = 1, les deux côtés valent $x_1^n$ .

(ii) Supposons le théorème vrai au rang m. Alors

$(x_1+x_2+\cdots+x_m+x_{m+1})^n = (x_1+x_2+\cdots+(x_m+x_{m+1}))^n$

$= \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+K=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_m+x_{m+1})^K$

par hypothèse de récurrence. Puis en appliquant le binome de Newton au dernier facteur, il vient que,

$= \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+K=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum_{k_m+k_{m+1}=K}{K\choose k_m,k_{m+1}}x_m^{k_m}x_{m+1}^{k_{m+1}}$

$= \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+k_m+k_{m+1}=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},k_m,k_{m+1}} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_m^{k_m}x_{m+1}^{k_{m+1}}$