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Formules trigonométriques



Formules trigonométriques : encyclopédie mathématiques

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Une identité trigonométrique est une relation impliquant des fonctions trigonométriques et qui est vérifiée pour toutes les valeurs des variables intervenant dans la relation. Ces identités peuvent être utiles quand une expression comportant des fonctions trigonométriques a besoin d'être simplifiée. Elles constituent donc une « boîte à outils Â» utile pour la résolution de problèmes.

Les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement ou analytiquement. Elles servent beaucoup en intégration, pour intégrer des fonctions « non trigonométriques Â» : un procédé habituel consiste à effectuer un changement de variable en utilisant une fonction trigonométrique, et à simplifier ensuite l'intégrale obtenue avec les identités trigonométriques.

Notation : si f est une fonction trigonométrique, f 2 désigne la fonction qui à tout réel x associe le carré de f(x). Par exemple : cos2(x) = (cos(x))2.

Relations entre fonctions trigonométriques[modifier | modifier le code]

Les relations entre fonctions trigonométriques résultent d'une part de définitions

\tan x =\frac{\sin x}{\cos x},\quad\cot x =\frac{\cos x}{\sin x},\quad\ldots

et d'autre part de l'application du théorème de Pythagore, notamment :

\cos^2 x + \sin^2 x = 1\quad\tan^2 x + 1 = \frac 1{\cos^2 x},\quad\cot^2 x + 1 = \frac 1{\sin^2 x}.
Relations entre fonctions trigonométriques dans le premier quadrant (0 \le x \le \pi/2)[1].
cos sin tan cot sec csc
cos \cos x = \sqrt{1-\sin^2 x} \cos x = \frac1{\sqrt{1+\tan^2 x}} \cos x = \frac{\cot x}{\sqrt{1+\cot^2 x}} \cos x = \frac1{\sec x} \cos x = \frac{\sqrt{\csc^2 x-1}}{\csc x}
sin \sin x = \sqrt{1-\cos^2 x} \sin x = \frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2 x}} \sin x = \frac1{\sqrt{1+\cot^2 x}} \sin x = \frac{\sqrt{\sec^2 x-1}}{\sec x} \sin x = \frac1{\csc x}
tan \tan x = \frac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{\cos x} \tan x = \frac{\sin x}{\sqrt{1-\sin^2 x}} \tan x = \frac1{\cot x} \tan x = \sqrt{\sec^2 x-1} \tan x = \frac1{\sqrt{\csc^2 x-1}}
cot \cot x = \frac{\cos x}{\sqrt{1-\cos^2x}} \cot x = \frac{\sqrt{1-\sin^2x}}{\sin x} \cot x = \frac1{\tan x} \cot x = \frac1{\sqrt{\sec^2x-1}} \cot x = \sqrt{\csc^2x-1}
sec \sec x = \frac1{\cos x} \sec x = \frac1{\sqrt{1-\sin^2x}} \sec x = \sqrt{1+\tan^2x} \sec x = \frac{\sqrt{1+\cot^2x}}{\cot x} \sec x = \frac{\csc x}{\sqrt{\csc^2x-1}}
csc \csc x = \frac1{\sqrt{1-\cos^2x}} \csc x = \frac1{\sin x} \csc x = \frac{\sqrt{1+\tan^2x}}{\tan x} \csc x = \sqrt{1+\cot^2x} \csc x = \frac{\sec x}{\sqrt{\sec^2x-1}}

Propriétés liées au cercle trigonométrique[modifier | modifier le code]

Symétries, parité[modifier | modifier le code]

Parité - Réflexion d'axe \theta=0 Réflexion d'axe \theta= \pi/4 Réflexion d'axe \theta= \pi/2

\begin{align}
\sin(-\theta) &= -\sin \theta \\
\cos(-\theta) &= +\cos \theta \\
\tan(-\theta) &= -\tan \theta \\
\mathrm{cotan} (-\theta) &= -\mathrm{cotan} \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\
\cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\
\tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\mathrm{cotan} \theta \\
\mathrm{cotan}(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\
\cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\
\tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\
\mathrm{cotan} (\pi - \theta) &= -\mathrm{cotan} \theta \\
\end{align}

Note : Toutes les formules sont également valables pour des ajouts d'angles, il suffit pour cela de prendre l'opposé : \sin(\tfrac{\pi}{2} + \theta) = \sin(\tfrac{\pi}{2} - (-\theta)) = \cos(-\theta). Il suffit ensuite d'appliquer la formule de simplification correspondante de la première colonne.

Périodicité, décalages[modifier | modifier le code]

Décalage de \dfrac{\pi}{2} Décalage de \pi
(Période de tan et cotan)
Décalage de 2\pi
(Période de sin et cos)

\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\mathrm{cotan} \theta \\
\mathrm{cotan}(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\mathrm{cotan}(\theta + \pi) &= +\mathrm{cotan} \theta \\
\end{align}

\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\mathrm{cotan}(\theta + 2\pi) &= +\mathrm{cotan} \theta
\end{align}

Équations trigonométriques[modifier | modifier le code]

Certaines des équations ci-dessus sont renforcées par les équivalences suivantes :

\cos x = \cos a \Leftrightarrow x=a+2n\pi \quad \text{ou} \quad x=-a+2n\pi \qquad(n\in\mathbb{Z})
\sin x = \sin a \Leftrightarrow x=a+2n\pi \quad \text{ou} \quad x=\pi-a+2n\pi \qquad(n\in\mathbb{Z})
\tan x = \tan a \Leftrightarrow x=a+n\pi \qquad(n\in\mathbb{Z})

Formules d'addition et de différence[modifier | modifier le code]

Les deux formules principales sont les formules d'addition pour le cosinus et le sinus :

\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\quad{\rm et}\quad\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.

Le moyen le plus rapide pour les démontrer est, à partir de la définition analytique du cosinus et du sinus, d'utiliser les formules d'Euler. On peut, alternativement, les déduire de la définition géométrique.

On en déduit la formule d'addition pour la tangente :

\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}.

Une autre conséquence intéressante de ces égalités est qu'elles permettent de ramener la combinaison linéaire d'un sinus et d'un cosinus à un sinus : \alpha\sin x+\beta\cos x=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}~\sin(x+\varphi) où \varphi={\rm arctan}(\beta/\alpha) si α est positif et \varphi={\rm arctan}(\beta/\alpha) + \pi sinon.

En remplaçant b par son opposé dans les formules d'addition, on obtient celles de différence : \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b,\quad\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b\quad{\rm et}\quad\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}.

Formules de duplication et d'angle moitié[modifier | modifier le code]

Formules de l'angle double[modifier | modifier le code]

Appelées aussi « formules d'angle double Â», elles peuvent être obtenues, pour les deux premières, en remplaçant a et b par x dans les formules d’addition ou en utilisant la formule de Moivre avec n = 2. Les deux suivantes se déduisent du théorème de Pythagore.

\begin{align}\sin 2x&=2\sin x\cos x,\\
\cos 2x&=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2 x,\\
\tan 2x&=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}=\frac{2\cot x}{\cot^2x-1}=\frac2{\cot x-\tan x}.\end{align}

Formules de réduction du carré[modifier | modifier le code]

Ces formules permettent d'écrire cos2x, sin2x et tan2x en fonction du cosinus de l'angle double.

\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}2,\quad\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}2\quad{\rm et}\quad\tan^2x=\frac{1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}.

Formules d'angle moitié[modifier | modifier le code]

\left|\cos\left(\frac x2\right)\right|=\sqrt{\frac{1+\cos x}2},\qquad\left|\sin\left(\frac x2\right)\right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}2}
\tan\left(\frac x2\right)=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{\sin x}

Formules impliquant la « tangente de l'arc moitié Â»[modifier | modifier le code]

Si l'on pose

t=\tan(x/2),

on a :

\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\quad{\rm et}\quad\tan x=\frac{2t}{1-t^2}.

Dans le cas de changement de variable en intégration, on ajoutera :  \mathrm d x = \frac{2\mathrm d t}{1 + t^2}.

Ces formules permettent de simplifier des calculs trigonométriques en se ramenant à des calculs sur des fractions rationnelles. Elles permettent aussi de déterminer l'ensemble des points rationnels du cercle unité.

Formules de Simpson[modifier | modifier le code]

Transformation de produits en sommes[modifier | modifier le code]

\cos a\cos b=\frac12\bigl(\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr)
\sin a\sin b=\frac12\bigl(\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr)
\sin a\cos b=\frac12\bigl(\sin(a+b)+\sin(a-b)\bigr)

Ces formules peuvent être démontrées en développant leurs membres de droite en utilisant les formules d'addition

Transformation de sommes en produits[modifier | modifier le code]

\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}
\cos p - \cos q = -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}
\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}
\sin p - \sin q = 2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}

Il suffit de remplacer a par \tfrac{p+q}{2} et b par \tfrac{p-q}{2} dans les formules de transformation de produit en somme.

\tan p + \tan q = \frac{\sin(p+q)}{\cos p\,\cos q}

Formules d'Euler[modifier | modifier le code]

\cos x=\frac{{\rm e}^{{\rm i}x}+{\rm e}^{-{\rm i}x}}2
\sin x=\frac{{\rm e}^{{\rm i}x}-{\rm e}^{-{\rm i}x}}{2{\rm i}}

où i est l'unité imaginaire. On en déduit que

\tan x=\frac{{\rm i}(1-{\rm e}^{2{\rm i}x})}{1+{\rm e}^{2{\rm i}x}}
Article détaillé : Formules d'Euler.
Article connexe : Trigonométrie complexe.

Formule de de Moivre et formules d'angle multiple[modifier | modifier le code]

La formule de de Moivre s'écrit :

\cos(nx)+{\rm i}\sin(nx)=(\cos x +{\rm i}\sin x )^n.

Si T_n est le n-ième polynôme de Tchebychev alors

\cos(nx)=T_n(\cos x )\,\!.

Pour tout entier naturel n on a

\cos(nx)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}~{n \choose n-2k}~(-1)^k~cos^{n-2k} x \ ~(1- cos^2 x )^k avec {n \choose n-2k} un coefficient binomial.

Le noyau de Dirichlet D_n est la fonction définie par :

pour tout réel x, D_n(x)=1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots+2\cos(nx)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}

Le produit de convolution de n'importe quelle fonction de carré intégrable et de période 2\pi avec le noyau de Dirichlet coïncide avec la somme d'ordre n de sa série de Fourier.

Linéarisation[modifier | modifier le code]

La linéarisation d'une expression cospx sinqx, qui a pour but de l'exprimer comme combinaison linéaire de divers cos(nx) (si q est pair) ou sin(nx) (si q est impair) — par exemple pour en calculer une primitive — commence par l'utilisation des formules d'Euler : \cos^px\sin^qx=\left(\frac{{\rm e}^{{\rm i}x}+{\rm e}^{-{\rm i}x}}2\right)^p\left(\frac{{\rm e}^{{\rm i}x}-{\rm e}^{-{\rm i}x}}{2{\rm i}}\right)^q.

Il suffit ensuite de

  • développer chacun des deux facteurs grâce à la formule du binôme de Newton,
  • développer le produit des deux sommes obtenues (par distributivité),
  • simplifier les termes en utilisant que{\rm e}^{{\rm i}kx}{\rm e}^{{\rm i}\ell x}={\rm e}^{{\rm i}(k+\ell)x},
  • puis les regrouper, sachant que {\rm e}^{{\rm i}nx}+{\rm e}^{-{\rm i}nx}=2\cos (nx)\quad{\rm et}\quad{\rm e}^{{\rm i}nx}-{\rm e}^{-{\rm i}nx}=2{\rm i}\sin (nx).

Si l'un des deux exposants p ou q est nul, en appelant « degré Â» la valeur de l'autre, on a :

Fonctions trigonométriques réciproques[modifier | modifier le code]

Ce sont les fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus et tangente.

y=\arcsin x\Leftrightarrow  x=\sin y\quad \text{avec}\quad y\in\left[\frac{-\pi}{2}\, ;\frac{\pi}{2}\right]
y=\arccos x\Leftrightarrow  x=\cos y\quad \text{avec}\quad y\in\left[0\, ;\pi\right]
y=\arctan x\Leftrightarrow  x=\tan y\quad \text{avec}\quad y\in\left]\frac{-\pi}{2}\, ;\frac{\pi}{2}\right[

Si x > 0 alors

\arctan(x)+\arctan\left(\frac1x\right)=\frac{\pi}{2}.

Si x < 0 alors le côté droit de l'égalité doit être remplacé par -\tfrac{\pi}{2}.

\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) + k\pi

où

 k = 0 \quad \text{si} \quad xy < 1
 k = 1 \quad \text{si} \quad xy > 1 \quad \text{et} \quad x>0
 k = -1 \quad \text{si} \quad xy > 1 \quad \text{et} \quad x<0

Beaucoup d'identités similaires aux suivantes peuvent être obtenues à partir du théorème de Pythagore.

Relations entre fonctions trigonométriques inverses pour x>0
arccos arcsin arctan arccot
arccos \arccos x = \frac\pi2-\arcsin x \arccos x = \arctan \frac {\sqrt{1-x^2}}x \arccos x = \arccot \frac x{\sqrt{1-x^2}}
arcsin \arcsin x = \frac\pi2-\arccos x \arcsin x = \arctan \frac x{\sqrt{1-x^2}} \arcsin x = \arccot \frac {\sqrt{1-x^2}}x
arctan \arctan x = \arccos \frac 1{\sqrt{1+x^2}} \arctan x =\arcsin \frac x{\sqrt{1+x^2}} \arctan x = \arccot \frac 1x
arccot \arccot x = \arccos \frac x{\sqrt{1+x^2}} \arccot x = \arcsin \frac1 {\sqrt{1+x^2}} \arccot x = \arctan \frac 1x

Propriétés métriques dans un triangle quelconque[modifier | modifier le code]

Article détaillé : résolution d'un triangle.

Théorème d'Al-Kashi ou loi des cosinus[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème d'Al-Kashi.

Soit un triangle ABC, dans lequel on utilise les notations usuelles : d'une part α, β et γ pour les angles et, d'autre part, a, b et c pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles. Alors on a :

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\ \cos\ \gamma.

Formule des sinus[modifier | modifier le code]

Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

Soit un triangle ABC de côtés de longueurs a, b et c (le côté [AB] est de longueur c, etc.), d'aire S, de hauteur h, de demi-périmètre p et dont le rayon du cercle circonscrit est R (voir figure ci-contre). Nous avons l'égalité suivante :

 \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{abc}{2S} = \frac{abc}{2pr} = 2R

Il suffit de voir que ha = 2S avec h = c\sin \beta donc abc\sin \beta = 2Sb. D'autre part soit I le point de concours des bissectrices r le cercle inscrit ra +rb + rc = 2S = 2rp.

Formule des différences des côtés[modifier | modifier le code]

b - c = a \cdot {{\sin({{B-C} \over 2})} \over {\cos({A \over 2})}}
{{b-c} \over {b+c}} = \frac{\tan\left(\frac{B-C}{2}\right)}{\tan\left(\frac{B+C}{2}\right)}
\tan\left(\frac{A}{2}\right) = { r \over {p-a}}

(Se rappeler que \tfrac{A}{2} étant aigu, \tan\left(\tfrac{A}{2}\right) = \sqrt{\tfrac{1-\cos(A)}{1+\cos(A)}} et appliquer le théorème d'Al-Kashi.)

Identités sans variable[modifier | modifier le code]

Richard Feynman s'est rappelé toute sa vie cette curieuse identité, qu'il appelait Morrie's law :

\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\tfrac18.

Une telle identité est un exemple d'identité qui ne contient pas de variable et s'obtient à partir de l'égalité :

\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.

Les relations suivantes peuvent aussi être considérées comme des identités sans variable :

\cos 36^\circ+\cos 108^\circ=\tfrac12.
\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\tfrac12.

Il se trouve que la mesure en degrés des angles ne donne pas une formule plus simple qu'avec la mesure en radians lorsque nous considérons cette identité avec 21 aux dénominateurs :

\cos\frac{2\pi}{21}+\cos\frac{2(2\pi)}{21}+\cos\frac{4(2\pi)}{21}+\cos\frac{5(2\pi)}{21} +\cos\frac{8(2\pi)}{21}+\cos\frac{10(2\pi)}{21}=\frac12.

Mais les facteurs 1, 2, 4, 5, 8, 10 peuvent nous faire penser aux entiers inférieurs à 21/2 qui n'ont pas de facteur commun avec 21. Les derniers exemples sont des conséquences d'un résultat de base sur les polynômes cyclotomiques ; les cosinus sont les parties réelles des racines de ces polynômes ; la somme des zéros donne la valeur de la fonction de Möbius en 21 (dans le tout dernier cas qui précède) ; seulement la moitié des racines sont présentes dans la relation précédente.

En analyse[modifier | modifier le code]

En analyse, il est essentiel que les angles qui apparaissent comme arguments de fonctions trigonométriques soient mesurés en radians ; s'ils sont mesurés en degrés ou dans n'importe quelle autre unité, alors les relations reportées ci-dessous deviennent fausses.

Encadrement[modifier | modifier le code]

L'analyse consiste souvent à encadrer une fonction. La signification géométrique du sinus et de la tangente « montre[2] Â» — et le théorème des accroissements finis démontre — que

\forall x\in]0,\pi/2[\quad\sin (x)<x<\tan(x).

Cet encadrement est souvent utilisé ; deux exemples sont la méthode d'Archimède pour le calcul du nombre Ï€ (voir quadrature du cercle) et le problème de Bâle.

Dérivées[modifier | modifier le code]

Les dérivées de sin et cos peuvent se déduire l'une de l'autre par décalage de Ï€/2. Elles sont :

\sin'=\cos,\quad\cos'=-\sin.

Les autres fonctions trigonométriques peuvent être dérivées en utilisant les identités précédentes et les règles de dérivation. Par exemple :

\tan'=1+\tan^2=\frac1{\cos^2}=\sec^2, \mathrm{cotan}'=-1-\mathrm{cotan}^2=-\frac1{\sin^2}=-\mathrm{cosec}^2, \arcsin'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}, \arccos'=-\arcsin', \arctan'(x)=\frac1{1+x^2}.

Primitives[modifier | modifier le code]

Les identités sur les intégrales peuvent être trouvées dans la table des primitives de fonctions trigonométriques.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. ↑ (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 73, 4.3.45.
  2. ↑ (en) Fred Richman, « A Circular Argument Â», The College Mathematics Journal (en), vol. 24, no 2,‎ mars 1993, p. 160-162 (lire en ligne).

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