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Géométrie non euclidienne



Géométrie non euclidienne : encyclopédie mathématiques

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On appelle gĂ©omĂ©trie non euclidienne une thĂ©orie gĂ©omĂ©trique ayant recours Ă  tous les axiomes et postulats posĂ©s par Euclide dans les ÉlĂ©ments, sauf le postulat des parallĂšles.

La droite d est la seule droite passant par le point M et parallÚle à la droite D. Toute autre droite passant par M (par exemple les droites tracées en pointillé) est sécante à D.

Les diffĂ©rentes gĂ©omĂ©tries non euclidiennes sont issues de la volontĂ© de dĂ©montrer le cinquiĂšme postulat (le postulat d'Euclide) qui semblait peu satisfaisant car trop complexe, et peut-ĂȘtre redondant.

Ce Ă  quoi Saccheri, procĂ©dant par l'absurde, avait Ă©chouĂ© Ă  la fin du XVIIe siĂšcle.

Dans les ÉlĂ©ments d'Euclide, le postulat ressemble Ă  la conclusion d'un thĂ©orĂšme, mais qui ne comporterait pas de dĂ©monstration :

"Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intĂ©rieurs du mĂȘme cĂŽtĂ© plus petits que deux droits, ces droites, prolongĂ©es Ă  l'infini, se rencontreront du cĂŽtĂ© oĂč les angles sont plus petits que deux droits"

et qu'on peut comprendre comme :

Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallÚle à cette droite, et une seule.

Durant plusieurs siĂšcles, la gĂ©omĂ©trie euclidienne a Ă©tĂ© utilisĂ©e sans que l'on mette en doute sa validitĂ©. Elle a mĂȘme Ă©tĂ© longtemps considĂ©rĂ©e comme l'archĂ©type du raisonnement logico-dĂ©ductif. Elle prĂ©sentait en effet l'avantage de dĂ©finir les propriĂ©tĂ©s intuitives des objets gĂ©omĂ©triques dans une construction mathĂ©matique rigoureuse.


Une approche intuitive de la géométrie non euclidienne[modifier | modifier le code]

En 1902, Henri PoincarĂ© propose un modĂšle simple dans lequel le cinquiĂšme postulat d’Euclide n’est pas valable. La droite est ici dĂ©finie par extension comme la courbe de plus court chemin qui joint deux points de l’espace considĂ©rĂ©.


« Supposons, un monde renfermĂ© dans une grande sphĂšre et soumis aux lois suivantes : La tempĂ©rature n'y est pas uniforme; elle est maximum au centre et elle diminue Ă  mesure qu'on s'en Ă©loigne, pour se rĂ©duire au zĂ©ro absolu quand on atteint la sphĂšre oĂč ce monde est renfermĂ©. Un objet mobile deviendra alors de plus en plus petit, Ă  mesure qu’on se rapprochera du cercle limite.

Observons d’abord que si ce monde est limitĂ© au point de vue de notre gĂ©omĂ©trie habituelle, il paraĂźtra infini Ă  ses habitants. Quand ceux-ci en effet veulent se rapprocher en effet du cercle limite, ils se refroidissent et deviennent de plus en plus petit. Leurs pas deviennent donc de plus en plus petits, de sorte qu’ils ne peuvent jamais atteindre ce cercle limite. Â»[1]


Étienne Ghys commente ce texte de la façon suivante[2] :

Ce schéma explicite une approche intuitive de la géométrie non euclidienne proposée par Poincaré

« Les ĂȘtres qui habitent dans ce monde ne peuvent pas savoir qu’ils rapetissent car s’ils se mesurent avec un mĂštre ruban, le mĂštre ruban Ă©galement se rapetisse. Nous savons qu’ils se rapetissent mais eux ont une vie tout Ă  fait normale et tout Ă  fait cohĂ©rente. S’ils veulent aller d’un point Ă  un autre par le plus court chemin, nous pensons qu’ils auront tendance Ă  se rapprocher du centre, car leurs pas sont plutĂŽt plus grands vers le centre.

Alors on peut dĂ©montrer que le plus court chemin d’un point Ă  un autre dans cette gĂ©omĂ©trie imaginaire est un arc de cercle perpendiculaire au cercle limite. Leurs droites Ă  eux sont nos cercles Ă  nous. Et vous voyez que dans leur gĂ©omĂ©trie, l’axiome d’Euclide n’est pas satisfait. La droite rouge est parallĂšle Ă  la droite verte mais la droite bleue l’est Ă©galement (deux droites qui ne se coupent pas sont en effet parallĂšles).

Il y a une infinitĂ© de parallĂšles qui passent par un point. Et ces gens sont raisonnables, ils ne savent pas qu’ils rapetissent. Mais ils sont tout aussi raisonnables que nous qui ignorons probablement beaucoup d’autres choses.

La morale de cette petite histoire de PoincarĂ© est qu’on peut trĂšs bien envisager beaucoup de mondes extrĂȘmement raisonnables, chacun ayant sa gĂ©omĂ©trie, chacun ayant sa logique et qui chacun peuvent nous apporter une vision de notre monde concret [...].

Le mathĂ©maticien d'aujourd’hui pour rĂ©soudre un problĂšme, pour Ă©tudier une question, va utiliser une gĂ©omĂ©trie, va prendre sa boite Ă  outil, et va choisir la gĂ©omĂ©trie la plus convenable pour comprendre le problĂšme Ă©tudiĂ©.

Voici la phrase de PoincarĂ© : Une gĂ©omĂ©trie ne peut ĂȘtre plus vraie qu’une autre, elle peut simplement ĂȘtre plus commode. Â»

Le développement des géométries non euclidiennes[modifier | modifier le code]

Les gĂ©omĂ©tries Ă  n dimensions et les gĂ©omĂ©tries non euclidiennes sont deux branches sĂ©parĂ©es de la gĂ©omĂ©trie, qui peuvent ĂȘtre combinĂ©es, mais pas obligatoirement. Une confusion s'est Ă©tablie dans la littĂ©rature populaire Ă  propos de ces deux gĂ©omĂ©tries. Parce que la gĂ©omĂ©trie euclidienne Ă©tait Ă  deux ou trois dimensions, on en concluait, Ă  tort, que les gĂ©omĂ©tries non euclidiennes comportaient nĂ©cessairement des dimensions supĂ©rieures.

C'est Gauss qui, dÚs 1813[3], a formulé la possibilité qu'il existe d'autres géométries que celle d'Euclide.

Ce constat fait par Gauss est le terme d'une longue suite de recherches et de tentatives d'Ă©claircissement du cinquiĂšme postulat d'Euclide (le postulat des parallĂšles). En effet, ce postulat — notamment car il fait appel au concept d'infini — a toujours paru un peu « Ă  part Â» et non Ă©vident aux mathĂ©maticiens, qui ont cherchĂ© soit Ă  le remplacer par un postulat plus simple et plus direct, soit Ă  le dĂ©montrer Ă  partir des autres postulats d'Euclide. Ainsi, les mathĂ©maticiens arabes et perses dont notamment Thābit ibn Qurra, Alhazen, et surtout Omar Khayyam ont Ă©tudiĂ© les liens entre le postulat des parallĂšles et la somme des angles des quadrilatĂšres et des triangles. Khayyam propose ainsi dĂšs le XIe siĂšcle une alternative au cinquiĂšme postulat d'Euclide, et des tentatives de dĂ©monstration de ce postulat par l'absurde[3].

Au XVIIe siĂšcle, John Wallis et surtout Giovanni Girolamo Saccheri se sont inspirĂ©s des travaux de ces mathĂ©maticiens et ont tentĂ© de dĂ©montrer le postulat des parallĂšles. Saccheri consacra sa vie entiĂšre Ă  essayer de dĂ©montrer le postulat des parallĂšles par l'absurde, sans y parvenir. Mais, postulant "l'hypothĂšse de l'angle aigu"[4], non seulement il n'aboutit Ă  aucune contradiction mathĂ©matique flagrante, mais de plus il dĂ©couvre tout un ensemble de nouveaux thĂ©orĂšmes, cohĂ©rents et riches. Il est sur le point de dĂ©couvrir une gĂ©omĂ©trie non euclidienne (par exemple la gĂ©omĂ©trie hyperbolique, dans laquelle l'espace peut admettre une infinitĂ© de parallĂšles Ă  une droite donnĂ©e et passant par un point hors de cette droite), mais il n'acceptera jamais ces nouveaux thĂ©orĂšmes qu'il considĂšre comme « rĂ©pugnants Â»[5].

Reprenant les travaux de Saccheri en 1766, Johann Heinrich Lambert reprend l'hypothĂšse de l'angle aigu, mais ne conclut pas Ă  une contradiction. Il rĂ©alise, au moins dans les toutes derniĂšres annĂ©es de sa vie, qu'il doit ĂȘtre possible de bĂątir des gĂ©omĂ©tries cohĂ©rentes, soit Ă  partir de l'hypothĂšse de l'angle aigu (gĂ©omĂ©trie hyperbolique), soit celle de l'angle obtus[6] (gĂ©omĂ©trie elliptique).

Lambert obtient notamment la formule π – (α + ÎČ + Îł) = CΔ, C Ă©tant une constante[7], qui donne l'aire Δ d'un triangle dont les trois angles sont α, ÎČ, Îł dans une gĂ©omĂ©trie fondĂ©e sur l'angle aigu (nommĂ©e de nos jours une gĂ©omĂ©trie hyperbolique).

On distingue les géométries à courbure négative, comme celle de Lobatchevski (1829) et Bolyai (1832) (somme des angles d'un triangle inférieure à 180°, nombre infini de parallÚles possibles à une droite par un point, par exemple la géométrie hyperbolique), des géométries à courbure positive comme celle de Riemann (1867) (somme des angles d'un triangle supérieure à 180°, parallÚles se rejoignant aux pÎles, par exemple la géométrie elliptique).

La gĂ©omĂ©trie communĂ©ment appelĂ©e « gĂ©omĂ©trie de Riemann Â» est un espace sphĂ©rique Ă  trois dimensions, espace fini et cependant sans bornes, Ă  courbure positive rĂ©guliĂšre, alternative au postulat euclidien des parallĂšles. Riemann a conçu par ailleurs une thĂ©orie Ă©tendue des gĂ©omĂ©tries non euclidiennes Ă  n dimensions (confĂ©rence de 1854).

L'idĂ©e de « gĂ©omĂ©trie non euclidienne Â» sous-entend gĂ©nĂ©ralement l'idĂ©e d'un espace courbe, mais la gĂ©omĂ©trie d'un espace courbe n'est qu'une reprĂ©sentation de la gĂ©omĂ©trie non euclidienne, prĂ©cise Duncan Sommerville (en) dans The Elements of Non-Euclidean Geometry (Londres, 1914). Il existe des espaces non euclidiens Ă  trois dimensions.


Les différents types de géométrie non euclidienne[modifier | modifier le code]

Il existe une infinité de droites qui, comme d1, d2 et d3, passent par le point M et sont parallÚles à la droite D.

La géométrie hyperbolique[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : GĂ©omĂ©trie hyperbolique.

Lobatchevski, Klein et PoincarĂ© ont crĂ©Ă© des modĂšles de gĂ©omĂ©trie dans lesquelles on peut tracer une infinitĂ© de parallĂšles Ă  une droite donnĂ©e et passant par un mĂȘme point.

Il est remarquable que seul le cinquiĂšme postulat d'Euclide ait Ă©tĂ© levĂ© ; les gĂ©omĂ©tries non euclidiennes respectent par ailleurs toutes les autres dĂ©finitions d'Euclide. En particulier, une droite est toujours dĂ©finie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface. Il existe plusieurs modĂšles de gĂ©omĂ©trie hyperbolique Ă  deux dimensions : le disque de PoincarĂ©, le demi-plan de PoincarĂ©, 


Il n'existe aucune droite passant par le point M et parallĂšle Ă  la droite D.

La géométrie elliptique[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : GĂ©omĂ©trie elliptique.

Riemann a introduit un autre modĂšle de gĂ©omĂ©trie non euclidienne, la gĂ©omĂ©trie sphĂ©rique (parfois appelĂ©e gĂ©omĂ©trie elliptique sphĂ©rique). Dans ce cas, par un point extĂ©rieur Ă  une droite on ne peut mener aucune parallĂšle (autrement dit, toutes les droites passant par un point extĂ©rieur Ă  une droite donnĂ©e sont sĂ©cantes Ă  cette droite, ou encore toutes les droites de l'espace sont sĂ©cantes entre elles). Le modĂšle est trĂšs simple :

  • les points sont les paires de points antipodes d'une sphĂšre ;
  • les droites sont les grands cercles (c'est-Ă -dire dire les cercles ayant le mĂȘme centre que la sphĂšre).

Cette géométrie donne une courbure positive de l'espace (la somme des angles d'un triangle est supérieure à deux droits, ou la somme de deux angles successifs d'un quadrilatÚre est supérieure à deux droits, ou encore il existe un triangle dont tous les angles sont droits).


Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. ↑ Henri PoincarĂ©, La Science et l'HypothĂšse.
  2. ↑ Étienne Ghys, mathĂ©maticien, directeur de recherche au CNRS, remet en question les fondements des mathĂ©matiques : les axiomes
  3. ↑ a et b A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer (lb), Une histoire des mathĂ©matiques – Routes et dĂ©dales,‎ 1986 [dĂ©tail des Ă©ditions].
  4. ↑ Cette hypothĂšse postule que la somme des angles d'un quadrilatĂšre est infĂ©rieure Ă  quatre angles droits.
  5. ↑ La conclusion de Saccheri est restĂ© cĂ©lĂšbre : « L'hypothĂšse de l'angle aigu est absolument fausse car cela rĂ©pugne Ă  la nature de la ligne droite. Â»
  6. ↑ La somme des angles d'un quadrilatĂšre est supĂ©rieure Ă  quatre angles droits.
  7. ↑ Aujourd'hui, C est nommĂ©e la « courbure Gaussienne Â» du plan hyperbolique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

  • Courbure
  • GĂ©omĂ©trie absolue (en)
  • GĂ©omĂ©trie dans l'espace
  • GĂ©omĂ©trie diffĂ©rentielle
  • RelativitĂ© gĂ©nĂ©rale
  • ThĂ©orĂšme de plongement de Nash
  • QuatriĂšme dimension (art)

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Jean-Pierre Bourguignon, Espaces courbes [détail des éditions]

Introduction non technique au sujet.

Aspects historiques[modifier | modifier le code]

  • Luciano Boi, Le problĂšme mathĂ©matique de l'espace - Une quĂȘte de l'intelligible, Springer-Verlag (1995)
    Une histoire philosophique du concept mathĂ©matique d'espace, de la gĂ©omĂ©trie euclidienne au dĂ©veloppement des gĂ©omĂ©trie modernes non euclidiennes, dont la version riemannienne est indispensable pour la formulation de la relativitĂ© gĂ©nĂ©rale ; niveau premier cycle universitaire minimum.
  • (en) Marvin J. Greenberg, Euclidean & Non-Euclidean geometries - Development & History, W.H. Freeman & Co., New-York (3e Ă©dition-1996)
    Un livre de mathĂ©matiques qui retrace l'histoire et le dĂ©veloppement des gĂ©omĂ©tries non Euclidiennes, essentiellement Ă  deux dimensions (gĂ©omĂ©tries de Gauss, Bolai et Lobachevsky) ; accessible Ă  l' « honnĂȘte homme cultivĂ© Â».
  • (en) Max Jammer, Concepts of space - The history of theories of space in physics, Dover Publications, Inc. (3e Ă©dition-1993)
    Une histoire Ă©rudite du concept d'espace, depuis l'AntiquitĂ© jusqu'Ă  nos jours ; niveau premier cycle universitaire.

Ouvrages de mathématiques[modifier | modifier le code]

  • (en) Norbert A'Campo (de) et Athanase Papadopoulos, Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1--182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, ZĂŒrich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, 2012 (ISBN 978-3-03719-105-7), DOI:10.4171/105
  • Marcel Berger et Bernard Gostiaux, GĂ©omĂ©trie diffĂ©rentielle : variĂ©tĂ©s, courbes et surfaces [dĂ©tail des Ă©ditions]
  • (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry [dĂ©tail de l’édition]
    Comme l'indique son titre, le grand gĂ©omĂštre français nous convie ici Ă  une longue (824 pages) promenade panoramique dans le monde de la gĂ©omĂ©trie riemannienne ; les divers rĂ©sultats sont pour la plupart donnĂ©s sans dĂ©monstrations dĂ©taillĂ©es, mais avec les rĂ©fĂ©rences idoines pour le lecteur qui souhaiterait mettre « les mains dans le cambouis Â» ; le dernier chapitre donne les bases techniques du domaine.
  • Jean-Marc Daudonnet, Bernard Fischer, Courbure des surfaces. Introduction aux gĂ©omĂ©tries non euclidiennes, JIPTO 2009 (ISBN 2-35175-028-4)
  • Boris Doubrovine (de), Anatoli Fomenko et SergueĂŻ Novikov, GĂ©omĂ©trie contemporaine - MĂ©thodes et applications [dĂ©tail des Ă©ditions] (PremiĂšre partie : gĂ©omĂ©trie des surfaces, des groupes de transformations et des champs).
    Une introduction trĂšs pĂ©dagogique Ă  la gĂ©omĂ©trie, avec des applications Ă  la physique, Ă©crite par des spĂ©cialistes russes. L'approche Ă©tant plutĂŽt intuitive, cet ouvrage est accessible Ă  partir du premier cycle universitaire pour un « bon Â» Ă©tudiant motivĂ©.
  • (en) Birger Iversen, Hyperbolic Geometry, London Mathematical Society Student Texts 25, Cambridge University Press, 1992 (ISBN 0-521-43528-5)
  • (en) Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, Translator and Editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010
  • (en) Michael Spivak (de), (A Comprehensive Introduction to) Differential Geometry [dĂ©tail des Ă©ditions]
    Traité de référence en cinq volumes.
  • (en) John Stillwell, Geometry of Surfaces, 1992, coll. Â« Universitext Â» (ISBN 978-0-387-97743-0, lire en ligne)

Ouvrages pour physiciens théoriciens[modifier | modifier le code]

  • (en) Yvonne Choquet-Bruhat et CĂ©cile DeWitt-Morette, Analysis, Manifolds and Physics - Part I: Basics, North-Holland, 1989 (ISBN 978-0-44486017-0)
  • (en) Theodore Frankel, The Geometry of Physics - An introduction, Cambridge University Press, 2004, 2e Ă©d. rĂ©visĂ©e et illustrĂ©e (ISBN 978-0-52153927-2)
  • (en) Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics, Institute of Physics Publishing, 2003, 2e Ă©d. illustrĂ©e (ISBN 978-0-75030606-5)
  • (en) Charles Nash et Siddhartha Sen, Topology and Geometry for Physicists, Academic Press, 1983 (ISBN 978-0-12514080-5)

Aspects ludiques[modifier | modifier le code]

Jean-Pierre Petit, Le géométricon, bande dessinée de la collection Les aventures d'Anselme Lanturlu, éd. Belin,

Liens externes[modifier | modifier le code]

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