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Géométrie non euclidienne



Géométrie non euclidienne : encyclopédie mathématiques

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On appelle g√©om√©trie non euclidienne une th√©orie g√©om√©trique ayant recours √† tous les axiomes et postulats pos√©s par Euclide dans les √Čl√©ments, sauf le postulat des parall√®les.

La droite d est la seule droite passant par le point M et parallèle à la droite D. Tout autre droite passant par M (par exemple les droites tracées en pointillée) est sécante avec D.

Les différentes géométries non euclidiennes sont issues de la volonté de démontrer le cinquième postulat (le postulat d'Euclide) qui semblait peu satisfaisant car trop complexe, et peut-être redondant.

Ce √† quoi Saccheri, proc√©dant par l'absurde, avait √©chou√© √† la fin du XVIIe si√®cle.

Dans les √Čl√©ments d'Euclide, le postulat ressemble √† la conclusion d'un th√©or√®me, mais qui ne comporterait pas de d√©monstration :

Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles int√©rieurs du m√™me c√īt√© plus petits que deux droits, ces droites, prolong√©es √† l'infini, se rencontreront du c√īt√© o√Ļ les angles sont plus petits que deux droits

et qu'on peut comprendre comme :

Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule.

Durant plusieurs siècles, la géométrie euclidienne a été utilisée sans que l'on mette en doute sa validité. Elle a même été longtemps considérée comme l'archétype du raisonnement logico-déductif. Elle présentait en effet l'avantage de définir les propriétés intuitives des objets géométriques dans une construction mathématique rigoureuse.

Le développement des géométries non euclidiennes[modifier | modifier le code]

Les géométries à n dimensions et les géométries non euclidiennes sont deux branches séparées de la géométrie, qui peuvent être combinées, mais pas obligatoirement. Une confusion s'est établie dans la littérature populaire à propos de ces deux géométries. Parce que la géométrie euclidienne était à trois dimensions, on en concluait que les géométries non euclidiennes comportaient nécessairement des dimensions supérieures.

C'est Gauss qui, dès 1813[1], a formulé la possibilité qu'il existe d'autres géométries que celle d'Euclide.

Ce constat fait par Gauss est le terme d'une longue suite de recherches et de tentatives d'√©claircissement du cinqui√®me postulat d'Euclide (le postulat des parall√®les). En effet, ce postulat a toujours paru un peu "√† part" et non √©vident aux math√©maticiens, notamment car il fait appel au concept d'infini, qui ont cherch√© soit √† le remplacer par un postulat plus simple et plus direct, soit √† le d√©montrer √† partir des autres postulats d'Euclide. Ainsi, les math√©maticiens arabes dont notamment ThńĀbit ibn Qurra, Alhazen, et surtout Omar Khayyam ont √©tudi√© les liens entre le postulat des parall√®les et la somme des angles des quadrilat√®res et des triangles. Khayyam propose ainsi d√®s le XIe si√®cle une alternative au cinqui√®me postulat d'Euclide, et des tentatives de d√©monstration de ce postulat par l'absurde[1].

Au XVIIe si√®cle, John Wallis et surtout Giovanni Girolamo Saccheri se sont inspir√©s des travaux de ces math√©maticiens et ont tent√© de d√©montrer le postulat des parall√®les. Saccheri consacra sa vie enti√®re √† essayer de d√©montrer le postulat des parall√®les par l'absurde, sans y parvenir. Mais, postulant "l'hypoth√®se de l'angle aigu"[2], non seulement il n'aboutit √† aucune contradiction math√©matique flagrante, mais de plus il d√©couvre tout un ensemble de nouveaux th√©or√®mes, coh√©rents et riches. Il est sur le point de d√©couvrir une g√©om√©trie non euclidienne (par exemple la g√©om√©trie hyperbolique, dans laquelle l'espace peut admettre une infinit√© de parall√®les √† une droite donn√©e et passant par un point hors de cette droite), mais il n'acceptera jamais ces nouveaux th√©or√®mes qu'il consid√®re comme ¬ę r√©pugnants ¬Ľ[3].

Reprenant les travaux de Saccheri en 1766, Johann Heinrich Lambert reprend l'hypoth√®se de l'angle aigu, mais ne conclut pas √† une contradiction. Il r√©alise, au moins dans les toutes derni√®res ann√©es de sa vie, qu'il doit √™tre possible de b√Ętir des g√©om√©tries coh√©rentes, soit √† partir de l'hypoth√®se de l'angle aigu (g√©om√©trie hyperbolique), soit celle de l'angle obtus[4] (g√©om√©trie elliptique).

Lambert obtient notamment la formule \pi - (\alpha + \beta + \gamma) = C \Delta, C étant une constante[5], qui donne l'aire \Delta d'un triangle dont les trois angles sont \alpha, \beta, \gamma dans une géométrie fondée sur l'angle aigu (nommée de nos jours une géométrie hyperbolique).

On distingue les g√©om√©tries √† courbure n√©gative, comme celle de Lobatchevski (1829) et Bolyai (1832) (somme des angles d'un triangle inf√©rieure √† 180¬į, nombre infini de parall√®les possibles √† une droite par un point, par exemple la g√©om√©trie hyperbolique), des g√©om√©tries √† courbure positive comme celle de Riemann (1867) (somme des angles d'un triangle sup√©rieure √† 180¬į, parall√®les se rejoignant aux p√īles, par exemple la g√©om√©trie elliptique).

La g√©om√©trie commun√©ment appel√©e ¬ę g√©om√©trie de Riemann ¬Ľ est un espace sph√©rique √† trois dimensions, espace fini et cependant sans bornes, √† courbure positive r√©guli√®re, alternative au postulat euclidien des parall√®les. Riemann a con√ßu par ailleurs une th√©orie √©tendue des g√©om√©tries non euclidiennes √† n dimensions (conf√©rence de 1854).

L'id√©e de ¬ę g√©om√©trie non euclidienne ¬Ľ sous-entend g√©n√©ralement l'id√©e d'un espace courbe, mais la g√©om√©trie d'un espace courbe n'est qu'une repr√©sentation de la g√©om√©trie non euclidienne, pr√©cise Duncan Sommerville (en) dans The Elements of Non-Euclidean Geometry (Londres, 1914). Il existe des espaces non euclidiens √† trois dimensions.

Les différents types de géométrie non euclidienne[modifier | modifier le code]

Il existe une infinité de droites qui, comme d1, d2 et d3, passent par le point M et sont parallèles à la droite D.

La géométrie hyperbolique[modifier | modifier le code]

Article d√©taill√© : G√©om√©trie hyperbolique.

Lobatchevski, Klein et Poincaré ont créé des modèles de géométrie dans lesquelles on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point.

Il est remarquable que seul le cinqui√®me postulat d'Euclide ait √©t√© lev√© ; les g√©om√©tries non euclidiennes respectent par ailleurs toutes les autres d√©finitions d'Euclide. En particulier, une droite est toujours d√©finie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface. Il existe plusieurs mod√®les de g√©om√©trie hyperbolique √† deux dimensions : le disque de Poincar√©, le demi-plan de Poincar√©, ‚Ķ

Il n'existe aucune droite passant par le point M et parallèle à la droite D.

La géométrie elliptique[modifier | modifier le code]

Article d√©taill√© : G√©om√©trie elliptique.

Riemann a introduit un autre mod√®le de g√©om√©trie non euclidienne, la g√©om√©trie sph√©rique (parfois appel√©e g√©om√©trie elliptique sph√©rique). Dans ce cas, par un point ext√©rieur √† une droite on ne peut mener aucune parall√®le (autrement dit, toutes les droites passant par un point ext√©rieur √† une droite donn√©e sont s√©cantes √† cette droite, ou encore toutes les droites de l'espace sont s√©cantes entre elles). Le mod√®le est tr√®s simple :

  • les points sont les paires de points antipodes d'une sph√®re ;
  • les droites sont les grands cercles (c'est-√†-dire dire les cercles ayant le m√™me centre que la sph√®re).

Cette géométrie donne une courbure positive de l'espace (la somme des angles d'un triangle est supérieure à deux droits, ou la somme de deux angles successifs d'un quadrilatère est supérieure à deux droits, ou encore il existe un triangle dont tous les angles sont droits).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. ‚ÜĎ a et b A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer (lb), Une histoire des math√©matiques ‚Äď Routes et d√©dales,‚Äé 1986 [d√©tail des √©ditions]
  2. ‚ÜĎ Cette hypoth√®se postule que la somme des angles d'un quadrilat√®re est inf√©rieure √† quatre angles droits.
  3. ‚ÜĎ La conclusion de Saccheri est rest√© c√©l√®bre : ¬ę L'hypoth√®se de l'angle aigu est absolument fausse car cela r√©pugne √† la nature de la ligne droite ¬Ľ
  4. ‚ÜĎ La somme des angles d'un quadrilat√®re est sup√©rieure √† quatre angles droits
  5. ‚ÜĎ Aujourd'hui, C est nomm√© la "courbure Gaussienne" du plan hyperbolique

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

  • Courbure
  • G√©om√©trie dans l'espace
  • G√©om√©trie diff√©rentielle
  • G√©om√©trie euclidienne
  • G√©om√©trie hyperbolique
  • Relativit√© g√©n√©rale
  • Th√©or√®me de plongement de Nash
  • 4√®me dimension (art)

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Jean-Pierre Bourguignon, Espaces courbes [détail des éditions]

Introduction non technique au sujet.

Aspects historiques[modifier | modifier le code]

  • (en) Marvin J. Greenberg, Euclidean & Non-Euclidean geometries - Development & History, W.H. Freeman & Co., New-York (3e √©dition-1996)
    Un livre de math√©matiques qui retrace l'histoire et le d√©veloppement des g√©om√©tries non Euclidiennes, essentiellement √† deux dimensions (g√©om√©tries de Gauss, Bolai et Lobachevsky) ; accessible √† l' ¬ę honn√™te homme cultiv√© ¬Ľ.
  • Luciano Boi, Le probl√®me math√©matique de l'espace - Une qu√™te de l'intelligible, Springer-Verlag (1995)
    Une histoire philosophique du concept math√©matique d'espace, de la g√©om√©trie euclidienne au d√©veloppement des g√©om√©trie modernes non euclidiennes, dont la version riemannienne est indispensable pour la formulation de la relativit√© g√©n√©rale ; niveau premier cycle universitaire minimum.
  • (en) Max Jammer, Concepts of space - The history of theories of space in physics, Dover Publications, Inc. (3e √©dition-1993)
    Une histoire √©rudite du concept d'espace, depuis l'Antiquit√© jusqu'√† nos jours ; niveau premier cycle universitaire.

Ouvrages de mathématiques[modifier | modifier le code]

  • Jean-Marc Daudonnet, Bernard Fischer, Courbure des surfaces. Introduction aux g√©om√©tries non euclidiennes, JIPTO 2009 (ISBN 2-35175-028-4)
  • Marcel Berger et Bernard Gostiaux, G√©om√©trie diff√©rentielle : vari√©t√©s, courbes et surfaces [d√©tail des √©ditions]
  • (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry [d√©tail des √©ditions]
    Comme l'indique son titre, le grand g√©om√®tre fran√ßais nous convie ici √† une longue (824 pages) promenade panoramique dans le monde de la g√©om√©trie riemannienne ; les divers r√©sultats sont pour la plupart donn√©s sans d√©monstrations d√©taill√©es, mais avec les r√©f√©rences idoines pour le lecteur qui souhaiterait mettre ¬ę les mains dans le cambouis ¬Ľ ; le dernier chapitre donne les bases techniques du domaine.
  • (en) John Stillwell, Geometry of Surfaces, 1992, coll. ¬ę Universitext ¬Ľ (ISBN 978-0-387-97743-0, lire en ligne)
  • (en) Birger Iversen, Hyperbolic Geometry, London Mathematical Society Student Texts 25, Cambridge University Press, 1992 (ISBN 0-521-43528-5)
  • Boris Doubrovine (de), Anatoli Fomenko et Sergue√Į Novikov, G√©om√©trie contemporaine - M√©thodes et applications [d√©tail des √©ditions] (Premi√®re partie : g√©om√©trie des surfaces, des groupes de transformations et des champs).
    Une introduction tr√®s p√©dagogique √† la g√©om√©trie, avec des applications √† la physique, √©crite par des sp√©cialistes russes. L'approche √©tant plut√īt intuitive, cet ouvrage est accessible √† partir du premier cycle universitaire pour un ¬ę bon ¬Ľ √©tudiant motiv√©.
  • (en) Michael Spivak (de), (A Comprehensive Introduction to) Differential Geometry [d√©tail des √©ditions]
    Traité de référence en cinq volumes.
  • (en) Norbert A'Campo (de) et Athanase Papadopoulos, Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1--182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Z√ľrich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, 2012 (ISBN 978-3-03719-105-7), DOI:10.4171/105
  • (en) Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, Translator and Editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010

Ouvrages pour physiciens théoriciens[modifier | modifier le code]

  • (en) Theodore Frankel, The Geometry of Physics - An introduction, Cambridge University Press, 2004, 2e √©d. r√©vis√©e et illustr√©e (ISBN 978-0-52153927-2)
  • (en) Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics, Institute of Physics Publishing, 2003, 2e √©d. illustr√©e (ISBN 978-0-75030606-5)
  • (en) Charles Nash et Siddhartha Sen, Topology and Geometry for Physicists, Academic Press, 1983 (ISBN 978-0-12514080-5)
  • (en) Yvonne Choquet-Bruhat et C√©cile DeWitt-Morette, Analysis, Manifolds and Physics - Part I: Basics, North-Holland, 1989 (ISBN 978-0-44486017-0)

Aspects ludiques[modifier | modifier le code]

Jean-Pierre Petit, Le géométricon, bande dessinée de la collection Les aventures d'Anselme Lanturlu, éd. Belin,

Liens externes[modifier | modifier le code]


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