Galois (encyclopédie mathématiques)

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Évariste Galois

Évariste Galois à quinze ans dessiné par sa sœur^[1]
dans sa redingote neuve d'étudiant.

Données clés
Naissance	25 octobre 1811 Bourg-la-Reine (France)
Décès	31 mai 1832 (à 20 ans) Paris (France)
Nationalité	France
Champs	mathématiques
Institutions	Lycée Louis-le-Grand École préparatoire
Diplômé de	École normale
Renommé pour	Définition des groupes « formels » Nouveau paradigme de la théorie des équations Théorème de l'élément primitif Théorème fondamental en algèbre linéaire Abstraction du théorème de Ruffini.

Compléments

Républicain engagé, mort en duel galant à vingt ans.

Signature

Évariste Galois, né le 25 octobre 1811 à Bourg-la-Reine, mort le 31 mai 1832 à Paris^[2], est un mathématicien français, qui a donné son nom à une branche des mathématiques, la théorie de Galois.

Mort à la suite d'un duel à l'âge de vingt ans, il laisse un manuscrit élaboré trois ans plus tôt, dans lequel il établit qu'une équation algébrique est résoluble par radicaux^{[nb 1]} si et seulement si le groupe de permutation de ses racines a une certaine structure, qu'Emil Artin appellera justement résoluble. Son Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux^[3], publié par Joseph Liouville quatorze ans après sa mort, a été considéré par ses successeurs, en particulier Sophus Lie, comme le déclencheur du point de vue structural et méthodologique des mathématiques modernes.

Républicain radical, il prit une part active aux événements qui suivirent les Trois Glorieuses.

Les démêlés de Galois avec les autorités, tant scientifiques que politiques, les zones d'ombre entourant sa mort prématurée, contrastant avec l'importance désormais reconnue de ses travaux, ont contribué à en faire l'incarnation du génie romantique malheureux et d'une jeunesse prometteuse et mal aimée. Il a été célébré en octobre 2011 à l'occasion du bicentenaire de sa naissance^[4].

Sommaire

Biographie [modifier]

Origines familiales et enfance [modifier]

Évariste Galois naît au 20 Grand'Rue^[5]^,^{[nb 2]} à Bourg-la-Reine, dans une famille de tradition républicaine appartenant à cette bourgeoisie modeste et lettrée^[6] que la Révolution avait favorisée^[5]. Son grand-père paternel, directeur de l'école de la ville, a vu affluer les pensionnaires après la sécularisation des écoles cléricales du 2 novembre 1789^{[nb 3]}. Son père, Nicolas-Gabriel Galois (1775-1829), chef de l'établissement^[5] à son tour, devient, lors des Cent-Jours, le maire libéral de Bourg-la-Reine^[6] et le reste jusqu'à sa mort par suicide. Sa mère, Adélaïde-Marie Demante (1788-1872), issue d'une famille de juristes^[7] et de magistrats, et sœur d'Antoine-Marie Demante, est plus pénétrée de stoïcisme que de christianisme^[6].

La famille compte deux autres enfants, Nathalie-Théodore et Alfred, nés en 1808 et 1814^[8]. Ils sont éduqués par leur mère, jusqu'à l'âge de 12 ans en ce qui concerne Évariste^[7] : un enseignement des humanités, à base d'exercices de mémoire qui l'aideront pour l'abstraction mathématique^[9].

Le lycée Louis-Le-Grand (1823-1829) [modifier]

La cour d'honneur de Louis-le-Grand.

Des débuts irréguliers [modifier]

En 1823, avec un an d'avance, Évariste entre en classe de quatrième au Collège Royal Louis-le-Grand comme interne^[10]. Il se distingue d'emblée en obtenant, en classe de quatrième et troisième, des prix et accessits notamment en latin et en grec^[11]. Mais, à quatorze ans, en classe de seconde, un fléchissement se fait sentir, les premiers signes de lassitude apparaissent^[11]. Le proviseur, pour ménager sa santé et lui permettre de gagner en maturité, suggère un redoublement^[12].

À la rentrée de 1826, il est admis en Rhétorique (Première), à la demande insistante de son père^[12], mais contre l'avis du proviseur^[13]. À la fin du premier trimestre, il est rétrogradé en raison de son manque de maturité en classe de seconde^[12], mais il a la possibilité, grâce à une réforme scolaire, de s'inscrire parallèlement en classe de mathématiques préparatoires première année^[14]^,^{[nb 4]} où il découvre enfin les mathématiques.

La rencontre des mathématiques (1827-1828) [modifier]

Avide d'apprendre dans ce nouveau domaine, il assimile avec une facilité déconcertante les Éléments de géométrie de Legendre^[15]. Peu satisfait des livres élémentaires d'algèbre, il s'alimente directement à la source^[16] : les traités d'algèbre^[17] et d'analyse^[18] de Lagrange, ainsi que le supplément au traité d'analyse^[19], de sorte qu'il est lauréat du Concours général de mathématiques^[14] en 1827.

Mais cette découverte des mathématiques s'accompagne d'un relâchement en classe de seconde, où son travail est irrégulier^[20]^,^{[nb 5]}. Son comportement, au sein d'une classe regroupant les meilleurs élèves^[13], est qualifié de « bizarre »^[21].

L'année scolaire (1827-1828) confirme la tendance : malgré des capacités jugées hors-ligne^[22], il travaille peu en classe de rhétorique, réservant tout son zèle à sa seconde année de mathématiques préparatoires. Il prépare solitairement^[23] le concours d'entrée à l'École polytechnique, concours habituellement tenté par des étudiants plus âgés d'au moins trois ans ; mais il échoue à la session de l'été 1828^[23]. Son relevé de note signale : « C'est la fureur des mathématiques qui le domine ; aussi je pense qu'il vaudrait mieux pour lui que ses parents consentent à ce qu'il ne s'occupe que de cette étude ; il perd son temps ici et n'y fait que tourmenter ses maîtres… » ; tandis que son professeur de mathématiques lui reconnaît des dispositions mais un manque de méthode^[24].

C'est à cette époque qu'il commence, semble-t-il, à s'intéresser aux équations résolubles par radicaux^[25], commettant selon Auguste Chevalier^[26], la même erreur qu'Abel sur la résolubilité de l'équation de degré cinq^[27].

La classe de Maths Spé et les concours (1828-1829) [modifier]

Les racines du polynôme cyclotomique forment un groupe symétrique sur le cercle trigonométrique complexe. En permutant, elles font tourner le polygone dont elles forment les sommets mais celui-ci reste algébriquement le même. L'étude menée par Gauss pour les polynômes cyclotomiques conduit Galois à son théorème pour tout polynôme.

À la rentrée 1828, Louis-Paul-Émile Richard, futur professeur de Charles Hermite^{[nb 6]}, qui dirige la classe préparatoire de Mathématiques spéciales de Louis-le-Grand, y admet Galois, bien que celui-ci n'ait pas obtenu son baccalauréat^{[nb 7]} et n'ait pas suivi les cours de mathématiques élémentaires^[23], pour le préparer au concours d'entrée à Polytechnique. Le professeur doit expliciter pour le reste de la classe les solutions élégantes que son élève « à la supériorité marquée »^[28] donne aux questions posées en classe^[29]^,^{[nb 8]}. En revanche, celui-ci paraît perdu quand il doit lui-même développer scolairement au tableau une démonstration imposée^[30].

Dans la classe de Richard, sans négliger les cours des mathématiques^[31], il se consacre à ses recherches propres, publiant en avril 1829^[31], dans les Annales de mathématiques pures et appliquées de Gergonne, une Démonstration d'un théorème sur les fractions continues périodiques^[32] et il fait présenter par Cauchy, à l'Académie des sciences, en mai et juin 1829, la première ébauche de son travail sur les équations résolubles, une Recherche sur les équations algébriques de degré premier, mémoire dont le contenu et le commentaire de Cauchy ont été perdus^[33].

Second échec à Polytechnique

Classé cinquième^[34] au Concours général de mathématiques 1829, il se présente de nouveau au concours d'entrée à l'École polytechnique, où le cours de mathématiques est assuré par le même congrégationniste Cauchy. Le 2 juillet 1829, a lieu le suicide de son père, maire libéral de Bourg-la-Reine, à la suite d'attaques des ultras de sa commune et de libelles anonymes. Cet événement tragique précède de deux semaines son second échec au concours^{[nb 9]}^,^[35].

Augustin Cauchy dix ans plus tard. Cauchy, génie précoce, sera choisi en 1830 comme précepteur de la famille royale en exil. Contrairement à la légende républicaine, ce légitimiste a soutenu Galois^[36].

L'École préparatoire (École normale supérieure) [modifier]

En 1826, le gouvernement de la Restauration a rétabli, après une fermeture en 1822, un établissement préparant au concours de l'agrégation de l'enseignement secondaire (concours créé en 1821, auparavant les agrégés étaient choisis par cooptation) : l'École préparatoire, qui sera rebaptisée « École normale » en 1830, puis « École normale supérieure » en 1847. L'École préparatoire est installée dans le collège du Plessis et placée sous la direction du proviseur de Louis-le-Grand^[37].

Succès au concours (1829) [modifier]

Galois se présente en août au concours de l'École Préparatoire. Il est classé second, donc admissible, mais il lui manque le baccalauréat pour être admis ; le 14 décembre, il obtient de justesse^[38] les baccalauréats ès lettres et ès sciences.

Le 20 février 1830, il peut signer, malgré un avis défavorable du maître de conférences en physique^[39], son engagement décennal avec l'Université^[40].

Au sein de l'école, il se signale par son mépris envers les professeurs et son peu de régularité aux cours^[41]. Il se lie d'amitié avec Auguste Chevalier, frère de Michel Chevalier, de deux ans son aîné, et dont c'est la dernière année à l'École Normale. Cette amitié perdurera jusqu'à sa mort malgré les voies divergentes prises par les deux hommes (Auguste Chevalier est attiré par le saint-simonisme alors qu'Évariste est davantage intéressé par l'action révolutionnaire^[42]).

L'échec pour le Prix de l'Académie des Sciences (1830) [modifier]

Dès juillet 1829, Galois ayant pris connaissance des premiers travaux d'Abel avait découvert certaines similitudes avec quelques points de son premier mémoire^[43]. Sur les conseils et l'encouragement de Cauchy^{[nb 10]}, il dépose à l'Académie, en février 1830, une version révisée : Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux^[44] en vue de concourir au grand prix de mathématiques de juin 1830. Parallèlement, il publie, en avril 1830, dans le Bulletin général et universel des annonces et des nouvelles scientifiques du baron de Férussac, une Analyse d'un mémoire sur la résolution algébrique des équations^[45] ^,^[46], petite note destinée à présenter son Mémoire.

En juin 1830^[47] paraissent, toujours dans le bulletin de Férussac, deux autres travaux de Galois, une Note sur la résolution des équations numériques^[48] améliorant un résultat de Legendre sur la recherche de solutions approchées d'une équation, et un travail plus conséquent sur les équations modulaires, Sur la théorie des nombres^[49]^,^{[nb 11]}.

Le 28 juin^[50], le Prix est attribué à Niels Abel, à titre posthume, et à Charles Jacobi, deux mathématiciens pour lesquels Évariste Galois avait lui-même la plus grande admiration. S’étonnant que son travail ne soit pas cité, Galois apprend qu'après la mort de Fourier, qui était chargé de l'examiner le 16 mai précédent, son mémoire n’a pas été retrouvé dans les papiers de celui-ci et est considéré comme perdu^[51].

La perte de ce mémoire et du précédent, ainsi que ses deux échecs à Polytechnique, sont pour Galois une grande déception^[52]. Il en éprouve une indignation et une amertume qu'il exprime par exemple dans son projet de préface de mémoire de 1831^{[nb 12]} allant même jusqu'à accuser le système de condamner le génie au profit de la médiocrité^[41]^,^{[nb 13]}.

La Révolution de 1830 [modifier]

Combat devant l’Hôtel de ville de Paris le 28 juillet 1830^[53]
Un normalien ayant été tué sur une barricade, Galois fut marri de n'avoir pu en être.

Fin juillet 1830, les étudiants, en particulier polytechniciens, de l'Association des Patriotes, sont au premier plan dans le déclenchement des Trois Glorieuses. À l'École préparatoire, le directeur des études Joseph-Daniel Guigniault demande à ceux qui veulent rejoindre leurs aînés dans les combats de rue, de reporter au lendemain leur décision ; puis il fait verrouiller les issues du collège du Plessis^[54]. Le 30 juillet, il déclare par voie de presse remettre ses élèves à la disposition du nouveau régime. À la suite de cette déclaration habile, il est nommé directeur de l'établissement, qui devient autonome sous le nom d'École normale. Galois, qui souhaitait participer aux combats, éprouve désormais une rancune tenace envers le directeur des études^[54].

À la rentrée, Guigniault repousse les demandes des élèves de porter l'uniforme comme les polytechniciens, d'avoir des armes et de « s'exercer aux manœuvres militaires, afin de pouvoir défendre le territoire, en cas de besoin »^[55]. Sans leur avis et au mépris des engagements contractuels, la scolarité est allongée à trois années^[55]. La révolte et l'amertume de Galois s'intensifient quand il s'aperçoit que, sous la direction de François Arago, les polytechniciens sont en train de décider du règlement de leur école. Son comportement conduit Guignault à le consigner indéfiniment^[56].

Le militantisme politique [modifier]

Dès l'été 1830, il affiche ses convictions républicaines^[42] et fréquente la Société des amis du peuple^[42]. Cette association, née des événements du 30 juillet 1830est opposée à la royauté^[57] et regroupe des avocats, marchands, médecins, étudiants – mais peu d'ouvriers^[58]. Dissoute le 2 octobre, elle renaît dans la clandestinité^[58]. L'adhésion de Galois y est officielle le 10 novembre^[59]. Il se lie d'amitié avec Napoléon Lebon et Vincent Delaunay^{[nb 14]}. Il s'enrôle également dans la Garde Nationale^[60] qui, reconstituée à l'issue des Trois Glorieuses, est à nouveau dissoute fin décembre 1830.

L'exclusion (décembre 1830) [modifier]

Le 3 décembre, la Gazette des Écoles^{[nb 15]}, dirigée par Antoine Guillard, agrégé de mathématiques au collège Louis-le-Grand et rival de Guigniault, publie un texte anonyme (dont l'auteur est Galois)^{[nb 16]}, mettant en cause l'engagement libéral, c'est-à-dire la fidélité au nouveau régime, du directeur de l'École normale. Celui-ci riposte le 9 décembre 1830 en expulsant Évariste Galois. Son exclusion provoque un émoi certain, relayé par les républicains jusqu'au sein du gouvernement^[60]. Évariste Galois se croit soutenu par les collègues scientifiques de son École, mais la suite montre qu'il se trompe^[61]. Le 4 janvier, le ministère entérine provisoirement la situation créée par le directeur, tout en assurant à Évariste Galois, mis à pied, le maintien de son statut de fonctionnaire, mais sans traitement, en l'attente d'une décision définitive. Sa mère doit toutefois renoncer à son logement et se placer comme « dame de compagnie »^[62].

Le collège des Quatre Nations,
siège de l'Institut. Contrairement à la légende romantique, ses écrits y étaient lus et encouragés^[35].

Galois ne reste pas inactif. Outre son activité au sein des Amis du peuple^[60], il publie le 2 janvier 1831, dans la Gazette des Écoles un article intitulé Sur l'enseignement des sciences^[63], reprochant au système d'enseigner aux élèves à reproduire un savoir plutôt que de les former à réfléchir, et regrettant que le système des concours les conduise à chercher à satisfaire les lubies de chaque examinateur plutôt que de produire des mathématiques. Sur la demande de Siméon Denis Poisson, il rédige une nouvelle version de son Mémoire que celui-ci présente à l'Académie de 17 janvier^[60] et qu'il est chargé d'examiner en compagnie de Sylvestre-François Lacroix. À cette époque, Galois est connu du milieu universitaire comme un jeune homme prometteur au caractère difficile^{[nb 17]}.

Ayant obtenu sa licence en juin 1830, Évariste décide de créer un cours privé de mathématiques. Le 13 janvier, dans la librairie du 5 rue de la Sorbonne, il inaugure avec trente élèves un cours d'algèbre supérieure visant explicitement à suppléer les carences de l'enseignement public. Mais il semble qu'il n'y ait pas eu d'autres séances^{[nb 18]}.

La prison (1831-1832) [modifier]

Le banquet du 9 mai 1831 et la première arrestation [modifier]

Siméon Denis Poisson vers 1822
rapporteur à l'Académie en 1831. Cauchy exilé, Poisson, légitimiste plus souple, pris le relais à l'Institut de la supervision de Galois.

Le 9 mai 1831, au rez de jardin du restaurant Vendanges de Bourgogne, faubourg du Temple, Évariste Galois participe avec deux cents donateurs^[64] à un banquet organisé à l'occasion de l'acquittement de dix-neuf républicains^[65]. En effet, cinq mois plus tôt, ont eu lieu les émeutes du 20 au 22 décembre. Le gouvernement fit arrêter dix-neuf républicains, dont Ulysse Trélat^[66], Joseph Guinard, Godefroi Cavaignac et Pescheux d'Herbinville^[67] accusés d'avoir comploté contre la sûreté de l'État^[67]^,^{[nb 19]}. Le procès, qui avait eu lieu en avril, avait conduit à leur acquittement^[67] et les Amis du Peuple avait organisé pour le 9 mai un banquet en leur honneur. Vers la fin du banquet, plusieurs toasts sont portés. Galois, brandissant un couteau, lève à son tour son verre et s'écrie : « À Louis-Philippe… s'il trahit^{[nb 20]} ! » Cet appel au meurtre provoque le départ de quelques participants dont Alexandre Dumas, présent sur les lieux^[66].

Le lendemain, Galois est arrêté chez sa mère pour incitation au régicide et emprisonné à Sainte-Pélagie^[68]. Quoiqu'il attribue à l'alcool ce geste provocateur^[69], le procès démontre que lors du banquet, la consommation en fut modérée^[70]. Son avocat plaide l'acquittement, arguant que la réunion était d'ordre privé, et malgré un discours confus et exalté de Galois que le président juge préférable d'interrompre, celui-ci est acquitté le 15 juin^[71].

Le 4 juillet 1831, Poisson et Lacroix rendent leur rapport sur le mémoire de Galois^[72]^,^{[nb 21]}. Il est défavorable. Le mémoire est jugé incompréhensible^{[nb 22]} mais Poisson réserve l'avenir et semble attendre de Galois qu'il développe ses idées^{[nb 23]}.

Seconde arrestation (14 juillet) ; Sainte-Pélagie [modifier]

Le 14 juillet 1831, lors de la commémoration républicaine non autorisée de la Prise de la Bastille, Galois, armé et en costume de garde national, est de nouveau arrêté sur le pont Neuf en compagnie de son ami Ernest du Châtelet^[73] et incarcéré à Sainte-Pélagie. Le 23 octobre, il est jugé en correctionnelle pour port illégal de costume militaire et condamné à six mois de prison^[74].

Durant son incarcération, il croise Gérard de Nerval^[75] et côtoie François-Vincent Raspail qui raconte la vie dans le quartier des politiques. Ils y jouissent d'une relative liberté : ils organisent à leur guise des chœurs et des cérémonies au drapeau dans une cour qui leur est réservée, dorment dans des dortoirs qui ne sont pas toujours fermés. Mais Raspail y déplore l'existence d'une cantine dans laquelle l'alcool coule à flot. Galois, par deux fois, pour répondre aux défis de ses camarades, y boira jusqu'à s'en rendre malade^[76]. C'est aussi Raspail qui évoque la mise au cachot de Galois lors d'une confrontation avec l'administration, sanction qui provoque une mutinerie générale des républicains révoltés par ce traitement^[77].

Mais Galois n'abandonne pas son travail mathématique : il met la dernière main à son mémoire qu'il prévoit de distribuer directement aux mathématiciens de son époque^[78], et se lance dans des recherches sur les fonctions elliptiques^[79].

Le 16 mars 1832, le nouveau préfet de police Henri Gisquet, voulant prévenir les ravages de l'épidémie de choléra, transfère en échange de leur parole d'honneur ses prisonniers les plus fragiles, dont Galois, dans une maison de santé privée, la clinique Faultrier, rue de Lourcine^[80]. Sa peine s'achève le 29 avril 1832 mais il semble y prolonger son séjour^[81].

Le duel (printemps 1832) [modifier]

Duel au pistolet^{[nb 24]} - Le duel était à la mode chez les jeunes antimonarchistes^[82].

Sur la mort d'Évariste Galois, les faits avérés sont minces. On sait, d'après les lettres qu'il a écrites la veille de sa mort, qu'il va se battre en duel : « j'ai été provoqué par deux patriotes ... il a été impossible de refuser »^[83], « Je meurs victime d'une infâme coquette »^[84]. Le duel a lieu le 30 mai au matin, près de l'étang de la Glacière^{[nb 25]}. Évariste Galois est atteint d'une balle tirée à 25 pas, qui le touche de profil, à l'abdomen. Conduit à l'hôpital Cochin par un paysan, il meurt le lendemain, le 31 mai 1832, dans les bras de son frère Alfred, après avoir refusé le service d'un prêtre^[85].

L'identité de « l'infâme coquette » est restée pendant longtemps inconnue mais la découverte de deux manuscrits de Galois^[86], recopiant deux lettres reçues par lui, permet de reconstituer les faits. Durant son séjour à la pension Faultrier, Galois se serait épris d'une Stéphanie D., d'un amour apparemment malheureux^[87]. Elle lui aurait demandé de rompre le 14 mai. Selon Alberto Infantozzi, Stéphanie D. serait Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, qui habitait dans la même rue que la pension Faultrier, et il fait le rapprochement avec un Poterin Dumotel qui y aurait été médecin interne^[88].

Sur l'identité de son adversaire, on cite les noms de Pescheux d'Herbinville^[89] ou Ernest Duchâtelet. Cette dernière hypothèse s'appuie sur la découverte par André Dalmas^[90] du récit du duel dans un journal de Lyon, Le Précurseur, où l'adversaire de Galois est indiqué par les initiales L.D. ; mais René Taton signale que les imprécisions de l'article du journal demandent que cette hypothèse soit validée par des études plus poussées^[91]. Gabriel Demante, cousin d'Évariste Galois, parle de deux hommes respectivement fiancé et oncle de la jeune fille^[92]. Quant au frère d'Évariste, Alfred, il était convaincu d'un complot politique^[93], avis partagé par Leopold Infeld^[94].

Destin posthume [modifier]

Lettre testamentaire d’Évariste Galois.

Les derniers écrits [modifier]

Le 29 mai, veille du duel, Évariste Galois a écrit une épitaphe résumant son destin personnel tout autant que celui de ses manuscrits :

Nitens lux, horrenda procella, tenebris aeternis involuta
« Brillant éclat, dans l'effroi de la tempête, enveloppé à jamais de ténèbres ».

Il a aussi rédigé plusieurs lettres adressées à des amis de la Société des amis du peuple, Napoléon Lebon, Vincent Delaunay et Auguste Chevalier^{[nb 26]}.

La lettre adressée à Auguste Chevalier, considérée comme son testament de mathématicien, est restée célèbre : Galois lui demande instamment de « prier publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes » qu'il a trouvés et dont il dresse le bilan, et de faire imprimer la lettre dans la Revue encyclopédique. La lettre a effectivement été publiée en septembre 1832^[95].

Les funérailles (2 juin 1832) [modifier]

Les funérailles d'Évariste Galois ont lieu le samedi 2 juin 1832 au cimetière du Montparnasse, où il est inhumé dans la fosse commune^[96].

Bien qu'éclipsées par le décès du général Lamarque survenu la veille, elles donnent lieu, sous la surveillance de la police, à un cortège de deux à trois mille personnes, sympathisants de la Société des amis du peuple et délégués des étudiants. Le préfet de police redoute une émeute, qui n'éclate que trois jours plus tard, à la suite des funérailles du général Lamarque^[96].

La reconnaissance de l’œuvre [modifier]

Les papiers d'Évariste Galois, rassemblés par Chevalier, aidé d'Alfred Galois, sont transmis à Joseph Liouville, professeur à Polytechnique. Le 4 septembre 1843, Liouville annonce à l'Académie des Sciences qu'il a trouvé dans le mémoire de Galois des résultats très intéressants concernant la théorie des équations algébriques^[97]. En 1846 il publie les manuscrits de Galois dans son journal, le Journal de mathématiques pures et appliquées, ce qui leur confère immédiatement un rayonnement international^{[nb 27]}.

Ainsi dans la seconde moitié du XIX^e siècle, les travaux de Galois sont repris et prolongés par Enrico Betti, Arthur Cayley, Camille Jordan, Joseph-Alfred Serret, Richard Dedekind, Leopold Kronecker^[98], James Cockle^[99], Paul Bachmann et Heinrich Weber^[100]. Selon Caroline Ehrhardt, la réhabilitation de Galois dans la seconde moitié du siècle provient du fait que les mathématiciens ont les outils pour le comprendre et que l'objet de ses recherches est alors à l'ordre du jour^[98]. La réputation de Galois est déjà bien établie lorsque les célébrations du centenaire de l'Ecole normale en 1895 donnent l'occasion à Sophus Lie, admis à la suite de Cauchy à l'Académie des sciences, de faire reconnaître l'« Influence de Galois sur le développement des mathématiques »^[101].

L'apport de Galois [modifier]

De l'algèbre aux mathématiques modernes [modifier]

Évariste Galois a travaillé classiquement, à la fois dans la continuation et en opposition à ses maîtres, sur le domaine qui à son époque représentait l'intérêt principal des mathématiciens : la construction de solutions aux équations. S'il avait bien conscience de la nécessité de libérer l'enseignement et la recherche de méthodes empiriques, et de la possible future portée de ses travaux, la brièveté de sa vie ne lui a pas donné le bonheur de dépasser ce domaine restreint.

Le problème tel qu’il se posait à son époque est celui des caractéristiques qu'une équation algébrique quelconque doit avoir pour que ses solutions puissent être calculées à partir de ses coefficients, par des opérateurs simples, comme l’addition, la multiplication, l’extraction de racines.

Cependant, il cherche à élaborer une méthode d’analyse des solutions, et de leurs relations, plutôt que de calcul explicite des solutions. Il commence par étudier la possibilité ou non d'une résolution, c’est-à-dire substitue au calcul la recherche de conditions de résolubilité.

Le changement de paradigme [modifier]

Inventeur du concept de « groupe formel »^[102]^{[Informations douteuses]}, Évariste Galois a permis à ses successeurs de déduire à partir de cette découverte la théorie de Galois, dont les bases constituent aujourd'hui un enseignement fondamental de l'année de licence de mathématiques^[103].

Au-delà d'un nouveau domaine des mathématiques, en découvrant la structure des équations résolubles par radicaux, Évariste Galois a rendu pleinement opérant ce qu'a posteriori on désigne comme le concept de structure mathématique et qui était déjà latent dans le mémoire Sur les fonctions symétriques présenté par Augustin-Louis Cauchy à l'Académie des sciences en 1812. Évariste Galois ne donnera pas personnellement à ce concept plus de développement. Il reviendra à Nicolas Bourbaki d'en donner toute son ampleur.

Le style moderne [modifier]

Dans sa préface aux éditions des Œuvres complètes^[104], Jean Dieudonné est « frappé de l'allure étrangement moderne de [la] pensée » d'Évariste Galois. Selon lui, « il est piquant que ses mémoires si concis soient pour nous plus clairs que les filandreux exposés que croyaient devoir en donner ses successeurs immédiats. »

En effet, de son vivant, Galois reçut des critiques sur le manque de clarté de ses mémoires. Dans son court rapport^[105], Poisson, après avoir rapproché les résultats de Galois de ceux d'Abel et interrogé la possibilité de déterminer des conditions de résolubilité des équations proposées, critiqua, plus que la rédaction du texte elle-même, la forme de raisonnement : « ses raisonnements ne sont ni assez clairs, ni assez développés pour que nous ayons pu juger de leur exactitude. » Or, le sujet même développé par Galois était de démontrer que ce n'est pas parce que les résultats ne peuvent pas être donnés en extension qu'ils n'existent pas. Il précisera même que s'il fallait donner ces résultats explicitement, il faudrait des kilomètres d'écriture^{[réf. nécessaire]}, prédisant en quelque sorte les machines de calcul numérique dont la programmation a été rendue possible par ses conceptions^{[Informations douteuses]}. C'est pourquoi il parle de « conditions », qui sont une forme^{[pas clair]}.

Les continuateurs de Galois [modifier]

La nouvelle théorie des équations élaborée par Évariste Galois est en particulier à la base de la théorie de l'information et de la théorie des revêtements, qui a permis de définir algébriquement, par exemple, des objets topologiques tels que la fameuse bande de Moebius ou la bouteille de Klein, et sans laquelle quasiment aucun produit industriel ne serait aujourd'hui numériquement conçu ni produit. Corollairement, son mémoire Sur la théorie des nombres a initié l'élaboration des corps de Galois, qui jouent par exemple un rôle essentiel en cryptographie^[106].

Au-delà des diverses applications des résultats de Galois, sa démarche elle-même a initié un mouvement d'abstraction et de consolidation des mathématiques. Charles Hermite, qui eut tout comme Joseph-Alfred Serret à Polytechnique le même professeur qu'Évariste Galois, Louis-Paul-Émile Richard, et qui disposa grâce à ce dernier des copies de son prédécesseur, fut le premier à exploiter, à partir de 1846, les résultats de celui-ci sur les fonctions elliptiques, mais dans un sens bien à lui, celui de l'unification de l'algèbre et de l'analyse, et non dans celui de la future théorie de Galois^[107]. Il appartiendra à Félix Klein, très inspiré par Galois, de poser en 1872 que les géométries sont des groupes, ouvrant ainsi la voie à une grande unification de l'algèbre et de la géométrie puis, dans l'élan d'Henri Poincaré, de l'ensemble des mathématiques autour de la notion de structure. Plus axé sur l'axiomatisation de la seule géométrie, que développeront David Hilbert et Hermann Weyl, Sophus Lie publiera à partir de 1888 le résultat de ses recherches fondées sur le constat que les transformations continues forment des groupes^[108].

Les notions de groupe et de loi interne seront généralisées progressivement au-delà de la seule théorie des équations. En 1854, le théorème d'Arthur Cayley les étend aux bases d'espaces vectoriels. En 1871, Richard Dedekind, à son retour de Paris où il suit^[109] avec Sophus Lie les leçons de Gaston Darboux sur la théorie de Galois^[110] élaborée par Camille Jordan, applique à la théorie des nombres le concept de champ de rationalité que Leopold Kronecker avait trouvé en 1870 dans la théorie des équations de Galois, et invente ainsi le concept de corps. Suivront les developpements d'Heinrich Weber en 1882, William Burnside en 1897 et James Pierpont en 1900 qui se prolongent actuellement dans de fécondes recherches, menées en particulier par Vladimir Drinfeld et Laurent Lafforgue, autour des conjectures sur la correspondance de Langlands.

Parallèlement, l'algèbre de Galois elle-même sera considérablement approfondie. À partir de son exposé qu'il fit au Collège de France en 1860 des développements qu'Augustin-Louis Cauchy avait donnés aux travaux d'Évariste Galois, Camille Jordan érige en 1870 la théorie de Galois^[110] en système autonome^[111] qui prendra sa forme actuelle grâce aux résultats de Ludwig Sylow, Ferdinand Frobénius, Émile Picard, Ernest Vessiot^[112] et Élie Cartan, puis de Claude Chevalley, André Weil, Emil Artin, Ellis Kolchin (en), Walter Feit (en), et qui continue aujourd'hui son développement à travers les recherches de John Griggs Thompson, Jean-Pierre Serre…

Œuvre [modifier]

« Démonstration d'un théorème sur les fractions continues » [modifier]

Annales de Gergonne, tome XIX, p. 284-301, 1^er mars 1829.

Évariste Galois publia ce premier article à l'âge de 17 ans. Dans cet article, il s'intéressa aux développements, en fractions continues, des racines d'un polynôme. La partie entière a d'un réel x est le premier terme du développement de x ; le second terme $b$ est la partie entière de $y=1/(x-a)$ ; le troisième terme est la partie entière de $1/(y-b)$ ; et ainsi de suite… La suite d'entiers ainsi obtenue constitue le développement en fractions continues ; elle est définie de manière unique.

Si le développement en fractions continues d'un réel x est périodique, x se trouve alors défini par un ensemble fini d'entiers. Il était connu depuis les travaux de Joseph-Louis Lagrange que le développement en fractions continues de toute solution d'une équation polynomiale du second degré est périodique ; par exemple le développement de √3 est, après la partie entière 1, alternativement composée de 1 et de 2. Galois prouva que la période est symétrique si et seulement si le polynôme étudié s'écrit sous la forme $aX^2-bX-a$ . De plus, si un polynôme à coefficients réels admet une racine réelle x dont le développement en fractions continues est périodique, alors ce polynôme admet une seconde racine réelle vérifiant la même propriété.

Ce premier travail s'inscrit dans une problématique plus générale : la recherche des solutions d'une équation polynomiale.

Au début du XIX^e siècle, des formules exactes avaient été déterminées pour exprimer les solutions d'une équation polynomiale du second, troisième ou quatrième degré en fonction des coefficients. Se posait la question de recherche des formules générales pour des équations polynomiales de degré supérieur. Lagrange avait reformulé la question comme la résolution d'une équation polynomiale par radicaux. Il avait déjà émis l'hypothèse que certaines équations polynomiales ne pouvaient vraisemblablement pas être résolues par radicaux^{[réf. souhaitée]}.

Cette suggestion était basée sur le calcul du nombre d'expressions polynomiales à n variables obtenues par permutation des variables. En 1813, Augustin Louis Cauchy s'était déjà intéressé à cette question et étudia les permutations alors appelées substitutions, travaux précurseurs de la théorie des groupes. Enfin, Abel avait établi l'impossibilité de résoudre par radicaux l'équation générale en degré supérieur à 5.

« Analyse d'un mémoire sur la résolution algébrique des équations » [modifier]

Bulletin de Férussac, Tome XIII, p. 271, avril 1830.

Galois présente sans démonstration trois conditions sur la résolution par radicaux d'équations polynomiales primitives. La définition d'un polynôme primitif avait été donnée par Cauchy.

« Note sur la résolution des équations numériques » [modifier]

Bulletin de Férussac, Tome XIII, p. 413, juin 1830.

« Sur la théorie des nombres » [modifier]

Bulletin de Férussac, Tome XIII, p. 428, juin 1830.

« Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux » [modifier]

Journal de mathématiques pures et appliquées, p. 417-433 (1846, manuscrit de 1831)^[3].

Un premier mémoire portant sur la théorie des équations fut soumis en juin 1829 à Cauchy, avant l'admission d'Évariste Galois à l'École Préparatoire. Après révision, il fut soumis en février 1830 à Fourier pour le Grand Prix de Mathématique de l'Académie des Sciences puis, d'après Auguste Chevalier, réécrit à la demande de Siméon Denis Poisson qui le refusa le 4 juillet. Datée du 16 janvier 1831, c'est une troisième version, comme la préface évoquant cette incompréhension de Poisson l'explique, qui fut retrouvée par Liouville dans les archives de Galois après sa mort. Présenté à l'Académie en 1843 par Liouville, le mémoire fut enfin publié en 1846 par ses soins. Ce texte est celui où Galois jette les bases de la théorie des groupes sur lesquelles Felix Klein, Émile Picard et Sophus Lie étayeront leurs propres découvertes, et où ce dernier trouvera, comme il le déclarera en 1895, la démarche généralisante fondatrice des mathématiques modernes.

Dans ce mémoire, Évariste Galois chercha à étudier la résolubilité des équations polynomiales. Il démontra que les racines d'un polynôme scindé $P$ s'expriment rationnellement en fonction des coefficients et d'un nombre algébrique $V$ obtenu en sommant convenablement les racines. Le polynôme minimal de $V$ est par définition le polynôme unitaire de plus petit degré annulant $V$ et dont les coefficients sont des expressions rationnelles en les coefficients de $P$ . Ses racines, nécessairement distinctes, permettent de déterminer un groupe $G$ de permutations des racines de $P$ . La valeur d'une fonction polynomiale évaluée en les racines de $P$ s'exprime rationnellement en fonction des coefficients de $P$ si et seulement si cette valeur reste inchangée en faisant agir une permutation de $G$ . En particulier, si le groupe est trivial, les racines s'expriment rationnellement en fonction des coefficients de $P$ .

Évariste Galois en déduit que la recherche d'une résolution par radicaux passe par la réduction du groupe associé par adjonctions successives de racines. Cette idée directrice est appliquée dans ce premier aux polynômes irréductibles de degré premier.

Il décrit ainsi une méthode générale et quasi complète par factorisation des séries de composition ou « emboîtements » de sous-groupes normaux maximaux. La complexité du calcul de série de résolvantes partielles met en évidence que la résolution des équations par fractions et opérations simples conduit en général, à la différence des méthodes d'approximation, à des calculs astronomiques hors de portée humaine.

Indépendance des travaux de Galois et d'Abel [modifier]

Abel et Galois ont pu souvent être comparés d'une part par la « brièveté de leur vie », d'autre part par « le genre de leur talent et l'orientation de leurs recherches »^[101].

Niels Abel démontre le théorème de Ruffini, l'irrésolubilité par radicaux des équations quintiques – c'est-à-dire qu'il n'y a pas de loi générale pour résoudre par radicaux l'ensemble spécifique de ces polynômes. Évariste Galois, sans avoir connaissance, sinon par bribes, des travaux de son contemporain Niels Abel (tout aussi incompris que lui), démontre la résolubilité par radicaux des équations quartiques ou de polynômes de degrés inférieurs ou même supérieurs, c'est-à-dire qu'il définit les conditions pour qu'une équation ait une solution par radicaux y compris pour celles des équations quintiques, telle $(x - 1)^5 = 0$ , qui en ont une. Ce faisant, il confirme le résultat d'Abel qu'il n'y a pas de conditions spécifiques aux équations quintiques alors qu'il y en pour les équations quartiques mais il ajoute qu'il y en a de plus générales pour toute équation algébrique quel que soit son degré.

Les travaux d'Abel furent publiés dans le premier numéro du Journal de Crelle. Néanmoins, Galois dit ne pas avoir eu connaissance des travaux d'Abel lorsqu'il soumit ses premiers articles en 1829. Il ne put avoir connaissance de ces travaux qu'en octobre à travers la lecture des fragments publiés dans le Bulletin de Férussac. Des lettres posthumes d'Abel adressées à Legendre furent publiées en 1830.

Les travaux de Galois et d'Abel sont indépendants : Galois « n'avait eu qu'en partie connaissance » des travaux d'Abel sur les sujets qui l'intéressaient^[101]. Ce sont à travers des fragments publiés dans le Bulletin que Galois a eu connaissance de ces travaux.

Postérité [modifier]

L'image légendaire d'Évariste Galois [modifier]

Dès sa mort dramatique, Évariste Galois a été présenté comme un génie incompris, un valeureux républicain et un mathématicien ignoré de ses contemporains^[113]. Sa vie a été ensuite romancée et déformée dans de nombreuses biographies, qui ont repris ces images et en ont ajouté d'autres, comme celles d'un étudiant frustré ou d'un utopiste : « de nombreux travaux et un film ont été consacrés à l'homme lui-même qui, mélangeant fiction, romance et faits, l'ont présenté comme le prototype du héros incompris et persécuté »^[114]. Dans un registre plus fantaisiste, il est notamment un protagoniste de la série de romans Quand les dieux buvaient de Catherine Dufour.

Les historiens des mathématiques ont tenté ultérieurement de donner un nouvel éclairage à la vie d'Évariste Galois. Ses deux échecs à l'entrée de l'École polytechnique et les difficultés rencontrées à publier certains mémoires ont profondément nourri « ses sentiments de révolte contre tous les symboles du pouvoir politique »^[115]. Son exclusion officielle de l'École Préparatoire en janvier 1831 et le refus de son mémoire en juillet par Poisson (qui participa au conseil qui exclut Galois) rendirent Galois « profondément dégoûté par ce qu'il considéra comme une nouvelle preuve de l'incompétence des cercles scientifiques et de leur hostilité à son égard »^[116]. Galois exprime sa colère dans certaines lettres, accusant ouvertement le directeur de l'École préparatoire d'appartenir aux « libéraux doctrinaires » et de faire preuve d'un « pédantisme ordinaire »^[95]. Le ressentiment de Galois a pu être présenté par certains auteurs comme une réelle opposition des mathématiciens de son époque à ses travaux novateurs.

La tombe de Nicolas-Gabriel Galois, cénotaphe d’Évariste à Bourg-la-Reine

En marge de la proposition II dans le mémoire de 1830 est mentionnée la phrase « Je n'ai pas le temps ». Cette phrase a été interprétée par Auguste Chevalier comme la preuve d'une révision du mémoire effectuée par Galois la veille du duel. Il confirma cette thèse par une correction manuscrite de la proposition III, accompagnée de la date 1832. D'autres ont repris et exagéré cette interprétation. Selon Eric Temple Bell, Évariste Galois aurait rédigé ses travaux sur la résolution d'équations polynomiales par radicaux la veille de sa mort et n'aurait pas eu le temps de donner les détails de la démonstration. Mais « les élucubrations et autres broderies que Bell et al. ont ajoutées sont plus significatives de l'image que se forme le public de Galois, que de Galois lui-même »^[117].

Il est vrai néanmoins que les circonstances exactes du duel restent « fort obscures ». Différentes hypothèses ont été formulées : certains ont pu l'interpréter comme un duel entre rivaux, un suicide romantique, un complot de la police secrète, qui aurait organisé le duel, un règlement de compte entre révolutionnaires, voire un suicide orchestré à des fins politiques^[118]. Mais la thèse la plus probable est celle d'un « duel imbécile entre amis » (les duels étaient usuels à l'époque).

Dans sa dernière lettre, Galois mentionna : « Gardez mon souvenir, puisque le sort ne m'a pas donné assez de vie pour que la patrie sache mon nom. »

Hommages [modifier]

Onomastique [modifier]

Voies publiques

rue Évariste-Galois : à Breteuil-sur-Iton (Eure), Bouguenais (Loire-Atlantique), Brest, Béziers, Clermont-Ferrand, Eckbolsheim (Bas-Rhin), Le Grand-Quevilly (Seine-Maritime), Le Mée-sur-Seine (Seine-et-Marne), Mitry-Mory (Seine-et-Marne), Paris (20^e arrondissement), Pierrelatte (Drôme), Poitiers, Saint-Junien (Haute-Vienne), Saint-Leu-la-Forêt (Val-d’Oise), Schiltigheim (Bas-Rhin), Tarbes

square Évariste-Galois : à Bourg-la-Reine

Établissements scolaires

Cité universitaire Évariste-Galois : à Reims

Lycée Évariste-Galois : à Beaumont-sur-Oise (Val-d’Oise), Noisy-le-Grand (Seine-Saint-Denis), Sartrouville (Yvelines)

Collège Évariste-Galois : à Algrange (Moselle), Bourg-la-Reine, Breteuil-sur-Iton, Épinay-sur-Seine (Seine-Saint-Denis), Meyzieu (Rhône), Montauban-de-Bretagne (Ille-et-Vilaine), Nanterre, Paris (13^e arrondissement), Sarcelles (Val-d’Oise), Sevran

École Évariste-Galois : à Anglet (Pyrénées-Atlantiques), Poitiers (école Saint-Exupéry - Évariste-Galois)

Divers

Gymnase Évariste-Galois : à Nanterre
Bâtiment annexe Évariste-Galois à la Maison des examens (Service interacadémique des examens et concours) d'Arcueil (Val-de-Marne)
En 1970, l'Union astronomique internationale a donné le nom de Galois à un cratère lunaire.

Manifestations du bicentenaire de sa naissance [modifier]

France : manifestations variées^[119] ;
Bourg-la-Reine : conférences et expositions, du 17 septembre au 5 novembre 2011^[120] ;
Canada : théâtre : Geneviève Billette, Contre le temps, Théâtre d'Aujourd'hui, Montréal, du 8 novembre au 3 décembre 2011.
Paris, 1832. Évariste vient de terminer une peine d’emprisonnement et se consacre avec urgence à son traité d’algèbre. Sa mère accourt pour le retrouver, mais un curieux personnage lui interdit l’accès à l’immeuble. En cette nuit exceptionnelle, les souvenirs d’Évariste se bousculent alors que sa mère découvre qu’Évariste n’est peut-être pas le seul responsable de ses difficultés. Une plongée inédite au cœur de l’univers mathématique, où l’algèbre de Galois, la portée de son regard, sont les farouches adversaires d’un conservatisme qui n’a d’appétit que pour le profit immédiat. Contre le temps s’inspire de la figure d’Évariste Galois, jeune génie mathématicien et ardent militant politique, à qui l’on doit la théorie des groupes, annonciatrice de l’algèbre moderne.

Expositions

Évariste Galois, un mathématicien au cœur de son époque, BU de Lens, 7-25 novembre 2011^[121] ;
Évariste Galois, un mathématicien dans l’histoire, Institut Henri-Poincaré, Paris, 17 octobre-25 novembre 2011^[122]^,^[123].

Bibliographie [modifier]

Œuvres d'Évariste Galois [modifier]

Collectif, Œuvres mathématiques d'Évariste Galois, Journal de mathématiques pures et appliquées, Tome XI, 1846, p. 381-444, disponible en ligne sur le site Gallica.
Œuvres mathématiques publiées en 1846 dans le Journal de Liouville, Jacques Gabay, 1989, (ISBN 2-87647-052-7) (réédition du précédent).
Jules Tannery, Manuscrits de Évariste Galois, Paris, Gauthier-Villars, 1908. Disponible en ligne sur le site de l'université du Michigan
Gustave Verriest et Émile Picard, Œuvres mathématiques d'Évariste Galois publiées en 1897, suivies d'une notice sur Évariste Galois et sur la théorie des équations algébriques, Paris, Gauthier-Villars, 1951.
Robert Bourgne et Jean-Pierre Azra, Écrits et mémoires mathématiques d'Évariste Galois : Edition critique intégrale de ses manuscrits et publications, Paris, Gauthier Villars, 1962 (réédition : Jacques Gabay, 1997)
Peter Neumann, The mathematical writings of Évariste Galois, European Mathematical Society,octobre 2011, (ISBN 978-3037191040)

Travaux sur Évariste Galois [modifier]

Source principale de l'article

Paul Dupuy, « La vie d’Évariste Galois © Elsevier », Annales scientifiques de l'École normale supérieure, Paris, Gauthier Villars, 3^e série, n^o 13, juin 1896, p. 197-266 (réédition : Jacques Gabay, Paris, 1992).
Ce travail qui inclut des reproductions de pièces justificatives (acte de naissance, notes, lettres) est la principale source sur la vie d’Évariste Galois.

Témoignages de contemporains

Les sources directes ont été brûlées durant la guerre de 70 et la Commune. Il est cependant possible de consulter

le journal intime de Nathalie Chantelot, sœur aînée d'Évariste Galois (inédit).
la correspondance de Gabriel Demante, cousin d'Évariste Galois, avec Paul Dupuy (inédite).
François-Vincent Raspail, Lettres sur les prisons de Paris, vol. 2, Paris, Tamisey & Champion, 1839 [lire en ligne]
Alexandre Dumas, Mes mémoires, t. 8, Paris, Calmann Lévy, 1884 , (chapitres CXCVII et CCIV).
Auguste Chevalier, « Nécrologie d'Évariste Galois », Revue encyclopédique, 1832, p. 744-754 [texte intégral]

Biographies

Bruno Alberro, Évariste Galois, mathématicien, humaniste et révolutionnaire, Éditions Elan Sud, 2008
Jean-Paul Auffray, Évariste (1811-1832), Éditions Aléas, 2003
Laura Toti-Rigatelli, Évariste Galois (1811-1832), Bâle, Birkhäuser, 1996
Alexandre Astruc, Évarise Galois, Flammarion, 1994 (ISBN 2080666754)
Leopold Infeld, Le roman d'Évariste Galois, Éditions La Farandole, 1978, 364 p. (traduit de Whom the Gods Love, 1957)
Caroline Ehrhardt, Évariste Galois. La fabrication d’une icône mathématique, EHESS, 20 octobre 2011, (ISBN 978-2713223174)
Norbert Verdier, « Galois, le mathématicien maudit », Ed. Belin, Paris, 2011.

Articles

Caroline Ehrhardt, « Évariste Galois, un candidat à l'École préparatoire en 1829 », dans Revue d'histoire des mathématiques, 2008, n^o 14, fasc. 2, p. 289-328, disponible en ligne sur le site du CNRS.
Norbert Verdier, « Évariste Galois, le mathématicien maudit », Les génies de la science, Pour la Science, n^o 14, 2003
René Taton, « Les relations d'Évariste Galois avec les mathématiciens de son temps », Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, vol. 1, n^o 2, 1947, p. 114-130 [texte intégral]
Carlos Alberto Infantozzi, « Sur la mort d'Évariste Galois », Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, vol. 21, n^o 2, 1968, p. 157-160 [texte intégral]
René Taton, « Sur les relations scientifiques d'Augustin Cauchy et d'Évariste Galois », Revue d'histoire des sciences, vol. 24, n^o 2, 1971, p. 123-148 [texte intégral]
René Taton, « Évariste Galois et ses contemporains », APMEP, Présence d'Évariste Galois 1811-1831, vol. 48, 1982, p. 5-39
(en) René Taton, « Évariste Galois and his contemporaries », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 15, n^o 2, 1983, p. 107-118
Jean-Claude Caron, « La Société des Amis du Peuple », Revue de la Société des études romantiques et dix-neuvièmistes, vol. 10, n^o 28-29, 1980, p. 169-179 [texte intégral]
(en) Tony Rothman, Genius and Biographers: The Fictionalization of Évariste Galois, 1982, 84-106 p. [lire en ligne] (une autre version légèrement différente figure sur son site)
Anne-Gaëlle Weber et Andrea Albrecht, « Évariste Galois ou le roman du mathématicien », Revue d'histoire des mathématiques, vol. 17, 2011, p. 403-435
(en) Caroline Ehrhardt, « Évariste Galois and the Social Time of Mathematics », Revue d'histoire des mathématiques, vol. 17, 2011, p. 175-210
(en) Fiona Brunk, Galois' Commentator, janvier 2005, lire en ligne

Thèse

Caroline Ehrhardt, Évariste Galois et la théorie des groupes, fortune et réélaborations (1811-1910), 2007, thèse de doctorat en histoire des sciences, sous la direction d’Éric Brian (ENS, Paris, 2007)

Liens externes [modifier]

Éléments biographiques [modifier]

Histoire de Galois.
Les Archives Galois (biographie, lettres et textes dans différentes langues) par Bernard Klein.
Lettre de Galois "Sur l'enseignement des sciences"
Évariste Galois, mathématicien, humaniste et révolutionnaire.
Évariste Galois : enfance d'un génie malheureux & Vers une légende d'Évariste Galois par Aurélien Alvarez, maître de conférence à l'Université d'Orléans.
Il y a cent quarante ans: la mort de Galois par Aurélien Alvares et Michèle Audin, de l'IRMA à l'Université de Strasbourg (biographie canular et vraie réflexion sur l'inscription des découvertes de Galois dans l'histoire des mathématiques).
Le bicentenaire d’Évariste Galois (1811-1832) par Caroline Ehrhardt, Gazette de la SMF, p. 71 à 73, Paris, 29 juillet 2011.
Bicentenaire de la naissance d'Évariste Galois par l'Institut Henri Poincaré.
Le film "Évariste Galois" réalisé par Véronique Kleiner et Didier Deleskiewicz et produit par CNRS Images
Antoine Chambert-Loir, Évariste Galois, révolutionnaire et géomètre, conférence donnée le 11 octobre 2011 à l'Espace des sciences
Un dossier multimédia sur Évariste Galois par universcience.fr

Les théories de Galois [modifier]

Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, texte et analyse sur le site bibnum.
Théorème et corps de Galois par Serge Mehl, professeur de mathématiques retraité.
Galois Theory of algebraic equation par Jean-Pierre Tignol, World Scientific, Singapour, 2001.
Les correspondances de Galois par Emmanuel Vieillard Baron, agrégé de mathématiques.
Résolvantes produits par Annick Valibouze de l'université Pierre-et-Marie-Curie.
Théorie de Galois par Alain Kraus de l'université Pierre-et-Marie-Curie.
Un concept mathématique, trois notions : les groupes au XIX^e siècle chez Galois, Cayley, Dedekind par Caroline Ehrhardt.

Autres œuvres de Galois [modifier]

Le premier article de Galois, portant sur les fractions continues, texte et analyse sur le site BibNum.

Sur les autres projets Wikimedia :

Évariste Galois, sur Wikimedia Commons
Évariste Galois, sur Wikisource

Notes et références [modifier]

Notes

↑ c'est-à-dire que ses solutions peuvent être calculées par un nombre fini d'opérations simples sur ses coefficients. Par opérations simples, on entend l'extraction de racine, l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Le nom "résoluble par radicaux" vient de la première de ces opérations, les quatre autres étant triviales. L'extraction de racine utilise un symbole, $\sqrt{}$ , appelé "radical". "Résoluble par radicaux" signifie tout simplement qu'on utilise les opérations représentées par ce symbole.
↑ Actuelle avenue du général Leclerc, à l'entrée nord de la ville.
↑ L'expulsion des jésuites le 26 novembre 1764 avait fait prospérer des institutions scolaires nouvelles dès avant la Révolution. C'est dans ce contexte politique marqué qu'Évariste Galois est élevé.
↑ Cette classe recrutait des élèves de l'enseignement secondaire, alors centré davantage sur les humanités, selon leur niveau, pour leur proposer un enseignement en mathématiques.
↑ « Jamais il ne sait mal une leçon : ou il ne l'a pas apprise du tout ou il la sait bien » (Note 2^e tr. 1827, Dupuy, p. 255).
↑ Par son intermédiaire, Charles Hermite eut en main les copies d’Évariste Galois douze ans plus tard à l'époque où Joseph Liouville découvrait les inédits de celui-ci.
↑ Face au silence de la documentation à ce sujet, il faut croire que le conseil de M. Laborie de ne se consacrer qu'aux mathématiques était en fait une façon de renoncer à se présenter au baccalauréat. Sans une dérogation accordée par ce proviseur, l'élève n'aurait pas été admis en Math. Sup'. L'institution, loin d'être hostile, bornée ou négligente, a donc su, toute aussi dépassée qu'elle se sentit, se dérouter et proposer, ou du moins laisser s'imposer, une solution individuelle, l'entrée directe à Polytechnique. Non seulement elle y a mis ses moyens à disposition mais elle a rangé à son option, comme la note citée du proviseur le dit, la famille, qui devait elle aussi être un peu préoccupée.
↑ Le témoignage direct de ces scènes est celui de Léon Lalanne (Dupuy, opus cité, p. 27 (p. 198), note 1), condisciple de Galois dans la classe de Monsieur Richard. L'article rapportant ce témoignage dans le journal Le Magasin pittoresque est d'un autre normalien, Flauguergues (Dupuy, opus cité, p. 27 (p. 198)), qui fut auparavant camarade de classe de Galois à Louis-le-Grand (Dupuy, opus cité, p. 27 (p. 198), note 2).
↑ Plusieurs récits circulent sur cet examen. Selon le mathématicien Joseph Bertrand, l'examinateur à l'oral est Dinet, qui pose des questions classiques pour lesquelles il exige des réponses détaillées, type d'examen peu adapté à Galois, que les exercices trop scolaires impatientent : une légende raconte que Dinet lui ayant posé une question trop simple sur les logarithmes, Galois lui aurait jeté une éponge à la figure (Verdier 2003, p. 13-14).
↑ Selon Taton, Cauchy aurait porté un grand intérêt aux travaux de Galois (Taton 1971, p. 134) et l'aurait encouragé à écrire une nouvelle version de son mémoire, développant les contributions originales par rapport au travail d'Abel.(Taton 1971, p. 138)
↑ L'article de X. Caruso, sur le site de l'Institut Henri Poincaré, Les imaginaires de l'arithmétique présente un commentaire de ce travail.
↑ Taton cite Galois :« ...mais je dois dire comment les manuscrits s'égarent le plus souvent dans les cartons de MM. les membres de l'Institut quoiqu'en vérité je ne concoive pas une pareille insouciance de la part d'hommes qui ont sur la conscience la mort d'Abel »- (Taton 1971, p. 144-145) et Tannery, quant à lui, gêné par la violence des propos décide de n'en publier que des extraits (Tannery, Manuscrit d'Évariste Galois, p 17)
↑ L'article du Globe de juin 1832 est encore plus explicite : « …malgré tous ses efforts, il n'a trouvé que froideur ou dédain pour ses talents. Se voyant comprimé par l'ordre social, il s'est aigri, découragé, exaspéré (…), il a conçu une haine violente contre un régime où le hasard de la naissance condamne à l'oubli tant de facultés précieuses… » - cité dans Taton 1947, p. 119
↑ C'est à eux qu'est adressée une des lettres écrites par Galois la veille de sa mort
↑ Cette lettre est reproduite dans Dupuy, p. 46-47
↑ Le manuscrit remis par Évariste Galois était signé. C'est Antoine Guillard, qui omet la signature à l'impression.
↑ Si l'on en croit la lettre de Sophie Germain à Guglielmo Libri du 18 avril 1831, dans laquelle elle fait allusion a un comportement injurieux de Galois devant Libri.
↑ Il ne semble pas que ce programme ambitieux, annoncé par un mathématicien de moins de 19 ans, aurait pu être rempli, compte tenu de l'agitation politique intense de l'époque, dans laquelle Galois s'était lancé. Taton 1982, p. 6, note 20.
↑ On peut lire le chef d'accusation de ce procès dans Les Révolutions du XIX^e siècle, EDHIS, 1831, [lire en ligne], p. 1
↑ La seconde partie de la phrase est sujette à caution, d'après Dupuy, Galois ne l'aurait pas prononcée mais son avocat lui aurait demandé de l'ajouter pour diminuer l'effet régicide que donnait son toast.(Dupuy, p. 235-236)
↑ Poisson compare d'abord les résultats de Galois à ceux d'Abel sur le même sujet puis critique la nature des conditions de résolubilité des équations proposées ainsi que la rédaction non explicite du texte.
↑ « Nous avons fait tous nos efforts pour comprendre la démonstration de M. Galois. Ses raisonnements ne sont ni clairs, ni assez développés pour que nous ayons pu juger de leur exactitude »- (extrait du rapport du 4 juillet)
↑ « On peut attendre que l'auteur ait publié son travail en entier pour se former une opinion définitive »- (extrait du rapport du 4 juillet)
↑ L'illustration date de 1857. Les tenues et le mode opératoire étaient identiques en 1832 comme le montrent d'autres illustrations de l'époque.
↑ Ces étangs, alimentés par la Bièvre, étaient situés dans l'ancienne commune de Gentilly et actuel quartier de la Maison-Blanche
↑ Des informations sur ces trois hommes figurent dans Verdier 2003, p. 6.
↑ Les étapes de la reconnaissance de Galois sont le sujet de la thèse de Caroline Ehrardt, Évariste Galois et la théorie des groupes. Fortunes et réélaborations (1811-1910), École des hautes études en sciences sociales, 2007, 750 pages.

Références

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↑ (es) Mario Livio,La ecuación jamás resuelta: cómo dos genios matemáticos descubrieron el lenguaje de la simetría, Editorial Ariel, 2007, [lire en ligne], p. 318
↑ : Caroline Ehrhardt, « Retour sur un génie mathématicien », dans Continent sciences sur France Culture, 21 novembre 2011, minutes 9 à 11
↑ Dupuy, p. 203
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↑ Témoignage oral de son condisciple Léon Lalanne, transmis par son frère, Ludovic Lalanne (Dupuy, p. 206)
↑ Flauguergues, Le Magasin pittoresque (note), Paris, 1848 (Dupuy, p. 206)
↑ J.-L. Lagrange, Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés, Courcier, Paris, 1808, reéd. Bachelier succ. Courcier, Paris, 1826.
↑ J.-L. Lagrange, Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel dégagés de toute considération d'infiniment petits et d'évanouissans, de limites ou de fluxions et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies, Imprimerie de la République, Paris, 1797, reéd. Courcier, Paris, 1808, reéd. Bachelier, Paris, 1813.
↑ J.-L. Lagrange, Leçons sur le calcul des fonctions, Courcier, Paris, 1808.
↑ M. Laborie, Notes trimestrielles de Galois, 2^e trimestre, Archives du lycée Louis-le-Grand, Paris, 1827, (Dupuy, p. 255)
↑ Dupuy, p. 255
↑ M. Laborie, Notes trimestrielles de Galois, 1^er trimestre, Archives du lycée Louis-le-Grand, Paris, 1828, (Dupuy, p. 255)
↑ ^{a, b et c} Dupuy, p. 208
↑ M. Laborie, Notes trimestrielles de Galois, 2^e trimestre, Archives du lycée Louis-le-Grand, Paris, 1828, (Dupuy, p. 256)
↑ Flaubergues, Le magasin Pittoresque, 1848, [lire en ligne] p. 228
↑ Auguste Chevalier, Revue Encyclopédique, 1832, (Dupuy, p. 208)
↑ Jules Tannery, Manuscrit d'Évariste Galois, [lire en ligne] p. 24
↑ M. Richard, Notes trimestrielles de Galois, 1ème trimestre, Archives du lycée Louis-le-Grand, Paris, 1829, in Dupuy, opus cité, p. 33 (p. 257)
↑ Flauguergues, Le Magasin pittoresque, Paris, 1848, cité in Dupuy, p. 200
↑ P. Dupuy, p. 26, (p. 215). Source de l'auteur non précisée mais probablement la même que pour les autres témoignages directs, Léon Lalanne).
↑ ^{a et b} Taton 1971, p. 127
↑ Évariste Galois, Analyse algébrique. Démonstration d'un théorème sur les fraction continues périodiques sur le site NUMDAM
↑ Taton 1971, p. 128-129
↑ Dupuy, p. 209
↑ ^{a et b} Caroline Ehrhardt, Évariste Galois : La fabrication d’une icône mathématique, EHESS, 2011, 304 p. (ISBN 978-2-7132-2317-4)
↑ Taton 1982, p. 17.
↑ Dupuy, p. 27, (p. 213).
↑ Archives des Facultés de Lettres et de Sciences de l'Université de Paris consultées par Dupuy - (Dupuy, p. 214)
↑ M. Péclet, maître de conférence en physique, déclare, à l'issue de l'examen, « Je lui crois peu d’intelligence » et ajoute « je doute fort qu'on en fasse un bon enseignant ».(Dupuy, p. 215)
↑ Dupuy, p. 215
↑ ^{a et b} Dupuy, p. 217
↑ ^{a, b et c} Dupuy, p. 221
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↑ Bulletin des sciences mathématiques, physique et chimiques, tome XIII, [lire en ligne] Table des articles du cahier de juin 1830
↑ Bulletin des sciences mathématiques, physique et chimiques, tome XIII, [lire en ligne] n^o 216
↑ Bulletin des sciences mathématiques, physique et chimiques, tome XIII, [lire en ligne] n^o 218
↑ Procès verbaux des séances de l'Académie depuis la fondation de l'Institut jusqu'au mois d'août 1835, t. IX, Imprimerie de l'Observatoire d'Abbadia, Hendaye (France), 1921.
↑ Taton 1971, p. 141
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↑ Jean-Victor Schnetz, huile sur toile, Petit Palais, Paris.
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↑ Caron 1980, p. 171
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↑ Astruc 1994, p. 92
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↑ S; Germain, Lettre à Guglielmo Libri, 18 avril 1831.
↑ Une version numérique de cette lettre est accessible sur le site de l'Université de Paris-Sud
↑ Dumas 1884, p. 159
↑ Astruc 1994, p. 118
↑ ^{a et b} Dumas 1884, p. 167
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↑ Lettre de Galois à Auguste Chevalier de Ste Pélagie, Revue encyclopédique, [lire en ligne], p. 750
↑ Dupuy, p. 236
↑ Astruc 1994, p. 129-130
↑ Le rapport figure in extenso chez Taton 1947, p. 120-122
↑ Dupuy, p. 238
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↑ Gérard de Nerval, Œuvres complètes, Michel Lévy frères, libraires-éditeurs, 1868, Tome 5, Mes prisons, p. 323
↑ Raspail 1839, p. 84 et p. 88-91
↑ Raspail 1839, p. 113-127 et plus précisément p. 118
↑ Taton 1947, p. 128
↑ Caroline Ehrhardt, Le mémoire d'Évariste Galois sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux (1831), sur le site bibnum, p. 1
↑ Infantozzi 1968, p. 158 ainsi que la note 1
↑ Astruc 1994, p. 175
↑ Dupuy, p. 247
↑ Lettre de Galois à N. L. et V.D. du 29 mai 1832 - (Dupuy, p. 249)
↑ Lettre de Galois à tous les républicains, 28 mai 1832 -(Dupuy, p. 249)
↑ Dupuy, p. 250
↑ Évariste Galois, Écrits et mémoires mathématiques. Édition critique intégrale de ses manuscrit et publication par Robert Bourgne et J-P Azra, Paris, 1962
↑ Voir Norbert Verdier, Évariste Galois, mathématicien maudit, ..., p. 29-31.
↑ Infantozzi 1968, p. 160
↑ Cité par Alexandre Dumas dans ses mémoires T.8, chap. CCIV, p.161
↑ André Dalmas, Évariste Galois révolutionniare et géomètre, Paris, 1956
↑ Taton Rene. André Dalmas, Évariste Galois révolutionnaire et géomètre, Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, 1957, vol. 10, n^o 2, p. 184-187.- page 186
↑ Dupuy, p. 246.
↑ Dupuy, p. 247
↑ voir Rothman 1982, p. 84 ou Weber et Albrecht 2011, p. 417
↑ ^{a et b} Lettre d'Évariste Galois à Auguste Chevalier du 29 mai 1832, publié en septembre 1832 dans la revue encyclopédique, tome LV, [lire en ligne], p. 568.
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↑ Verdier 2003, p. 31-32
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↑ Fiona Brunk, Galois' Commentator
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↑ E. Galois, Fragment I in J. Tannery, Manuscrits et écrits inédits de Galois, in Bulletin des Sciences mathématiques, 2^e série, t. XXX et XXXI, p. 43, Paris, Gauthier-Villars, 1906-1907.
↑ H. Pautrat, Faculté de mathématiques de l'UPMC, Paris, 2011 Cours d'algèbre de premier semestre de troisième année.
↑ Bourgne et Azra 1962
↑ Taton 1982, p. 18
↑ Vahé Ter Minassian, « Le bel héritage d’Évariste Galois », dans Journal du CNRS, octobre 2011, p. 36
↑ (en) C. Goldstein, « Charles Hermite's Stroll through the Galois Fields », dans Revue d'histoire des mathématiques, n^o 17, fasc. 2, 2011, p. 211-270
↑ D. Hilbert, trad. L. Laugel, « Problèmes futurs des mathématiques », dans Compte rendu du deuxième Congrès international des mathématiciens tenu à Paris du 6 au 12 août 1900, Paris, Gauthier-Villars, 1902, p. 78
↑ (en) M. A. Akivis et B. A. Rozenfeld, Élie Cartan (1869-1951), AMS, 1993, p. 37
↑ ^{a et b} C. Jordan, Traité des substitutions et équations algébriques, Paris, Gauthier-Villars, 1870
↑ F. Brechenmacher, « La controverse de 1874 entre Camille Jordan et Leopold Kronecker », dans Revue d'Histoire des Mathématiques, n^o 13, fascicule II, 2007, p. 218
↑ E. Vessiot, « Sur la théorie de Galois et ses divereses généralisations », dans Annales scientifiques de l'ENS, 3^e série, t. XXI, 1904, p. 9-85
↑ Voir par exemple l'article rédigé par Auguste Chevalier dans la Revue encyclopédique en septembre 1832 ; voir René Taton, Évariste Galois et ses biographes. De l'histoire aux légendes, Sciences et techniques en perspective 26, 1993, p. 155-172.
↑ Traduction libre de : « Several works and a film have been devoted to the man himself which, while mixing fiction and romance with fact, have turned him into the prototype of the misunderstood and persecuted romantic hero. », Taton 1983
↑ Traduction libre de : « His feelings of revolt against all symbols of political power. », Taton 1983
↑ Traduction libre de : « deeply disgusted by what he considered to be new proof of the incompetence of the leading scientific circles and of their hostility to himself », Taton 1983
↑ Tony Rothman, Un météore des mathématiques, Évariste Galois, Pour la Science, n^o 56, (juin 1982), p. 80-90
↑ « Évariste Galois : mourir à vingt ans ; autopsie d'un génie », Le vif du sujet, émission de France Culture, 29 mars 2005. Présentation de cette émission sur le site de France culture et résumé de l'émission.
↑ Évariste Galois, sur Archives de France.
↑ Parlons d’Évariste Galois !, sur Bicentenaire de la naissance d'Évariste Galois (1811-2011).
↑ Évariste Galois, sur université d'Artois
↑ Exposition à la bibliothèque de l’IHP, sur Bicentenaire de la naissance d'Évariste Galois (1811-2011).
↑ Exposition Évariste Galois : un mathématicien dans l’histoire, sur Science.gouv.fr.

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