Groupe orthogonal

En mathématiques, le groupe orthogonal d'une forme quadratique q sur un espace vectoriel E sur un corps commutatif K est le sous-groupe de éléments du groupe linéaire GL(E) de E qui laissent invariantes la q: q(f(x)) = q(x) pour tout vecteur x de E. La loi decomposition de ce groupe est la composition des applications.

Dans cet article K désigne un corps commutatif et E un espace vectoriel de dimension finie non nulle n sur K et q désigne une forme quadratique non dégénérée sur E.

[modifier] Généralités

L'ensemble des éléments f du groupe linéaire GL(E) de E tels que q(f(x)) = q(x) pour tout vecteur x de E est un groupe pour la composition des applications. On l'appelle groupe orthogonal de q et on le note O(q) ou O(E, q).

Exemple. Un cas important est celui de la forme quadratique suivante (en supposant que la caractéritistique de K est différente de 2): E = Kⁿ, et q est la forme quadratique canonique:

Le groupe orthogonal correspondant, noté O(n,K) ou O_n(K). Il est appelé groupe orthogonal standard de degré n sur K. Il s'identifie canoniquement au groupe des matrices orthogonales. Une matrice M est donc orthogonale si et seulement si ^tMM = I_n, où ^tM est la matrice transposée de M. Sa multiplication est multiplication matricielle. C'est un sous-groupe du groupe général linéaire GL(n,K).

Le déterminant de tout élément de O(q) est égal à 1 ou à -1.

Si la caractéritisque de K est différente de 2, l'ensemble O(q) ∩ SL(E) des éléments de O(q) dont le déterminant est 1 est un sous-groupe de O(q), que l'on l'appelle groupe spécial orthogonal de q et on le note SO(q) ou SO(E, q). Dans le cas de l'exemple vu plus, on le note aussi SO(n, K) ou SO_n(K). Donc SO(n, K) est le groupe des matrices orthogonales d'ordre n dont le déterminant est 1. SO(q) est un sous-groupe d'indice 2 de O(q), et donc SO(n, K) est un sous-groupe d'indice 2 de O(n, K).

En caractéristique 2, le déterminant de tout élément de O(q) est 1, et la définition du groupe spécial orthogonal est alors toute autre.

Les O(q) et, si la caractéristique de K est différente de 2, les SO(q) sont des groupes algébriques: si K est un corps infini, il est un fermé de GL(E) pour la topologie de Zariski. Dans le cas des groupes O(n, K) et SO(n, K), il suffit d'observer que c'est l'ensemble l'ensemble des zéros de l'application polynomiale M M^tM - I_n de M_n(K) (espace des matrices carrées) dans lui-même.

[modifier] Groupes orthogonaux réels et complexes

[modifier] Groupe orthogonaux euclidiens

Dans cet section on suppose que K est le corps R des nombres réels.

Si q est définie positive, alors O(q) et SO(q) sont isomorphes à O(n, R) et SO(n, R). On les note O(n) et SO(n).

Géométriquement, O(n) est le groupe des isométries euclidiennes de Rⁿ qui préservent l'origine (ou, ce qui est équivalent, appartiennent à GL(n, R)), SO(n) son sous-groupe des éléments qui préservent l'orientation (isométries directes).

SO(2) est isomorphe (en tant que groupe de Lie, voir plus loin) au cercle S¹, formé des nombres complexes de module 1, muni de la multiplication. Cet isomorphisme lie le nombre complexe e^it = cos t + i sin t à la matrice orthogonale

.

Le groupe SO(3) est souvent appelé groupe des rotations (vectorielles) dans l'espace (tridimensionnel).

Sur O(n) et SO(n) on considère la topologie induite par celle de M_n(R) ≅ Rⁿ². Pour cette topologie, O(n) et SO(n) sont des groupes topologiques. O(n) (et SO(n)) est compact. En effet, il est borné (tous les endomorphismes orthogonaux sont unitaires) et fermé car c'est l'image réciproque du singleton identité par l'application continue M M^tM. Le groupe SO(n) est connexe, le groupe O(n) a deux composantes connexes, et sa composante neutre est SO(n).

En termes de topologie algébrique, pour n > 2, le groupe fondamental de SO(n) est un groupe cyclique d’ordre 2 et le Spin(n) est son revêtement universel. Pour n=2, le groupe fondamental est le groupe cyclique infini et son revêtement universel correspond à la droite des réels.

Les groupes O(n) et SO(n) sont des sous-groupes de Lie de GL(n, R), et donc des groupes de Lie réels. Leurs dimensions sont égales à .

L’algèbre de Lie associée aux groupes de Lie O(n) et SO(n) est formée des matrices carrées d'ordre n qui sont antisymétriques. Elle est généralement notée (n) ou (n).

[modifier] Groupe orthogonaux réels généraux

[modifier] Groupes orthogonaux complexes

Si K est le corps C des nombres complexes, alors O(q) et SO(q) sont isomorphes à O(n, C) et SO(n, C).

De manière analogue aux groupes orthogonaux euclidiens (voir plus haut, en remplaçant R par C), O(n, C) et SO(n, C) ont une topologie canonique. Pour cette topologie (si n ≥ 2), O(n, C) et O(n, C) ne sont pas compacts, mais O(n) et SO(n) sont des sous-groupes compacts maximaux de ces groupes. Si n = 1, ces groupes ne sont pas compacts. SO(n, C) est connexe, O(n, C) a deux composantes connexes, et sa composante neutre est SO(n, C).

Pour n > 2, le groupe fondamental de SO(n, C) est cyclique d’ordre 2, et le revêtement universel de SO(n, C) est le groupe spinoriel complexe Spin(n, C). Le groupe fondamental de SO(2, C) est monogène infini, et le revêtement universel de SO(n, C) est isomorphe à C.

Les groupes O(n, C)) et SO(n, C)) sont des sous-groupes de Lie de GL(n, C), et donc des groupes de Lie complexes. Leurs dimensions (sur C) sont égales à .

L’algèbre de Lie associée aux groupes de Lie O(n, C) et SO(n, C) est formée des matrices complexes carrées d'ordre n qui sont antisymétriques. Elle est généralement notée (n, C) ou (n, C).

[modifier] Groupes orthogonaux réels et complexes, intrinsèquement

On suppose que K est le corps R des nombres réels ou le corps C des nombres complexes.

Le O(q) et SO(q) étant des parties du K-espace vectoriel End_K(E), on considère sur O(q) et SO(q) les topologies induites sur O(q) et SO(q) par celle de End_K(E) (il est isomorphe à Kⁿ²).

SO(q) est un sous-groupe ouvert de O(q). Si K = C, ou si K = R et si q est définie positive ou négative, alors SO(q) est connexe et est la composante neutre de O(q). Si K = R et si q est indéfini, alors SO(q) est non connexe et sa composante neutre SO₀(q) est un sous-groupe d'indice 2 de SO(q) et un sous-groupe d'indice 4 de O(q) (O(q)/SO₀(q) est isomorphe au groupe de Klein Z/2Z × Z/2Z).

Le groupe linéaire GL(E) étant un groupe de Lie sur K, O(q) et SO(q) sont des sous-groupes de Lie de GL(E) (et ils sont fermés dans GL(E), et sont ddonc des groupes de Lie sur K. Les dimensions de O(q) et SO(q) sur K sont égales à .

Si on note φ la forme bilinéaire symétrique associée à q, alors l'ensemble des endomorphisme f de E tels que φ(f(x), y) + φ(x, f(x)) = 0 est une sous-K-algèbre de Lie de la K-algèbre de Lie (E), et elle s'identifie canoniquement aux algèbre de Lie de O(q) et SO(q). On la note (q) ou (q),

Le groupe spinoriel Spin(q) est un sous-groupe de Lie du groupe des éléments inversibles Cl⁰(q), Spin(q) est un groupe de Lie sur K. De plus Spin(q) est un revêtement à deux feuillets de SO(q) si K = C, et de la composante neutre SO₀(q) de SO(q) si K = R. L'algèbre de Lie de Spin(q) s'identifie canoniquement à (q).

[modifier] Propriétés des groupes orthogonaux sur un corps commutatif

[modifier] Propriétés générales

[modifier] Géométrie des groupes orthogonaux

[modifier] Structure des groupes orthogonaux

[modifier] Groupes orthogonaux finis

[modifier] Groupes orthogonaux sur des corps non commutatifs

[modifier] Groupes orthogonaux quaternioniens

[modifier] Cas général

[modifier] Voir aussi

• Rotation vectorielle
• Matrice de rotation
• Groupe orthogonal projectif (en)