Homéomorphisme

Une tasse est homéomorphe à un tore.

En topologie, un homéomorphisme est une application bijective continue entre deux espaces topologiques dont la réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes.

La notion d'homéomorphisme est la bonne notion pour dire que deux espaces topologiques sont « le même Â» vu différemment. C'est la raison pour laquelle les homéomorphismes sont les isomorphismes de la catégorie des espaces topologiques.

En général, une application continue bijective n'a aucune raison d'avoir un inverse continu. Par exemple, l'application

est une bijection continue mais sa réciproque n'est pas continue en (1,0). En fait, il n'existe aucun homéomorphisme entre le cercle S¹ et un intervalle (par des arguments de connexité ou de simple connexité).

• Une bijection continue ouverte ou fermée est un homéomorphisme.
• Soient K un espace topologique compact, E un espace topologique séparé, et f : K → E une bijection continue. Alors f est un homéomorphisme. En particulier, E est un compact.

En effet, toute partie fermée de K est un compact ; comme E est séparé, l'image par f d'une partie fermée de K est un compact, a fortiori une partie fermée de E. Donc, f est une application continue bijective fermée, i.e. un homéomorphisme par le point précédent.

[modifier] Définition

Une application f : X → Y est un homéomorphisme local (en) si tout point de X possède un voisinage ouvert V tel que f(V) soit ouvert dans Y et que f donne un homéomorphisme de V sur f(V).

[modifier] Propriétés topologiques

Une propriété topologique est une propriété qui est invariante par homéomorphismes.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

• Théorème de la bijection
• Morphisme
• Difféomorphisme
• Isomorphisme
• Systèmes dynamiques
• Théorème de l'invariance du domaine
• Propriété locale

[modifier] Lien externe

Homéomorphisme du plan sur un carré : animation sur GeoGebra accompagnée d'un exercice