Homomorphisme : encyclopédie mathématiques
Cet article est issu de l'encyclopédie libre Wikipedia.En mathématiques, un morphisme ou homomorphisme est une application entre deux ensembles munis d'une même espèce de structure, qui respecte cette structure. Cette notion de morphismes est fondamentale en mathématique. Elle permet de comparer et de relier les objets mathématiques entre eux.
La notion de morphisme est un des concepts de base de la théorie des catégories, où on lui donne un sens bien plus large. Ainsi, un morphisme n'est pas forcément une application, c'est juste une flèche reliant deux objets qui ne sont pas forcément des ensembles : la flèche peut relier deux structures d'une même espèce, par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels.
Les morphismes ont des applications particulièrement importantes en physique moderne, en particulier la mécanique quantique.
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Si on est dans le cas de deux groupes et
, cette définition se précise de la façon suivante : un morphisme
, vérifie :
Soient deux anneaux (unitaires) A et B, leurs opérations et neutre multiplicatif respectifs étant notés + A, * A et 1A (respectivement + B, * B et 1B). Un morphisme f de A vers B est une application qui vérifie les trois conditions :
Dans le cas de deux -espaces vectoriels (E, + ,.) et
, un morphisme vérifie :
Ce qui est équivalent à :
On parle alors d'application linéaire.
Dans le cas de deux -algèbres unifères
et
, un morphisme vérifie :
ce qui est équivalent à :
Un morphisme entre deux ensembles ordonnés est une application croissante (une application qui préserve l'ordre) :
Si ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) sont des ensembles ordonnés et f est une application de A dans B, f est un morphisme si pour tout x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y).
En théorie des ordres, on dit souvent fonction monotone au lieu de fonction croissante ou décroissante.
Un morphisme entre deux espaces topologiques est tout simplement une application continue. Dans le cadre topologique, le mot morphisme n'est pas utilisé, mais c'est le même concept.
Exemple : l'identité d'un ensemble est toujours un automorphisme, quelle que soit la structure considérée.
On dit que les ensembles E et F, munis du même type de structure algébrique, sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de E sur F.
Savoir que deux ensembles avec leur structure algébrique sont isomorphes présente un grand intérêt car cela permet de transposer des résultats et propriétés démontrés de l'un à l'autre.
Exemple : le groupe de Klein est isomorphe à .
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