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Homomorphisme



Homomorphisme : encyclopédie mathématiques

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En mathĂ©matiques, le terme « morphisme Â» dĂ©signe une notion fondamentale permettant de comparer et de relier des objets mathĂ©matiques entre eux. Il peut avoir deux sens.

1) En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe, qui respecte certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.

2) En thĂ©orie des catĂ©gories, la notion de morphisme est un des concepts de base. On lui donne un sens plus large qu'en algèbre gĂ©nĂ©rale. Un morphisme n'est pas forcĂ©ment une application : c'est une flèche reliant deux objets qui ne sont pas forcĂ©ment des ensembles. La flèche peut relier deux structures d'une mĂŞme espèce, par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels.

Les morphismes ont des applications importantes en physique, en particulier en mécanique quantique.

DĂ©finitions[modifier | modifier le code]

Cas général (théorie des modèles)[modifier | modifier le code]

Soient \mathcal M et \mathcal N deux \mathcal L- structures d'ensembles respectifs M et N.
m une application de M dans N.
m est un morphisme si et seulement si :

  • Pour toute constante c \in \mathcal L on a m(c^{\mathcal M})=c^{\mathcal N}
  • Pour toute fonction n-aire f \in \mathcal L et pour tout (a_i)_i \in M^n on a m(f^{\mathcal M}(a_i)_i )=f^{\mathcal N}(m(a_i))_i
  • Pour toute relation n-aire R \in \mathcal L et pour tout (a_i)_i  \in M^n, si (a_i)_i \in R^{\mathcal M} alors (m(a_i))_i  \in R^{\mathcal N}

Avec c^{\mathcal N} désignant le symbole c dans la structure \mathcal N.

Cas des groupes[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Morphisme de groupes.

Dans la catĂ©gorie des groupes, un morphisme est une application f : (G, *) \longrightarrow (G', \star)\,, entre deux groupes (G, *)\, et (G', \star)\,, qui vĂ©rifie :

  • \forall (g,h) \in G^2,~ f(g * h) = f(g) \star f(h).

Cas des anneaux[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Morphisme d'anneaux.

Dans la catĂ©gorie des anneaux, un morphisme est une application f:A\to B entre deux anneaux (unitaires), qui vĂ©rifie les trois conditions :

  • \forall a, b \in A,~ f(a +_A b) = f(a) +_B f(b),
  • \forall a, b \in A,~ f(a *_A b) = f(a) *_B f(b),
  • f\left(1_A\right)=1_{B},

dans lesquelles +_A, *_A et 1_A (respectivement +_B, *_B et 1_B) désignent les opérations et neutre multiplicatif respectifs des deux anneaux A et B.

Cas des espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Application linĂ©aire.

Dans la catĂ©gorie des espaces vectoriels (en) sur un corps K fixĂ©, un morphisme est une application f:E\to F, entre deux K-espaces vectoriels (E,+,.) et (F,\dot{+},.), qui est linĂ©aire c'est-Ă -dire qui vĂ©rifie :

  • f est un morphisme de groupes de (E,+) dans (F,\dot{+}),
  • \forall x\in E ,~ \forall \lambda\in K,~  f(\lambda . x ) = \lambda . f(x),

ce qui est Ă©quivalent Ă  :

\forall (x,y)\in E \times E ,~ \forall \lambda \in K,~ f(\lambda . x + y) = \lambda . f(x) \dot{+} f(y).

Cas des algèbres[modifier | modifier le code]

Dans le cas de deux K-algèbres unifères (A, +, \times, .) et (B, \dot{+}, \dot{\times}, .), un morphisme vĂ©rifie :

  • f est une application linĂ©aire de A dans B,
  • f est un morphisme d’anneaux ;

ce qui est Ă©quivalent Ă  :

  • f(1_A)=1_B,
  • \forall (x,y)\in A^2,~\forall (\lambda,\mu) \in K^2,~ f(\lambda .x + \mu .y)  = \lambda .f(x) \dot{+} \mu .f(y),
  • \forall (x,y)\in A^2,~ f(x\times y) = f(x)\dot{\times} f(y).

Cas des ensembles ordonnés[modifier | modifier le code]

Un morphisme entre deux ensembles ordonnĂ©s est une application croissante (une application qui prĂ©serve l'ordre) :

Si ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) sont des ensembles ordonnés et f est une application de A dans B, f est un morphisme si pour tout x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y).

En théorie des ordres, on dit souvent fonction monotone au lieu de fonction croissante ou décroissante.

Cas des espaces topologiques[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Application continue.

Dans la catĂ©gorie des espaces topologiques, un morphisme est simplement une application continue entre deux espaces topologiques. Dans le cadre topologique, le mot « morphisme Â» n'est pas utilisĂ©, mais c'est le mĂŞme concept.

Classement[modifier | modifier le code]

  • un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-mĂŞme ;
  • un isomorphisme est un morphisme f entre deux ensembles munis de la mĂŞme espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme f' dans le sens inverse, tels que f\circ f' et f'\circ f sont les identitĂ©s des structures ;
  • un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-mĂŞme ;
  • un Ă©pimorphisme (ou morphisme Ă©pique) est un morphisme f : A\to B tel que : pour tout couple g,h de morphismes de type B\to E (et donc aussi pour tout E), si g\circ f=h\circ f, alors g = h ;
  • un monomorphisme (ou morphisme monique) est un morphisme f : A\to B tel que : pour tout couple g,h de morphismes de type E\to A (et donc aussi pour tout E), si f\circ g=f\circ h, alors g = h.

Exemple : l'identitĂ© d'un ensemble est toujours un automorphisme, quelle que soit la structure considĂ©rĂ©e.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

  • Cryptomorphisme
  • Morphisme de graphes
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