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Homomorphisme



Homomorphisme : encyclopédie mathématiques

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En mathĂ©matiques, le terme « morphisme Â» dĂ©signe une notion fondamentale permettant de comparer et de relier des objets mathĂ©matiques entre eux. En algèbre gĂ©nĂ©rale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algĂ©briques de mĂŞme espèce, c'est-Ă -dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respecte certaines propriĂ©tĂ©s en passant d'une structure Ă  l'autre. Plus gĂ©nĂ©ralement, la notion de morphisme est un des concepts de base en thĂ©orie des catĂ©gories ; ce n'est alors pas forcĂ©ment une application, mais une « flèche Â» reliant deux « objets Â» ou « structures Â» qui ne sont pas forcĂ©ment des ensembles.

Les morphismes ont des applications importantes en physique, en particulier en mécanique quantique.

DĂ©finitions[modifier | modifier le code]

Cas général (théorie des modèles)[modifier | modifier le code]

Soient \mathcal M et \mathcal N deux \mathcal L-structures d'ensembles respectifs M et N. Un morphisme de \mathcal M dans \mathcal N est une application m de M dans N telle que :

  • pour toute fonction n-aire f \in \mathcal L et pour tout (a_i)_i \in M^n on a m(f^{\mathcal M}(a_i)_i )=f^{\mathcal N}(m(a_i))_i (y compris pour n = 0, qui correspond au cas des constantes) ;
  • pour toute relation n-aire R \in \mathcal L et pour tout (a_i)_i  \in M^n, si (a_i)_i \in R^{\mathcal M} alors (m(a_i))_i  \in R^{\mathcal N}

avec c^{\mathcal N} désignant le symbole c dans la structure \mathcal N.

Cas des groupes[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Morphisme de groupes.

Dans la catĂ©gorie des groupes, un morphisme est une application f : (G, *) \longrightarrow (G', \star)\,, entre deux groupes (G, *)\, et (G', \star)\,, qui vĂ©rifie :

  • \forall (g,h) \in G^2,~ f(g * h) = f(g) \star f(h).

Cas des anneaux[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Morphisme d'anneaux.

Dans la catĂ©gorie des anneaux, un morphisme est une application f:A\to B entre deux anneaux (unitaires), qui vĂ©rifie les trois conditions :

  • \forall a, b \in A,~ f(a +_A b) = f(a) +_B f(b),
  • \forall a, b \in A,~ f(a *_A b) = f(a) *_B f(b),
  • f\left(1_A\right)=1_{B},

dans lesquelles +_A, *_A et 1_A (respectivement +_B, *_B et 1_B) désignent les opérations et neutre multiplicatif respectifs des deux anneaux A et B.

Cas des espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Application linĂ©aire.

Dans la catĂ©gorie des espaces vectoriels (en) sur un corps K fixĂ©, un morphisme est une application f:E\to F, entre deux K-espaces vectoriels (E,+,.) et (F,\dot{+},.), qui est linĂ©aire c'est-Ă -dire qui vĂ©rifie :

  • f est un morphisme de groupes de (E,+) dans (F,\dot{+}),
  • \forall x\in E ,~ \forall \lambda\in K,~  f(\lambda . x ) = \lambda . f(x),

ce qui est Ă©quivalent Ă  :

\forall (x,y)\in E \times E ,~ \forall \lambda \in K,~ f(\lambda . x + y) = \lambda . f(x) \dot{+} f(y).

Cas des algèbres[modifier | modifier le code]

Dans le cas de deux K-algèbres unifères (A, +, \times, .) et (B, \dot{+}, \dot{\times}, .), un morphisme vĂ©rifie :

  • f est une application linĂ©aire de A dans B,
  • f est un morphisme d’anneaux ;

ce qui est Ă©quivalent Ă  :

  • f(1_A)=1_B,
  • \forall (x,y)\in A^2,~\forall (\lambda,\mu) \in K^2,~ f(\lambda .x + \mu .y)  = \lambda .f(x) \dot{+} \mu .f(y),
  • \forall (x,y)\in A^2,~ f(x\times y) = f(x)\dot{\times} f(y).

Cas des ensembles ordonnés[modifier | modifier le code]

Un morphisme entre deux ensembles ordonnĂ©s ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) est une application f de A dans B croissante (qui prĂ©serve l'ordre), c'est-Ă -dire qui vĂ©rifie : pour tous x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y).

Cas des espaces topologiques[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Application continue.

Dans la catĂ©gorie des espaces topologiques, un morphisme est simplement une application continue entre deux espaces topologiques. Dans le cadre topologique, le mot « morphisme Â» n'est pas utilisĂ©, mais c'est le mĂŞme concept.

Classement[modifier | modifier le code]

  • un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-mĂŞme ;
  • un isomorphisme est un morphisme f entre deux ensembles munis de la mĂŞme espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme f' dans le sens inverse, tels que f\circ f' et f'\circ f sont les identitĂ©s des structures ;
  • un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-mĂŞme ;
  • un Ă©pimorphisme (ou morphisme Ă©pique) est un morphisme f : A\to B tel que : pour tout couple g,h de morphismes de type B\to E (et donc aussi pour tout E), si g\circ f=h\circ f, alors g = h ;
  • un monomorphisme (ou morphisme monique) est un morphisme f : A\to B tel que : pour tout couple g,h de morphismes de type E\to A (et donc aussi pour tout E), si f\circ g=f\circ h, alors g = h.

Exemple : l'identitĂ© d'un ensemble est toujours un automorphisme, quelle que soit la structure considĂ©rĂ©e.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

  • Cryptomorphisme
  • Morphisme de graphes
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