Identité d'Euler (encyclopédie mathématiques)

En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation mathématique, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler.

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

où $\ e$ est la base du logarithme népérien, $\ i$ est l'unité des imaginaires purs (vérifiant $\ i^2=-1$ ) et $\ \pi$ est la constante d'Archimède (le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre).

L'identité apparaît dans le livre Introductio de Leonhard Euler, publié à Lausanne en 1748.

Cette formule est un cas particulier de la formule d'Euler en analyse complexe : pour tout nombre réel $\ x$ , $\ e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$ , qui est vrai en particulier pour $\ x = \pi$ (or $\ \cos(\pi) = -1$ et $\ \sin(\pi) = 0$ ).

[modifier] Démonstration

Juxtaposition de 8 triangles rectangles
Juxtaposition de 16 triangles rectangles
Illustration du résultat

L'interprétation géométrique qui fournit une piste de démonstration par une suite est basée sur la juxtaposition de triangles rectangles.

$\forall z\,\in\mathbb{C} \quad e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{z}{n}\right)^n$

Or les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées $\left(1 + \dfrac{i\pi}{N}\right)^N$ est obtenu en juxtaposant N triangles rectangles.

[modifier] Notes et références

[modifier] Voir aussi

Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables), un résultat d'Euler d'analyse à plusieurs variables.

v · d · m Nombre e
Applications	Intérêts composés · Identité d'Euler · Formule d'Euler · Demi-vie · Croissance exponentielle · Décroissance exponentielle
Définitions	Démonstration de l'irrationalité de e · Représentations de e · Théorème d'Hermite-Lindemann
Personnes	John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler

Identité d'Euler

[modifier] Démonstration

[modifier] Notes et références

[modifier] Voir aussi

Rechercher

Menu

Espace membre

Changer d'île