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Image directe : encyclopédie mathématiques

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L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application f:X\rightarrow Y est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont, par f, au moins un antécédent appartenant à A :

f(A) = \{f(x) / x \in A\}=\{y \in Y / \exists a \in A, y=f(a)\}.

[modifier] Exemples

  • On définit en particulier l'image d'une application f définie sur X :
Im(f) = f(X).
  • On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie A de X, avec l'image par f d'un élément x de X, ou avec l'image de l'application f.
  • Considérons l'application {}^{f:\{1, 2, 3\}\to\{a, b, c, d\}} définie par {}^{1\mapsto a,~2\mapsto c,~3\mapsto d.} L'image directe de {2,3} par f est f({2,3})={c,d} tandis que l'image de f est {a,c,d}.

[modifier] Propriétés élémentaires

  • Pour toutes parties A1 et A2 de X,
 f\left(A_1 \cup A_2\right) = f(A_1) \cup f(A_2).
Plus généralement, pour toute famille \left(A_i\right)_{i\in I} de parties de X,
f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)= \bigcup_{i\in I}f(A_i).
  • Pour toutes parties A1 et A2 de X,
 f\left(A_1 \cap A_2\right) \subset f(A_1) \cap f(A_2).
L'inclusion dans l'autre sens est fausse si f n'est pas injective. Considérons par exemple une application f constante (Im(f) = {c}) sur un ensemble possédant au moins deux parties disjointes non vides, A1 et A2. Alors {}^{f\left(A_1 \cap A_2\right)=f(\varnothing)=\varnothing}, tandis que {}^{f(A_1)\cap f(A_2)=\{c\}\cap\{c\}=\{c\}}.
Plus généralement, pour toute famille non vide \left(A_i\right)_{i\in I} de parties de X,
f\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\subset \bigcap_{i\in I}f(A_i).
  • Pour toute partie B de Y,
f(f^{-1}(B))=B\cap\mathrm{Im}(f)

.

En particulier si f est surjective alors f(f − 1(B)) = B.
  • Pour toute partie A de X,
A\subset f^{-1}(f(A)).
En effet, {}^{x\in A\Rightarrow f(x)\in f(A)\Leftrightarrow x\in f^{-1}(f(A))}. En général on a seulement une inclusion et pas une égalité, car la réciproque de la première implication est fausse si f n'est pas injective.

[modifier] Articles connexes

  • Image réciproque
  • Théorie des ensembles
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