Image directe

Image directe : encyclopédie mathématique

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L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application $f:X\rightarrow Y$ est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont au moins un antécédent par f d'un élément de A :

$f(A) = \{f(x) / x \in A\}$ ,

ou $f(A) = \{y \in Y / \exists a \in A, y=f(a)\}$ .

Si A=X, alors f(X) est appelée l'image de (l'application) f.

On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie de X, avec l'image par f d'un élément x de X.

Exemple : Considérons l'application $f:\{1, 2, 3\}\rightarrow \{a, b, c, d\}$ , définie par

$1\mapsto a, \quad 2\mapsto c, \quad 3\mapsto d$

L'image directe de {2,3} par f est f({2,3})={c,d} tandis que l'image de f est {a,c,d}.

[modifier] Propriétés élémentaires

Pour toutes parties A₁ et A₂ de X,

$f\left(A_1 \cup A_2\right) = f(A_1) \cup f(A_2)$

$f\left(A_1 \cap A_2\right) \subset f(A_1) \cap f(A_2)$

L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général. Considérons l'unique application $f:\{0,1\}\rightarrow \{0\}$ . L'image par f de toute partie non vide est le singleton ${0}$ .