Infini

Infini : encyclopédie mathématiques

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Le symbole infini

L'infini (du latin finitus, « limité », noté habituellement ∞) est un concept qui s'attache à quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.

[modifier] En mathématiques

L'infini joue un rôle important dans les mathématiques et il n'est pas étonnant de le rencontrer dans plusieurs de ses branches, sous le double aspect du nombre par la théorie des cardinaux et de l' espace par la théorie de la mesure. Ces deux aspects ne se recouvrent pas nécessairement, ainsi un segment ou un disque ont une infinité de points mais une mesure finie.

[modifier] En théorie des ensembles

Un ensemble E est infini si, et seulement si, il n'est équipotent à aucun intervalle borné de $\mathbb {N}$ , ou de façon équivalente, s'il existe au moins une famille non vide de sous-ensembles de E qui n'a pas d'élément minimal pour l'inclusion. ^[1]^,^[2]^,^[3]

Articles détaillés : Ensemble fini et Ensemble infini.

Si l'on admet l'axiome du choix, et seulement à cette condition, ^[4] tout ensemble E est en correspondance biunivoque avec un ordinal ; le plus petit ordinal auquel E est équipotent est alors par définition le cardinal de E.

La notion de nombre cardinal, qui modélise la « taille » des ensembles, s'applique aussi bien aux ensembles finis qu'aux ensembles infinis. Le cardinal (on parle aussi de puissance) des ensembles infinis dénombrables est noté $\aleph_0$ (« aleph-zéro »).

[modifier] Ensembles infinis dénombrables

Un ensemble infini est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une bijection entre lui et $\mathbb{N}$ . Intuitivement, un ensemble infini est dénombrable si, et seulement si, on peut « énumérer » ses éléments: le « premier » élément, le « deuxième » élément, le « troisième » élément, et ainsi de suite sans s'arrêter.

Par exemple, nous pouvons montrer que $\mathbb{Q}^+$ est dénombrable, voir la méthode.

L'ensemble $\mathbb{N}^2$ = $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ des couples d'entiers naturels est lui aussi dénombrable, car à tout couple $(p, q)$ , on peut associer le nombre :

n = [(p + q)(p + q + 1) / 2] + p

, ^[5] et on vérifiera aisément que la fonction ainsi définie est injective.

Dans l'exemple ci-dessus l'énumération des couples est « effective » : le procédé d'énumération est un procédé calculatoire, un algorithme. Mais on peut très bien avoir montré qu'un ensemble est infini dénombrable, par exemple en montrant qu'il est sous-ensemble des entiers et ne peut être fini^[6], sans être capable de donner un procédé effectif d'énumération. Cette dernière notion est étudiée dans l'article ensemble récursivement énumérable.

Le cardinal d'un ensemble fini est un nombre entier naturel. En revanche, le cardinal d'un ensemble infini dénombrable est dit « transfini ».

[modifier] Ensembles infinis non dénombrables

Un ensemble infini non dénombrable ne peut pas être mis en bijection avec $\mathbb{N}$ . On ne peut pas établir une liste de ses éléments.

Ainsi en est-il de l'ensemble des nombres réels. Les nombres réels forment un corps commutatif totalement ordonné $\mathbb{R}$ , archimédien et tel que toute partie majorée admette une borne supérieure ; $\mathbb{R}$ est l'unique corps, à l'isomorphisme près, à satisfaire ces propriétés ; c'est le sur-corps minimal de $\mathbb{Q}$ à satisfaire le critère de Cauchy.

L'ensemble des réels compris entre 0 et 1 est déjà non dénombrable : la démonstration s'appuie sur l'argument de la diagonale de Cantor.

On dit que $\mathbb{R}$ a la puissance du continu, sa puissance (ou son cardinal) est $2^{\aleph_0}$ (le cardinal de l'ensemble des parties de $\mathbb{\N}$ ). L'argument diagonal de Cantor montre du même coup que $\aleph_1$ , le plus petit cardinal non dénombrable, est inférieur ou égal à $2^{\aleph_0}$ (dans ZFC). L'égalité de ces deux cardinaux, que l'on appelle l'hypothèse du continu, est indépendante des axiomes de la théorie des ensembles ZFC.

Article détaillé : Nombre transfini.

[modifier] En géométrie

Les peintres de la Renaissance, cherchant une représentation du réel qui soit fidèle à notre perception, abordèrent (sans le savoir) la question de l'infini lorsqu'ils développèrent les méthodes de représentation perspective. Des lignes horizontales parallèles « se coupent à l'infini » dans l'espace et en un point sur le tableau; ce point du tableau ainsi que la ligne d'horizon du tableau correspondent à une certaine réalité en deux dimensions (2D).

La géométrie projective consiste à rajouter à l'espace affine usuel des points dits « à l'infini » dans chaque direction. Le but est de ne plus faire de distinction entre droites sécantes et droites parallèles, ces dernières ayant un point commun à l'infini. C'est un outil de simplification remarquable. À titre d'exemple, en géométrie projective, il n'existe qu'un seul type de coniques au lieu de trois.

[modifier] En optique géométrique

L'infini est un concept simplificateur en optique:

Un objet situé à l'infini est une source émettant des rayons lumineux parallèles,
Une image se forme à l'infini quand les rayons lumineux qui la forment sont parallèles.

Un œil normal (emmétrope) ou corrigé doit voir nettement une image à l'infini (Punctum remotum).

[modifier] En topologie

[modifier] compactification

L'ajout d'un élément ∞ à un espace topologique localement compact permet de rendre cet espace compact. Il s'agit de la compactification d'Alexandroff.

Soit $(E, U)$ un espace topologique localement compact, son compactifié est l'espace $( E\cup\{\infty\}, U\quad ' )$ , où $\infin$ est un élément extérieur à E, et U' est obtenu de U en lui ajoutant tous les complémentaires dans $E\cup\{\infty\}$ des compacts de $(E, U)$ .

On peut alors définir les « voisinages de l'infini » : il s'agit de toute partie contenant un ouvert de U' \ U.

[modifier] complétion

On peut compléter le corps des nombres réels, en sacrifiant sa propriété de corps, usuellement de deux manières possibles :

soit en le complétant du point de vue algébrique par l'ajout d'un élément $\infty$ , qui devient formellement un inverse de $0$ . C'est un point fixe de l'addition et du produit en ce sens que $(\forall x \in ℝ) x \neq 0 \Rightarrow$ $\infty + x = \infty \land$ $\infty \times x = \infty$ . Par contre, le produit $\infty \times 0$ n'est pas défini.

On obtient ainsi l'espace projectif à 1 dimension. Dans cette complétion, le corps des réels perd son caractère ordonné, puisque l'on peut considérer

\infty

aussi bien comme supérieur à tous les réels finis, que comme inférieur à tous. On peut lui assigner la topologie de compactification d'Alexandroff des réels, par la méthode précédente, ce qui lui confère la même structure topologique que la circonférence.

par l'ajout de deux éléments $+\infty$ (on omet le signe + si on ne risque pas de confusion avec ce qui précède) et $-\infty$ . On considère que $\infty$ est plus grand que tous les nombres réels et que $-\infty$ , et que $-\infty$ est plus petit que les autres éléments y compris $\infty$ . L'ensemble ainsi obtenu est totalement ordonné, mais perd sa structure de corps, ainsi que ses propriétés algébriques. Du point de vue topologique, c'est un espace compact, pour une topologie respectant sa structure d'ordre. Cela lui confère la même topologie qu'un intervalle fermé, par exemple [-1,1].

[modifier] En physique

Le fait que ce concept fasse intrusion dans une théorie est le signe que celle-ci est incomplète, comme le montre la crise majeure que la physique a subie au début du XX^e siècle^[7]. À cette époque la physique se trouvait dans l'incapacité d'expliquer divers phénomènes, dont le fait qu'un corps noir à l'équilibre thermodynamique est censé rayonner un flux infini (voir catastrophe ultraviolette). Ce problème fut résolu par l'introduction des quanta par Planck, ce qui forme la base de la physique quantique.

Dans le cadre de la relativité générale, le Big Bang conduit, dans son interprétation naïve, à l'apparition d'infinis (on parle aussi de singularités) à l'origine des temps, apportant ainsi la preuve que nos connaissances physiques actuelles ne sont pas capables de décrire cette époque lointaine de l'histoire de l'Univers.

Dans plusieurs branches de la physique, comme la théorie quantique des champs ou la physique statistique, les chercheurs ont pu éliminer les divergences indésirables de la théorie à l'aide de techniques mathématiques de renormalisation. Ces techniques n'ont pu être appliquées pour l'instant à la théorie de la gravitation.

[modifier] En théologie

Les religions monothéistes induisent généralement la notion d'infini (ou plus précisément les notions d'éternité et de transcendance), même si elle est moins formalisée que la notion mathématique correspondante.

Une des premières manifestations de cette notion remonte à l'Égypte ancienne, au temps d'Akhénaton, autour du culte du dieu Aton^[8].

Dès l'antiquité, le concept d'infini est présent en Inde^[9], dans la religion jaïniste, qui considérait le monde comme infini.

La Tour de Babel cherchant à atteindre le ciel a été interprétée par des auteurs modernes comme une forme de recherche d'infini^[10] . Depuis les années cinquante les toitures de certaines églises modernes sont en forme de paraboloïde hyperbolique dont la surface mathématique asymptotique semble monter vers l'infini. C'est le cas de l'église Saint-Thibaut au Pecq^[11]. Dans la plaquette éditée par "l'association des Amis de Saint Thibaut" en mai 1965 un chapitre s'intitule: "Que tout s'élève vers l'infini" il y est écrit: "...L'arêtier-poursuit l'exposé du parti-est une hyperbole et nous avons déterminé cette courbe de sorte que l'assemblée ne puisse en voir l'extrémité. Nous pensons que cette particularité contribuera à suggérer l'élan vers l'infini. Telles étaient les idées des architectes" et on lit en légende du tracé schématique de la toiture: "Tracé schématique de la forme de l'église, montrant comment on a pu construire les paraboloïdes hyperboliques à partir d'éléments rectilignes. Les quatre voiles de bois se rejoignent à leur pointe, déterminant une convergence vers l'infini...^[12].

Dans les exemples qui précèdent, l'idée de transcendance est associée à une notion d'espace ou de temps infini. A l'époque moderne Cantor l'associa aussi, semble-t-il, à l'infinité numérique, considérant que ses travaux sur les nombres cardinaux et ordinaux avaient des implications théologiques.^[13]

[modifier] Histoire

[modifier] Usage et opérabilité du concept

[modifier] L'infini potentiel chez les anciens

Les mathématiciens ont de tout temps utilisé l'appartenance et l'inclusion mais ont eu les plus grandes difficultés à associer à ces concepts ceux de nombre et de grandeur. Ils se contentaient alors de la possibilité d'augmenter toute grandeur donnée, ou de la diminuer s'il s'agit d'une grandeur continue ^[14].

C'est ainsi qu'Euclide, au lieu de dire « l'ensemble des nombres premiers est infini », dit « pour toute quantité donnée de nombres premiers, il y en a un plus grand ». De même, Aristote se refuse à considérer qu'une ligne droite est « composée de points ».

Galilée remarque qu'il y a une correspondance biunivoque entre les nombres et leurs carrés, d'où il déduit que l'assertion commune « le tout est plus grand que la partie » ne se vérifie pas lorsqu'on parle de quantités infinies ^[15]. Cependant, loin d'y trouver une motivation pour l'étude des ensembles infinis, il y voit la preuve du caractère non opérationnel de l'infini, position approuvée plus de deux siècles plus tard par Cauchy. ^[16] Ainsi donc, jusqu'assez avant dans l'époque moderne, les mathématiciens s'interdisaient d' utiliser directement les ensembles infinis et préféraient raisonner « en compréhension » sur les propriétés de leurs éléments. Ceci n'empêcha pas la naissance du calcul infinitésimal, donc, ainsi que le reconnaît Bourbaki, ^[17] cette position avait permis des développements importants tout en posant des garde-fous.^[18]

[modifier] L'infini potentiel chez les constructivistes modernes

Issu de la « crise des fondements » du début du XX^e siècle, le courant intuitionniste promu par Brouwer, rejette les méthodes de la logique classique, censée ne pas s'appliquer en tout cas aux objets infinis.^[19] Aujourd'hui ce terme d'intuitionniste s'applique à une axiomatisation bien précise de la logique sans tiers exclu. Une forme de philosophie mathématique qui se revendique volontiers de celle de Brouwer est celle du courant constructiviste, dont un représentant notoire, Roger Apéry a ainsi exposé la conception de l'infini :

S'il extrapole la réalité, le mathématicien constructif refuse les hypothèses fantastiques des platoniciens ; en effet (......) il constate que la mathématique se déroule dans le temps. (.......) son immortalité lui permet d'atteindre des nombres aussi grands qu'il veut, mais pas de définir tous les nombres ; il croit à l'infini potentiel, pas à l'infini actuel.^[20]

C'est l'incursion du temps qui en effet pour les constructivistes distingue l'infini potentiel, dont les parties sont construites successivement, de l'infini actuel, dont les parties sont données simultanément ; or pour eux il s'agit bien d'une activité humaine ; « il n'y a pas de mathématiques sans mathématicien » dit Apéry.

[modifier] L'infini actuel et le temps

Au Moyen Âge, saint Bonaventure avait affirmé que d'un pur point de vue logique — indépendamment de ce que disait la Bible — il était impossible que le monde ait toujours existé ; Thomas d'Aquin réfuta cette assertion par un raisonnement formel, rien en l'absence d'information ne permettant d'exclure a priori une éternité actuellement achevée^[21].

Un sophisme célèbre, imaginé par le créationniste américain W.L. Craig d'après une parabole de Bertrand Russell dont le but était autre, prétend démontrer l'impossibilité d'une durée infinie achevée, et donc prouver que le monde a eu un commencement, par l'histoire de Tristram Shandy, lequel écrit son autobiographie au rythme d'un an d'écriture par journée vécue, et a fait cela toutes les années du passé. Si donc le temps n'a jamais commencé, quel jour de sa vie Tristram Shandy est-il en train de commenter cette année ? Aucun jour du passé ne conviendrait, donc il est impossible que le temps n'ait pas une origine. ^[22]

La supercherie est évidente pour qui connaît les coordonnées cartésiennes : le scénario comporte une contradiction ; Tristram Shandy qui écrit 365,25 fois moins vite que l'horloge a nécessairement commencé son autobiographie quelque jour, ce qui en aucune manière ne prouve la nécessité logique d'un début du temps.

[modifier] Les très grands nombres

Dans l'expression populaire, l'adjectif « infinies » est parfois employé pour qualifier de très vastes étendues ou de très grandes quantités. Remarquons que même finis, les très grands nombres peuvent être difficiles à concevoir. Ainsi les suites de Goodstein sont des suites définies très simplement qui donnent lieu à des nombres qui dépassent l'entendement, bien qu'ils soient encore considérablement plus petits que ceux engendrés par le castor affairé.

[modifier] Les notations

Le symbole actuel de l'infini a été employé pour la première fois en 1655 par John Wallis, dans son ouvrage De sectionibus conicis, puis peu après dans l'Arithmetica Infinitorum :

esto enim ∞ nota numeri infiniti.^[23]

Trois hypothèses existent quant à l'origine de ce choix. La plus communément admise est qu'il s'agit d'une évolution du chiffre désignant '1000' dans la numération romaine : successivement Ⓧ, puis CIƆ, avant de devenir M. L'évolution graphique du deuxième symbole aurait donné $\infin$ . Parallèlement on note l'emploi du mot latin mille au pluriel pour désigner un nombre arbitrairement grand et inconnu^{[réf. nécessaire]}. On notera l’expression française encore utilisée aujourd’hui « des mille et des cents » rappelant cet usage. Le symbole actuel serait donc simplement l’évolution de la ligature minuscule cıɔ en écriture manuscrite onciale.

Une hypothèse concurrente est que le symbole serait issu de la lettre grecque ω, dernière lettre de l'alphabet grec, et métaphore courante pour désigner l'extrémité finale (comme dans l'expression l'alpha et l'oméga). Depuis Georg Cantor on utilise d'ailleurs des lettres grecques pour désigner les nombres ordinaux infinis. Le plus petit ordinal infini, qui correspond au bon ordre usuel sur les entiers naturels, est noté ω.

Enfin, Georges Ifrah, dans son encyclopédie « L'histoire universelle des chiffres », explique que la graphie de l'infini remonte à la civilisation indienne, et plus particulièrement à la mythologie indienne. L'Ananta, (terme sanskrit qui signifie infini) le « serpent infini » du dieu Vishnu, est représenté enroulé sur lui-même à la manière d'un « huit renversé ».

[modifier] Notes et références

↑ Alfred Tarski Sur les ensembles finis 1924 Fund. Math. t.6 p.45, p.95
↑ Patrick Suppes Axiomatic set theory Van Nostrand 265 p.
↑ Roland Fraïssé Logique mathématique, t.1 Gauthier-Villars Paris 1971, p. 12-13-14
↑ Jean-Louis Krivine, Théorie axiomatique des ensembles, P.U.F. Paris 1972 p. 38
↑ J. Garsoud, Analyse mathématique, Dunod Paris 1968 p.29
↑ Par exemple l'ensemble des entiers qui codent une machine de Turing ne s'arrêtant pas sur son propre code, est évidemment dénombrable, mais ne peut être énuméré effectivement voir problème de l'arrêt.
↑ Voir (en) C. W. Misner, Kip Thorne & John Wheeler : Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), chapitre 44.
↑ (1939) Sigmund Freud Der Mann Moses und die monotheistische Religion, Éd. Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main - 1964
Traduit de l’Allemand Par Anne Berman sous le titre Moïse et le monothéisme et consultable en ligne sur la bibliothèque numérique Les Classiques des sciences sociales de l'Université du Québec à Chicoutimi.
↑ Jaina mathematics, J J O'Connor et E F Robertson.
↑ Stefan Zweig "La tour de Babel" essai tome 3: "Leurs sages s’aperçurent qu’une science pratiquée par un peuple seul ne pouvait atteindre l’infini"
↑ Eglise saint-Thibaut
↑ Plaquette intitulée: L'église Saint-Thibaut Marly-le-roi -Le-Pecq éditée par "les amis de Saint Thibaut - 17 bis rue de Saint Cyr - 78160 MARLY LE ROI"
↑ §3.2, Ignacio Jané, « The role of the absolute infinite in Cantor's conception of set », dans Erkenntnis, vol. 42, n^o 3, May 1995, p. 375-402 [lien DOI]
↑ Bourbaki, Eléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV pp.57-58
↑ Galileo Galilei Opere, Ristampa della Edizione Nazionale, Barbara Firenze 129-39, t. 8 pp.78-80
↑ Bourbaki, Eléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV p.58
↑ Bourbaki, Eléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV p.58
↑ Ibid. Bourbaki y voit néanmoins « une certaine dose d'hypocrisie ».
↑ Brouwer semble cependant ne pas rejeter l'infini actuel. Dans sa Dissertation de 1907, p. 97, il écrit : Quant à l’infini actuel des cantoriens, il existe bien, pourvu que nous le confinions à ce qui peut être intuitivement construit, et que nous nous abstenions de l’étendre par des combinaisons logiques qui ne peuvent pas être réalisées - Cité par Michel Bourdeau La critique de la théorie des ensembles dans la dissertation de Brouwer Math. & Sci. hum. / Mathematics and Social Sciences (41e année, n° 164, 2003, p. 29-43) texte en ligne
↑ Ouvrage collectif « Penser les mathématiques », séminaire de l'ENS, Editions du Seuil 1982 p.63 ISBN 2 02 006061 2 exposé en ligne
↑ Texte en ligne d' Ezio Vailati, South Illinois University - voir Aquinas en fin de page
↑ Robin Small The British Journal for the Philosophy of Science, Vol. 37, No. 2 (Jun., 1986), pp. 213-216 résumé de la critique
↑ (en) Earliest uses of symbols of calculus

[modifier] Voir aussi

v · d · m Notion de nombre
Ensembles usuels	$\mathbb{N}$ Entier naturel • $\mathbb{Z}$ Entier relatif • $\mathbb{D}$ Nombre décimal • $\mathbb{Q}$ Nombre rationnel • $\mathbb{R}$ Nombre réel • $\mathbb{C}$ Nombre complexe
Extensions	$\mathbb{H}$ Quaternion • $\mathbb{O}$ Octonion • $\mathbb{S}$ Sédénion • Nombre complexe fendu • Tessarine • Nombre bicomplexe • Nombre multicomplexe • Biquaternion • Coquaternion • Octonion fendu • Nombre hypercomplexe • $\mathbb{Q}_p$ Nombre p-adique • Nombre hyperréel • Nombre superréel • Nombre dual • Droite réelle achevée • Nombre cardinal • Nombre ordinal • Nombre surréel et pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité • Nombre premier • Nombre composé • Carré parfait • Nombre parfait • Nombre positif • Nombre négatif • Fraction dyadique • Nombre irrationnel • Nombre algébrique • Nombre transcendant • Nombre imaginaire pur • Nombre de Liouville • Nombre normal • Nombre univers • Nombre constructible • Nombre réel calculable • Nombre transfini • Infiniment petit • Infiniment grand
Exemples d’importance historique	π Pi • √2 Racine carrée de deux • φ Nombre d’or • 0 Zéro • $i$ Unité imaginaire • $e$ Constante de Neper • ℵ₀ Aleph-zéro • Table de constantes mathématiques
Notions connexes	Chiffre • Numération • Fraction • Opération • Calcul • Algèbre • Arithmétique • Suite d’entiers • ∞ Infini • Chiffre significatif