Isomorphisme (encyclopédie mathématiques)

Pour l'isomorphisme en chimie, voir Isomorphisme (chimie).

Pour l'isomorphisme institutionnel, voir Isomorphisme institutionnel.

En mathématiques, un isomorphisme entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure et dont la réciproque préserve aussi la structure^[1]. Plus généralement en théorie des catégories, un isomorphisme entre deux objets est un morphisme admettant un « morphisme inverse » .

D'autres termes peuvent être utilisés pour désigner un isomorphisme en spécifiant la structure, comme l'homéomorphisme entre espaces topologiques ou le difféomorphisme entre variétés.

Deux objets sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme de l'un vers l'autre. Dans certains contextes, un isomorphisme d'un objet sur lui-même est appelé un automorphisme.

Sommaire

[modifier] Définitions

[modifier] Algèbre

En algèbre, un isomorphisme est un morphisme admettant un inverse qui est lui-même un morphisme.

C'est donc une bijection pour laquelle les relations « algébriques » entre les éléments de l'ensemble d'arrivée sont les mêmes que celles entre leurs antécédents respectifs (la structure algébrique est préservée). Ce « méta-concept » mathématique admet une définition formelle en théorie des catégories.

[modifier] Catégorie

Dans une catégorie C, un isomorphisme est un morphisme $f:A\to B$ tel qu'il existe un morphisme $g:B\to A$ qui soit « inverse » de $f$ à la fois à gauche ( $g\circ f=\mathrm{id}_A$ ) et à droite ( $f\circ g=\mathrm{id}_B$ ).

Il suffit pour cela que f possède d'une part un « inverse à gauche » $g$ et d'autre part un « inverse à droite » $h$ . En effet, on a alors

$g=g\circ\mathrm{id}_B=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=\mathrm{id}_A\circ h=h$ ,

ce qui prouve en outre l'unicité de l'inverse.

En revanche, l'une ou l'autre de ces deux conditions, à elle seule, ne suffit pas.

[modifier] Exemples

Dans la catégorie des ensembles, les isomorphismes sont les bijections.

Dans la catégorie des espaces topologiques, un isomorphisme est une bijection continue d'inverse continue, aussi appelée homéomorphisme.

De la même façon, un isomorphisme entre variétés différentielles (par exemple, entre des ouverts de $\R^n$ ) est un difféomorphisme. Plus précisément, si l'on considère une structure $\mathcal{C}^k$ sur une variété, alors on parle de $\mathcal{C}^k$ -difféomorphisme.

Un isomorphisme d'ordres est une bijection croissante dont la réciproque est croissante.

[modifier] Propriétés

Un isomorphisme est à la fois un épimorphisme et un monomorphisme, mais la réciproque est fausse en général : il existe des morphismes à la fois épiques et moniques qui ne sont pas des isomorphismes.

Pour plus de détails, voir : Propriétés des morphismes dans les catégories.

[modifier] Objets isomorphes

Deux objets reliés par un isomorphisme sont dits isomorphes.

Selon certains points de vues, deux objets isomorphes peuvent être considérés comme identiques, ou du moins indistinguables. En effet, bien souvent, les propriétés intéressantes d'un objet seront partagées par tous les objets isomorphes de la catégorie. Ainsi on parle souvent d'unicité ou d'identité « à un isomorphisme près ».

[modifier] Liens internes

Théorèmes d'isomorphisme
Isomorphisme de graphes
Quasi-isomorphisme

[modifier] Notes et références

↑ Si, pour beaucoup de structures en algèbre, cette seconde condition est automatiquement remplie, ce n'est pas le cas en topologie par exemple où une bijection peut être continue sans que sa réciproque le soit.

Isomorphisme

Sommaire

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[modifier] Algèbre

[modifier] Catégorie

[modifier] Exemples

[modifier] Propriétés

[modifier] Objets isomorphes

[modifier] Liens internes

[modifier] Notes et références

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