Liste des fonctions mathématiques (encyclopédie mathématiques)

En mathématiques, certaines fonctions ont une dénomination usuelle, dépendant éventuellement d'un ou plusieurs paramètres numériques, qui les définit précisément. Il peut s'agir de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes, voire de fonctions arithmétiques.

Sommaire

[modifier] Fonctions d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes

[modifier] Fonctions algébriques

nulle (x ↦ 0)	constantes (x ↦ C)	affines (x ↦ ax+b)
identité (x ↦ x)	linéaires (x ↦ ax)	affines (x ↦ ax+b)
carré (x ↦ x²)	second degré (x ↦ ax²+bx+c)	polynomiales (x ↦ P(x))
cube (x ↦ x³)	puissances (x ↦ xⁿ)	polynomiales (x ↦ P(x))
inverse (x ↦ 1/x)	homographiques $\scriptstyle{\left(x\mapsto\frac{ax+b}{cx+d}\right)}$	rationnelles $\scriptstyle{\left(x\mapsto\frac{P(x)}{Q(x)}\right)}$
	lorentziennes
racine carrée (x ↦ √x)	racine cubique (x ↦ ³√x)

À partir des fonctions constantes (dont la valeur est indépendante de la variable) et de la fonction identité (dont la valeur est égale à la variable), combinées par addition et multiplication, il est possible de définir toutes les fonctions polynomiales, parmi lesquelles se trouvent les fonctions puissance à exposant entier positif. L'utilisation supplémentaire de l'opération de division permet d'obtenir toutes les fonctions rationnelles, dont les fonctions puissance à exposant négatif.

Les réciproques de ces fonctions ont donc une valeur qui est solution d'une équation polynomiale en la variable, comme dans le cas des fonctions racines. Plus généralement, les fonctions dont la variable et la valeur sont reliées par une équation polynomiale à deux inconnues sont appelées fonctions algébriques.

[modifier] Fonctions affines par morceaux

valeur absolue (x ↦ \|x\|) signe (sgn)	partie entière (E : x ↦ [x]) partie fractionnaire (x ↦ {x})	porte (Π) rampe
fonction de Heaviside (H) – fonctions de Walsh (W_j) compte des nombres premiers (π)

Certaines fonctions classiques peuvent être définies par recollement de fonctions plus simples, notamment affines. Elles admettent alors des expressions algébriques différentes sur des intervalles disjoints, telles la valeur absolue, le signe et les parties entière et fractionnaire.

D'autres exemples sont donnés par certaines fonctions caractéristiques d'un ensemble comme la fonction de Heaviside.

[modifier] Fonctions analytiques transcendantes

sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tan), cotangente (cotan), sécante (sec), cosécante (cosec) et leurs réciproques : arc sinus (Arc sin), arc cosinus (Arc cos), arc tangente (Arc tan), arc cotangente (Arc cotan)…

noyau de Dirichlet (D_n) – noyau de Fejér (F_n) • sinus cardinal (sinc)

Fonctions trigonométriques et associées: Elles peuvent être définies analytiquement à partir de la fonction exponentielle complexe et permettent de construire les polynômes trigonométriques comme le noyau de Dirichlet ou celui de Fejér, mais aussi d'autres fonctions comme le sinus cardinal.

exponentielle (exp) – de base a (exp_a) • exponentielles doubles • exponentielles étirées

logarithmes : décimal (log) – népérien (ln) – complexe (Log)

gaussiennes • fonction W de Lambert

Exponentielle, logarithme et associées: Ces fonctions réciproques l'une de l'autre peuvent être toutes deux obtenues comme solution d'une équation différentielle ou à partir d'une série entière et prolongées analytiquement dans le plan complexe.

cosinus hyperbolique (ch) – argument cosinus hyperbolique (argch)
sinus hyperbolique (sh) – argument sinus hyperbolique (argsh)
tangente hyperbolique (th) – argument tangente hyperbolique (argth)…

sigmoïde – logit • fonction de Brillouin (B_J) – fonction de Langevin (L)

Fonctions hyperboliques, logistiques et associées

gamma (Γ) – digamma (Ψ) – polygamma – gamma incomplète – multivariable – bêta (Β) – bêta incomplète – G-fonction de Barnes – K-fonction

fonctions de Mittag-Leffler (E_αβ)

Fonction gamma et associées

logarithme intégral (Li) – exponentielle intégrale (Ei)
sinus intégral (Si) – cosinus intégral (Ci)

fonction d'erreur (erf) – fonctions de Dawson (D₊, D₋)

fonctions de Voigt (V) – fonctions de Pearson • fonction de Gudermann (gd)

Fonctions définies à l'aide d'une intégrale

fonction elliptique de Jacobi (sn, cn, dn)

fonction elliptique de Weierstrass (℘) – zêta (ζ) de Weierstrass – thêta (ϑ)

Fonctions elliptiques et associées

fonctions de Bessel (J_n) – Neumann (Y_n) – modifiées (I_n, K_n) – Hankel (H_α) – Kelvin-Bessel (ber_ν, bei_ν, ker_ν, kei_ν)

fonctions d'Airy (Ai, Bi) – Scorer (Gi, Hi)

harmoniques sphériques (Y_l,m) – ellipsoïdales

fonctions de Mathieu • fonctions cylindro-paraboliques

Fonctions de Bessel, harmoniques et associées

fonctions zêta (ζ) de Riemann – Dedekind – Hasse-Weil – Hurwitz – Lerch

fonction zêta (ζ) de Selberg

fonctions êta (η) de : Dedekind – Dirichlet

fonction bêta (β) de Dirichlet – fonction chi (χ) de Legendre

hypergéométrique confluente – polylogarithme (Li_n)
fonction de Kummer (Λ_n) – fonction de Clausen (Cl_s)

Séries de Dirichlet et L-fonctions: Ces fonctions d'une ou plusieurs variables complexes sont définies à l'aide de séries où une variable apparait en exposant dans chaque terme. Certaines peuvent s'exprimer à l'aide de fonctions hypergéométriques.

[modifier] Autres fonctions d'une variable réelle

Certaines fonctions sont définies avec des irrégularités non isolées, telles la fonction de Dirichlet (indicatrice des rationnels), nulle part continue ; la fonction de Thomae, qui n'est continue qu'aux points irrationnels ; l'escalier de Cantor, non constant bien que presque partout dérivable et de dérivée nulle ; la fonction de Weierstrass, continue mais nulle part dérivable.

D'autres fonctions sont définies par morceaux comme les splines ou la somme de Dedekind (s).

[modifier] Fonctions à variables entières

[modifier] Fonctions arithmétiques

factorielle (!) – indicatrice d'Euler (φ) – fonction diviseur (σ_a) – partition d'un entier (p) – grand omega (Ω) – fonction de Möbius (μ) – Landau (g) – Liouville (λ) – von Mangoldt (Λ) – Mertens (M)

Elles sont définies pour chaque entier naturel (à l'exclusion éventuelle de zéro), souvent à l'aide d'un dénombrement d'un ensemble directement associé aux propriétés arithmétiques cet entier ou des entiers inférieurs.

[modifier] Autres fonctions

fonction d'Ackermann (A) – fonction de Sudan – castor affairé (Σ)

symbole de Kronecker (δ) – symbole de Levi-Civita (ε)

Certaines fonctions en théorie de la calculabilité sont obtenues à partir d'une formulation à plusieurs variables.

[modifier] Voir aussi

Fonction δ de Dirac : elle n'est pas, à proprement parler, une fonction mais une distribution.

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