Logique modale (encyclopédie mathématiques)

La logique modale est une logique à laquelle on a ajouté des modificateurs, qu’on pourrait comprendre en grammaire comme des adverbes.

Par exemple, on peut modifier la proposition « Il pleut » comme ceci :

Il est possible qu’il pleuve,
Il est démontré qu’il est faux qu’il pleuve,
Il n’est pas permis qu’il pleuve,
Alice sait qu’il pleut.

Cette proposition peut donc être respectivement modifiée avec les modes possible, démontré que ne pas, n’est pas permis, Alice sait.

Sommaire

[modifier] Différentes logiques modales

Le carré modal : relations entre les modalités de la logique aristotélicienne

Il existe plusieurs types de logiques modales, dont les modes sont :

classiques (ou aristotéliciens, ou aléthiques) :
- nécessaire, noté $\Box$
- contingent, noté $\neg \Box$
- possible, noté $\Diamond$
- impossible, noté $\neg \Diamond$
épistémiques (relatifs à la connaissance) :
- connu par l'agent $i$ , noté $C i$
- contestable
- exclu
- plausible
- connaissance commune du groupe $G$ d'agents, notée $C K G$
- connaissance partagée du groupe $G$ d'agents, notée $E K G$ (chacun sait)
déontiques (moraux) :
- obligatoire, noté O
- interdit, noté I
- permis, noté P
- facultatif, noté F
temporels :
- toujours, noté $\Box$
- un jour, noté $\Diamond$
- jamais, noté $\neg \Diamond$
- demain, noté X
- jusqu'à ce que, opérateur binaire noté U
- désormais, noté G
- un jour futur, noté F
- toujours dans le passé, noté H
- un jour passé, noté P
doxastiques (sur les croyances) :
- cru, noté B
- croyance commune du groupe $G$ d'agents, notée $C B G$
contrefactuels :
- Si A était vrai, où l'on sait que A n'est pas vrai.
dynamiques (effet d'actions, notées a, sur des propositions) :
- Il existe une exécution de a tel qu'après a, p est vrai, noté $\langle a\rangle p$
- p est vrai après toute exécution de a, noté $[a] p$ .

[modifier] Logique modale aléthique

En logique modale aléthique (ou aristotélicienne, ou classique), nous pouvons exprimer les quatre opérateurs à l’aide d’un seul (ici la nécessité) et de la négation. Ainsi:

impossible est $\square \neg$
possible est $\neg \square \neg$

Une proposition nécessaire ne peut pas être fausse sans impliquer de contradiction, a contrario d’une proposition contingente qui peut impliquer une contradiction.

La logique intuitionniste peut être construite sur la logique aléthique comme une logique modale.

[modifier] Axiomes de logique modale

Chaque logique modale est munie d'une série d'axiomes qui définissent le fonctionnement des modalités. Une logique modale est dite normale ou de Kripke si et seulement si elle admet

(RN) (ou (N) ou (NEC)) la règle d'inférence de nécessitation :

Si A est un théorème, alors $\Box A$ aussi.

(K) l'axiome de distribution de Kripke :

$\Box(A\rightarrow B) \rightarrow( \Box A \rightarrow \Box B)$

En ajoutant d'autres types d'axiomes on obtient d'autre types de logiques modales :

(D) : $\Box P \rightarrow \Diamond P$ soit la nécessité implique la possibilité (en logique aristotélicienne)
(T) (ou (M)): $P \rightarrow \Diamond P$ soit le fait implique la possibilité
(4) : $\Box p\rightarrow\Box\Box p$
(B) : $p\rightarrow\Box\Diamond p$
(5) (ou (E)) : $\Diamond p\rightarrow\Box\Diamond p$

Ces axiomes permettent de définir les systèmes suivants :

K:=K+RN

T:=K+T

S4:=T+4

S5:=S4+B ou T+5

D:=K+D

La suite de systèmes K à S5 forme une hiérarchie imbriquée qui compose le noyau de la logique modale normale. L'axiome D, quant à lui, est principalement utilisé dans les logiques déontique, doxastique et épistémique.

[modifier] Modèles de la logique modale

Article détaillé : Sémantique de Kripke.

Les modèles de Kripke, ou modèles de mondes possibles, donnent une sémantique aux logiques modales. Notons $W$ l'ensemble des mondes possibles et $R$ une relation binaire entre les mondes possibles appelée relation d'accessibilité. Une valuation $v$ affecte à chaque variable propositionelle une valeur de vérité et ce pour chaque monde possible. $v (A, w)$ dénote la valeur de vérité de la proposition $A$ dans le monde $w$ .

La sémantique d'un opérateur modal est définie à partir d'une relation d'accessibilité de la façon suivante :

$v(\square A,w) \text{ ssi } v(A,w') \text{ pour tout } w' \text{ tel que } wRw'$

[modifier] Classification des systèmes de logique modale

Les systèmes de logiques modales sont organisés en fonction des règles d'inférence et des axiomes qui les caractérisent.

[modifier] Logiques modales classiques

Les systèmes de logique modale classiques sont ceux qui acceptent la règle d'inférence suivante :

$(RE) \frac{A \leftrightarrow B}{\Box A \leftrightarrow \Box B}$

L'usage veut que l'on donne à un tel système un nom canonique du type $E \xi_1 \xi_2 \cdots \xi_n$ , où les $ξ i$ sont les noms des axiomes du systèmes.

[modifier] Logiques modales monotones

Les systèmes de logique modale monotones sont ceux qui acceptent la règle d'inférence RM :

$(RM) \frac{A \to B}{\Box A \to \Box B}$

L'ensemble des systèmes monotones est inclus dans l'ensemble des systèmes classiques.

[modifier] Logiques modales régulières

Les systèmes de logique modale réguliers sont ceux qui acceptent la règle d'inférence RR :

$(RR) \frac{(A \wedge B) \to C}{(\Box A \wedge \Box B) \to \Box C}$

L'ensemble des systèmes réguliers est inclus dans l'ensemble des systèmes monotones.

[modifier] Logiques modales normales

Les systèmes de logique modale normaux sont ceux qui acceptent la règle d'inférence RK :

$(RK) \frac{(A_1 \wedge \cdots A_n) \to B}{(\Box A_1 \wedge \cdots \Box A_n) \to \Box B}$

L'ensemble des systèmes normaux est inclus dans l'ensemble des systèmes réguliers.

Une définition équivalente et plus courante des systèmes normaux est la suivante : un système de logique modal est dit normal s'il comporte l'axiome (K) et accepte la règle de nécessitation (RN) comme règle d'inférence :

$(K) \Box (A \to B) \to (\Box A \to \Box B)$

$(RN) \frac{A}{\Box A}$

Les systèmes normaux sont les plus utilisés, car ce sont ceux qui correspondent aux sémantiques de Kripke. Il est cependant possible de trouver des sémantiques pour des logiques classiques non normales, mais elles présentent en général de moins bonnes propriétés.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

Contingent
Dilemme
logique déontique
Théorie Dezert-Smarandache
Logiques multi-valuées
Formule de Sahlqvist
Théorème de Löb

[modifier] Liens externes

(en) James Garson, Modal Logic, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Edward N. Zalta (ed.), 2007.

(en) S4 prover by tableaux method, S4 prover

[modifier] Bibliographie

(en) Patrick Blackburn, Maarten de Rijke et Yde Venema, Modal Logic, 2001 [détail des éditions]
(en) Brian F. Chellas, Modal logic, an introduction, Cambridge University Press, 1980 [détail de l’édition]

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