Loi binomiale

Loi binomiale : encyclopédie mathématiques

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Binomiale
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition

Paramètres	$n \geq 0$ nombre d'épreuves (entier) $0\leq p \leq 1$ probabilité de succès (réel) $q = 1 - p$
Support	$k \in \{0,\dots,n\}\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	${n\choose k} p^k q^{n-k} \!$
Fonction de répartition	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!$
Espérance	$np\!$
Médiane (centre)	un des $\{\lfloor np\rfloor, \lceil np \rceil\}$ ^[1]
Mode	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!$
Variance	$npq\!$
Asymétrie (statistique)	$\frac{1-2p}{\sqrt{npq}}\!$
Kurtosis (non-normalisé)	$\frac{1-6pq}{npq}\!$
Entropie	$\frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p q \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)$
Fonction génératrice des moments	$(q + pe^t)^n \!$
Fonction caractéristique	$(q + pe^{it})^n \!$
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En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p est une loi de probabilité qui correspond à l'expérience suivante :

On renouvelle n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p (expérience aléatoire à deux issues possibles, généralement dénommées respectivement « succès » et « échec », la probabilité d'un succès étant p, celle d'un échec étant $q = (1 - p)$ ). On compte alors le nombre de succès obtenus à l'issue des n épreuves et on appelle X la variable aléatoire correspondant à ce nombre de succès.

L'univers $X(\Omega )~$ désigne l'ensemble des entiers naturels de 0 à n.

La variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par :

$p(k) = P(X = k)= {n \choose k} \, p^k q^{n-k}$

Cette formule fait intervenir le nombre des combinaisons de $k$ éléments parmi $n$ qui se note désormais ${n\choose k}$ même si la notation $\mathrm{C}_{n}^{k}$ a été longtemps utilisée mais n'est plus reconnue. Notons que ce nombre de combinaisons se distingue du nombre des arrangements de $k$ éléments parmi $n$ $\,,A^k_n = \dfrac{n!}{(n-k)!}\,,$ du fait que dans une combinaison l'ordre des éléments n'importe pas. Et comme il y a $k!$ (prononcer factorielle k) façons d'ordonner $k$ éléments, le nombre des combinaisons se déduit du nombre des arrangements par la simple division $\dfrac{A^k_n}{k!}\,$ et on obtient :

${n\choose k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Cette loi de probabilité s'appelle la loi binomiale de paramètre (n ; p) et se note B(n ; p).

Sommaire

[modifier] Calcul de p(k)

Une épreuve de Bernoulli conduit à la création d'un univers Ω = {S ; E}, (S pour Succès et E pour Echec).

n épreuves de Bernoulli indépendantes conduisent à la création d'un univers Ωⁿ constitué de n-uplets d'éléments de Ω, sur lequel peut se définir une probabilité produit. La probabilité de l'éventualité (S, S, ..., S, E, E, ..., E) avec k succès et n - k échecs a donc pour valeur p^kq^n-k.

Plus généralement, tout n-uplet formé de k succès et de n-k échecs aura pour probabilité p^kq^n-k quel que soit l'ordre d'apparition des S et des E.

L'évènement « X = k » est formé de tous les n-uplets comportant k succès et n - k échecs. La combinatoire permet de déterminer le nombre de n-uplets de ce type : il y en a autant que de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments ; or chaque partie correspond à une façon de placer les k succès parmi les n places du n-uplet. Il y a donc ${n \choose k}$ n-uplets, chacun ayant une probabilité égale à p^kq^n-k.

Donc $P(X = k) = {n \choose k} \, p^k (1-p)^{n-k} = {n \choose k} \, p^k q^{n-k}$ .

[modifier] Espérance, variance, écart type

X est la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la (même) loi de Bernoulli de paramètre p, prenant la valeur 1 en cas de succès (probabilité p) et 0 en cas d'échec (probabilité (1-p)) ; ces variables aléatoires ont pour espérance p et pour variance p(1-p).

E(X) est donc la somme des espérances, soit np
V(X) est la somme des variances, soit np(1-p)
$\sigma_{X} = \sqrt{np(1-p)}$

[modifier] Convergence

Pour de grandes valeurs de n, le calcul de ${n \choose k} \, p^k q^{n-k}$ devient vite pratiquement impossible, sauf si l'on cherche à calculer le logarithme de cette expression au lieu de l'expression elle-même (et à condition d'utiliser l'approximation des factorielles par la formule de Stirling). On distingue deux cas :

Lorsque n tend vers l'infini et que p tend vers 0 avec np = a, la loi binomiale converge vers une loi de Poisson de paramètre a. En pratique, on remplace la loi binomiale par une loi de Poisson dès que n > 30 et np < 5 ou dès que n > 50 et p < 0.1.

Démonstration de la convergence vers la loi Poisson

Décomposons ${n \choose k} \, p^k q^{n-k} = {n \choose k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

${n \choose k} \, p^k (1-p)^{n-k} = \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}p^k(1-p)^{n-k} = \frac{(pn)^{k}}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})(1-p)^{n-k}$

On se place dans la situation où np reste constant et où n tend vers l'infini (par conséquent p tend vers 0).

Lorsque n tend vers l'infini, les termes $(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})$ tendent vers 1. Le produit des termes tend également vers 1 puisqu'ils sont en nombre fini.
On a (1 − p)^{n − k} = (1 − p)ⁿ(1 − p) ^{− k}
- Or $\lim_{p \to 0}(1-p)^{-k} = 1$
- De plus, $(1-p)^{n} = (1-\frac{np}{n})^n$ et ce terme tend vers $e - n p$ quand n tend vers l'infini.

On trouve donc ${n \choose k} \, p^k (1-p)^{n-k} \rightarrow \frac{(np)^k}{k!}e^{-np}$ .

Il s'agit de la loi de probabilité d'une loi de Poisson de paramètre

λ = n p

Lorsque n tend vers l'infini et que p et q sont de même ordre de grandeur, la loi binomiale converge vers une loi normale d'espérance np et de variance npq. En pratique, on remplace une loi binomiale par une loi normale dès que n > 30, np > 5 et nq > 5

Démonstration de la convergence vers la loi normale

Supposons que $p (k)$ admette un extremum pour $k = \tilde{k}$ . Alors, $ln p (k)$ admet un extremum $\ln p(\tilde{k})$ , car la fonction logarithme est monotone croissante. On calcule $ln p (k)$ à l'aide de la formule de Stirling :

$\ln (k !) \ \sim \ k \ \ln k \ - \ k \ + \ \frac{1}{2} \ \ln ( 2 \pi k)$

Il vient :

$\ln p(k) \ \sim \ n \ \ln n \ - \ n \ + \ \frac{1}{2} \ \ln ( 2 \pi n) \ - \ \left[ \ k \ \ln k \ - \ k \ + \ \frac{1}{2} \ \ln ( 2 \pi k) \ \right]$

$\ - \ \left[ \ (n-k) \ \ln (n-k) \ - \ (n-k) \ + \ \frac{1}{2} \ \ln ( 2 \pi (n-k) \, ) \, \right] \ + \ k \ln p \ - \ (n-k) \ln (1-p)$

La dérivée par rapport à k donne :

$\frac{d~}{dk} \ln p(k) \ \sim \ \ln \left[ \, \frac{(n-k) \ p}{k \ (1 - p)} \, \right] \ + \ O \left( \frac{1}{k} \right)$

Pour annuler cette dérivée, il faut que l'argument du logarithme soit égal à un. On obtient alors la valeur de k qui rend le logarithme extremum :

$\tilde{k} \ = \ n \, p \ = \ \langle \ k \ \rangle$

La valeur la plus probable est donc la valeur moyenne. La dérivée seconde vaut par ailleurs :

$\frac{d^2~}{dk^2} \ln p(k) \ \sim \ - \ \left[ \, \frac{1}{n-k} \ + \ \frac{1}{k} \, \right] \ + \ O \left( \frac{1}{k^2} \right)$

Calculée en $k = \tilde{k}$ , elle vaut :

$\frac{d^2~}{dk^2} \ln p(\tilde{k}) \ \sim \ - \ \left[ \, \frac{1}{np(1-p)} \, \right] \ = \ - \ \frac{1}{\sigma^2}$

On peut donc écrire le développement limité au second ordre suivant :

$\ln p(k) \ \sim \ \ln p(\tilde{k}) \ + \ \frac{\left( k - \tilde{k} \right)^2}{2} \ \frac{d^2~}{dk^2} \ln p(\tilde{k}) \ + \ o \left( \ \left( k - \tilde{k} \right)^2 \ \right)$

qui s'écrit compte-tenu de ce qui précède :

$\ln p(k) \ \sim \ \ln p(\tilde{k}) \ - \ \frac{\left( k - \tilde{k} \right)^2}{2 \, \sigma^2}$

soit en prenant l'exponentielle :

$p(k) \ \sim \ p(\tilde{k}) \ \exp \ \left[ - \ \frac{\left( k - \tilde{k} \right)^2}{2 \, \sigma^2} \ \right]$

On détermine la constante $p(\tilde{k})$ avec la condition de normalisation des probabilités totales :

$\int_{- \infty}^{+ \infty} p(k) \ dk \ = \ 1 \quad \Longrightarrow \quad p(\tilde{k}) \ = \ \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 \ }}$

d'où la distribution gaussienne :

$p(k) \ = \ \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 \ }} \ \exp \ \left[ - \ \frac{\left( k - \langle \ k \ \rangle \, \right)^2}{2 \, \sigma^2} \ \right]$

[modifier] Loi des grands nombres

La loi binomiale, son espérance et sa variance, ainsi que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permettent de démontrer une version simple de la loi des grands nombres.

[modifier] Références

↑ Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statist. Probab. Lett. 23 21–25.

[modifier] Voir aussi

Probabilité
Probabilité (mathématiques élémentaires)
Variables aléatoires élémentaires
Marche aléatoire

[modifier] Lien externe

v · d · m Lois de probabilités
Lois discrètes à support fini	Loi de Bernoulli • Loi uniforme discrète • Loi binomiale • Loi hypergéométrique • Loi de Benford
Lois discrètes à support dénombrable	Loi géométrique • Loi de Poisson • Loi binomiale négative • Loi logarithmique
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