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Loi de composition interne



Loi de composition interne : encyclopédie mathématiques

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En mathématiques, et plus particuliÚrement en algÚbre générale, une loi de composition interne est une application qui, à deux éléments d'un ensemble E, associe un élément de E. Autrement dit, c'est une opération binaire[1] qui laisse E stable.

L'addition et la multiplication dans l'ensemble des entiers naturels sont des exemples classiques de lois de composition internes.

Les lois de composition internes et externes servent à définir les structures algébriques, qui occupent une place privilégiée en algÚbre générale.

Présentation[modifier | modifier le code]

Nous avons tous depuis le primaire une assez bonne idĂ©e de la notion d'opĂ©rations telles que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division. Une opĂ©ration (interne) dans un ensemble est une relation interne dans cet ensemble, qui, Ă  deux Ă©lĂ©ments quelconques de cet ensemble, appelĂ©s opĂ©randes, en associe Ă©ventuellement un troisiĂšme, unique, nommĂ© rĂ©sultat, toujours dans ce mĂȘme ensemble.

Pour que l’opĂ©ration considĂ©rĂ©e soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu’elle ait un sens quels que soient les deux Ă©lĂ©ments de l’ensemble choisis (on dit formellement que l'opĂ©ration doit ĂȘtre dĂ©finie partout). Ainsi :

  • la division n’est pas une loi de composition interne dans ℝ, parce qu’on ne peut pas diviser par zĂ©ro : par exemple, « 3 / 0 Â» n’a pas de sens. Mais cette mĂȘme division est une loi de composition interne dans ℝ* (ensemble des rĂ©els privĂ© de 0). Enfin cette mĂȘme opĂ©ration n'est pas une loi de composition interne dans â„€* car 2 / 3 n'est pas un entier relatif.
  • la soustraction peut ĂȘtre ou non une loi de composition interne selon l’ensemble de nombres considĂ©rĂ© :
    • s’il s’agit de l’ensemble des nombres usuels, dits entiers naturels { 0, 1, 2, 3,... }, ce n’en est pas une, puisque « 3 – 5 Â», par exemple, n’a pas pour rĂ©sultat l’un de ces nombres usuels.
    • si au contraire, on choisit l’ensemble des entiers relatifs, qui en plus des entiers naturels, contient les entiers nĂ©gatifs { ..., –3, –2, –1}, alors la soustraction est bien une loi de composition interne.

En résumé, une loi de composition interne dans un ensemble E, ou, plus simplement une loi dans E, est une opération qui donne un résultat dans E pour tous les couples possibles d'éléments de E.

Exemples[modifier | modifier le code]

Dans l’ensemble des entiers relatifs, l’addition est une loi de composition interne ayant entre autres les propriĂ©tĂ©s suivantes, qui seront dĂ©finies plus formellement dans la seconde partie de l’article :

  • 0 est Ă©lĂ©ment neutre pour cette loi : l’ajouter Ă  n’importe quel nombre redonne ce nombre : par exemple,   5 + 0 = 5  , et   0 + 8 = 8   ;
  • pour tout entier, il existe un autre nombre, son opposĂ© (le terme gĂ©nĂ©ral est Ă©lĂ©ment symĂ©trique), tel qu’ajoutĂ© au premier, il redonne l’élĂ©ment neutre 0. L’opposĂ© se note comme l’entier initial changĂ© de signe. Ainsi :   3 + (–3) = 0   ;
  • on peut Ă©changer les deux Ă©lĂ©ments autour du signe « + Â» :   3 + 5 = 5 + 3 = 8   . On dit que l’opĂ©ration est commutative ;
  • on peut grouper les Ă©lĂ©ments comme on le souhaite quand on en ajoute plus de deux :   3 + 5 + 4   peut se calculer de deux maniĂšres :
    • en calculant d’abord   3 + 5 = 8   puis en ajoutant   4   au rĂ©sultat,
    • ou en calculant   5 + 4 = 9   avant de calculer   3 + 9   .
Ces deux mĂ©thodes mĂšnent au mĂȘme rĂ©sultat, ce que l’on note :   (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4)   . On dit que l’opĂ©ration est associative.

Ces quatre propriĂ©tĂ©s, existence d’un Ă©lĂ©ment neutre, existence de symĂ©triques, commutativitĂ©, associativitĂ©, peuvent se retrouver pour d’autres ensembles et d’autres lois. Ainsi, on peut Ă©tudier l’ensemble des translations (c’est-Ă -dire les dĂ©placements en ligne droite : par exemple, se dĂ©placer de 3 mĂštres vers la gauche et de 2 mĂštres vers le haut), et une loi de composition interne sur cet ensemble, la composition : la composition de deux translations consistant simplement Ă  faire le premier dĂ©placement, puis le second. On retrouve pour la composition les mĂȘmes propriĂ©tĂ©s que pour l’addition :

  • le neutre est la translation nulle, consistant Ă  ne pas se dĂ©placer ;
  • le symĂ©trique d’une translation consiste Ă  faire le mĂȘme dĂ©placement dans l’autre sens (3 mĂštres Ă  droite et 2 mĂštres vers le bas pour l’exemple prĂ©cĂ©dent) : si on fait successivement les deux, c’est comme si on faisait le dĂ©placement nul ;
  • on peut faire les dĂ©placements dans l’ordre qu’on veut, on retrouve la commutativitĂ© et l’associativitĂ©.

L’ensemble des entiers relatifs avec l’addition, et l’ensemble des translations avec la composition ont ces propriĂ©tĂ©s simples en commun. Un ensemble et une loi qui possĂšdent ces quatre propriĂ©tĂ©s particuliĂšres s’appelle en algĂšbre un groupe abĂ©lien. L' algĂšbre gĂ©nĂ©rale s’attache ensuite Ă  rechercher d’autres propriĂ©tĂ©s plus complexes qui dĂ©coulent de ces quatre premiĂšres. Ces nouvelles propriĂ©tĂ©s seront alors valables aussi bien pour l’ensemble des entiers relatifs que pour celui des translations, et pour tout autre ensemble et tout autre loi de composition interne ayant la structure d’un groupe abĂ©lien, sans qu’il soit nĂ©cessaire de le redĂ©montrer pour chacun.

DĂ©finition formelle[modifier | modifier le code]

On appelle loi de composition interne sur un ensemble E toute application *\, du produit cartĂ©sien E × E dans E.

Un ensemble E muni d’une loi de composition interne *\, constitue une structure algĂ©brique appelĂ©e magma et notĂ©e « ( E, *\, ) Â».

Quelques exemples triviaux, pour un ensemble E non vide :

  • les applications constantes : si c appartient Ă  E : ∀ x ∈ E, ∀ y ∈ E,   x \,* y   = c ;
  • l’application sĂ©lectionnant le terme de gauche : ∀ x ∈ E, ∀ y ∈ E,   x \,* y   = x ;
  • l’application sĂ©lectionnant le terme de droite : ∀ x ∈ E, ∀ y ∈ E,   x \,* y   = y.

ÉlĂ©ments particuliers[modifier | modifier le code]

Composé de deux éléments et composé réciproque[modifier | modifier le code]

Dans un magma ( E, *\, ), on appelle « composĂ© d'un Ă©lĂ©ment x par un Ă©lĂ©ment y Â», l'unique Ă©lĂ©ment x *\, y associĂ© par la loi *\, au couple ( x, y ).

L'élément y *\, x est le composé de y par x. Il est associé par la loi *\, au couple ( y, x ), réciproque du couple ( x, y ); c'est pourquoi il est aussi appelé composé réciproque de x par y ou de x *\, y.


Certains Ă©lĂ©ments jouent un rĂŽle particulier en raison de leurs propriĂ©tĂ©s :

Carrés et dérivés[modifier | modifier le code]

  • un Ă©lĂ©ment  c \, est dit carrĂ© si :    \exists\ x \in E /\ x * x = c \,
En sens inverse, tout Ă©lĂ©ment x   a un carrĂ© unique, notĂ© habituellement « x 2  Â».
Si la loi est notée additivement, le terme de double sera employé de préférence à celui de carré.
Exemple : dans â„€, le double de 3 (pour l'addition) est 6, et son carrĂ© (pour la multiplication) est 9.
  • un Ă©lĂ©ment  s \, est dit idempotent (d'ordre 2) ou projecteur si :    s * s = s \,
En d’autres termes, cet Ă©lĂ©ment est son propre carrĂ©.
Exemples :
  • tout Ă©lĂ©ment neutre d'une loi est idempotent pour cette loi ;
  • dans tout ensemble numĂ©rique les contenant, 0 et 1 sont les seuls Ă©lĂ©ments idempotents pour la multiplication.

Neutres et dérivés[modifier | modifier le code]

  • Un Ă©lĂ©ment e est dit :
    • neutre Ă  gauche si \forall x\in E,e*x=x
    • neutre Ă  droite si \forall x\in E,x*e=x
    • neutre (ou neutre bilatĂšres) lorsqu’il est neutre Ă  droite et Ă  gauche.
Exemple : dans ℝ, l'Ă©lĂ©ment neutre de l'addition est 0, et celui de la multiplication est 1.
Tout Ă©lĂ©ment neutre, mĂȘme unilatĂšre (c’est-Ă -dire soit Ă  gauche, soit Ă  droite, mais pas les deux), est idempotent. De plus, s'il existe un Ă©lĂ©ment neutre Ă  gauche et un Ă©lĂ©ment neutre Ă  droite (a priori Ă©gaux ou non), alors l'ensemble admet un unique Ă©lĂ©ment neutre, et en outre, tout Ă©lĂ©ment neutre Ă  gauche (resp. Ă  droite) lui est Ă©gal.
  • Un Ă©lĂ©ment s est dit involutif s’il existe un Ă©lĂ©ment neutre e et si : s*s=e.
L’élĂ©ment neutre est nĂ©cessairement involutif.
Le seul élément involutif et idempotent est l'élément neutre.
  • Un Ă©lĂ©ment a est symĂ©trique Ă  gauche de l'Ă©lĂ©ment b, si a*b=e. L'Ă©lĂ©ment b est alors symĂ©trique Ă  droite de l'Ă©lĂ©ment a.

Absorbants et dérivés[modifier | modifier le code]

  • un Ă©lĂ©ment  a \, est dit absorbant Ă  gauche si :    \forall\ x \in E ,\ a * x = a \,
  • un Ă©lĂ©ment  a \, est dit absorbant Ă  droite si :    \forall\ x \in E ,\ x * a = a \,
  • un Ă©lĂ©ment  a \, est dit absorbant lorsqu’il est absorbant   Ă  droite et Ă  gauche;
Exemple : dans ℝ, 0 est absorbant pour la multiplication, alors que l'addition ne prĂ©sente pas d'Ă©lĂ©ment absorbant.
Tout Ă©lĂ©ment absorbant, mĂȘme unilatĂšre, est idempotent. De plus, s'il existe un Ă©lĂ©ment absorbant Ă  gauche et un Ă©lĂ©ment absorbant Ă  droite (a priori Ă©gaux ou non), alors l'ensemble admet un unique Ă©lĂ©ment absorbant, et en outre, tout Ă©lĂ©ment absorbant Ă  gauche (resp. Ă  droite) lui est Ă©gal.
  • un Ă©lĂ©ment  s \, est dit nilpotent (d'ordre 2) s’il existe un Ă©lĂ©ment absorbant  a \, et si :    s * s = a \, ;

Le seul élément nilpotent et idempotent est l'élément neutre.

L’élĂ©ment absorbant est nĂ©cessairement nilpotent...

Centre d'une structure[modifier | modifier le code]

  • un Ă©lĂ©ment  c \, est dit commutatif ou central si :    \forall\ x \in E ,\ x * c = c * x  \,
En d'autres termes, un élément est central si son composé par tout élément se confond avec le réciproque de ce composé.
Les éléments neutre et absorbant bilatÚres sont commutatifs.
On appelle centre de E, et on note Z ( E ), l’ensemble des Ă©lĂ©ments commutatifs de E.

Réguliers et dérivés[modifier | modifier le code]

  • un Ă©lĂ©ment  s\in E \, est dit rĂ©gulier Ă  gauche ou simplifiable Ă  gauche si :
 \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( s * x = s * y ) \Rightarrow ( x = y ) \,
  • un Ă©lĂ©ment  s \, est dit rĂ©gulier Ă  droite ou simplifiable Ă  droite si :
 \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( x * s = y * s ) \Rightarrow ( x = y ) \,
  • un Ă©lĂ©ment  s \, est dit rĂ©gulier ou simplifiable lorsqu’il est rĂ©gulier Ă  droite et Ă  gauche ;
  • un Ă©lĂ©ment  s \, est dit antirĂ©gulier ou cosimplifiable si :
 \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( s * x = y * s ) \Rightarrow ( x = y ) \,
  • un Ă©lĂ©ment  s \, est dit irrĂ©gulier Ă  gauche ou non-simplifiable Ă  gauche si :
 \exists\ ( x , y ) \in E^2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( s * x = s * y ) \,
  • un Ă©lĂ©ment  s \, est dit irrĂ©gulier Ă  droite ou non-simplifiable Ă  droite si :
 \exists\ ( x , y ) \in E^2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( x * s = y * s ) \,
  • un Ă©lĂ©ment  s \, est dit irrĂ©gulier ou non-simplifiable lorsqu’il est irrĂ©gulier Ă  droite ou Ă  gauche ;
  • un Ă©lĂ©ment  s \, est dit diviseur de zĂ©ro Ă  gauche s'il existe un Ă©lĂ©ment absorbant  a \, (Ă©videmment unique), diffĂ©rent de  s \,, et si :  \exists\ r \in E /\ ( r \not = a ) \wedge ( s * r = a ) ;
Un diviseur de zĂ©ro Ă  gauche est irrĂ©gulier Ă  gauche ;
  • un Ă©lĂ©ment  s \, est dit diviseur de zĂ©ro Ă  droite s'il existe un Ă©lĂ©ment absorbant  a \,, diffĂ©rent de  s \,, et si :  \exists\ r \in E /\ ( r \not = a ) \wedge ( r * s = a ) ;
Un diviseur de zĂ©ro Ă  droite est irrĂ©gulier Ă  droite ;

Paires d'éléments[modifier | modifier le code]

Des paires d’élĂ©ments peuvent aussi prĂ©senter des propriĂ©tĂ©s particuliĂšres :

  • deux Ă©lĂ©ments  r \, et  s \, seront dits permutables ou commutants si :    r * s = s * r \,
ou, en d'autres termes, si leur composé se confond avec son réciproque.
  • deux Ă©lĂ©ments permutables  r \, et  s \, seront dits symĂ©triques ou inversibles :
    • s’il existe un Ă©lĂ©ment neutre  e \,,
    • et si :    r * s = e ;
  • deux Ă©lĂ©ments permutables  r \, et  s \, seront dits diviseurs de zĂ©ro ou dĂ©sintĂ©grants :
    • s’il existe un Ă©lĂ©ment absorbant  a \,,
    • si aucun des deux Ă©lĂ©ments n’est Ă©gal Ă   a \,,
    • et si :    r * s = a ;
Les diviseurs de zĂ©ro sont irrĂ©guliers. Les Ă©lĂ©ments nilpotents autres que l’élĂ©ment absorbant sont des diviseurs de zĂ©ro.

Exemple: pour les entiers relatifs, 0 est neutre pour l’addition, absorbant pour la multiplication, et neutre à droite pour la soustraction.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Certaines propriĂ©tĂ©s des lois de composition internes, particuliĂšrement intĂ©ressantes, ont reçu un nom. Soit un magma ( E, *\, ) ; la loi *\, peut y prĂ©senter les propriĂ©tĂ©s suivantes :

Existence d’élĂ©ments remarquables[modifier | modifier le code]

  • *\, est dite
    • unifĂšre Ă  gauche s’il existe un Ă©lĂ©ment neutre Ă  gauche. Une loi peut prĂ©senter plusieurs Ă©lĂ©ments neutres Ă  gauche, Ă  condition qu’elle ne prĂ©sente pas d’élĂ©ment neutre Ă  droite ;
    • unifĂšre Ă  droite s’il existe un Ă©lĂ©ment neutre Ă  droite. Une loi peut prĂ©senter plusieurs Ă©lĂ©ments neutres Ă  droite, Ă  condition qu’elle ne prĂ©sente pas d’élĂ©ment neutre Ă  gauche ;
    • unifĂšre (parfois unitaire) s’il existe un Ă©lĂ©ment neutre. Une loi est unifĂšre si et seulement si elle est unifĂšre Ă  gauche et unifĂšre Ă  droite. L’élĂ©ment neutre d’une loi unifĂšre est unique ;
  • *\, est dite
    • absorbante Ă  gauche s’il existe un Ă©lĂ©ment absorbant Ă  gauche. Une loi peut prĂ©senter plusieurs Ă©lĂ©ments absorbants Ă  gauche, Ă  condition qu’elle ne prĂ©sente pas d’élĂ©ment absorbant Ă  droite ;
    • absorbante Ă  droite s’il existe un Ă©lĂ©ment absorbant Ă  droite. Une loi peut prĂ©senter plusieurs Ă©lĂ©ments absorbants Ă  droite, Ă  condition qu’elle ne prĂ©sente pas d’élĂ©ment absorbant Ă  gauche;
    • absorbante s’il existe un Ă©lĂ©ment absorbant. Une loi est absorbante si et seulement si elle est absorbante Ă  gauche et absorbante Ă  droite. L’élĂ©ment absorbant d’une loi absorbante est unique.
  • *\, est dite involutive si elle est unifĂšre et si tous les Ă©lĂ©ments de E sont involutifs.
  • *\, est dite nilpotente si elle est absorbante et si tous les Ă©lĂ©ments de E sont nilpotents.

Régularité et propriétés liées[modifier | modifier le code]

  • *\, est dite rĂ©guliĂšre Ă  gauche ou simplifiable Ă  gauche si tous les Ă©lĂ©ments de E sont rĂ©guliers Ă  gauche, c'est-Ă -dire si :
 \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x * y = x * z ) \Rightarrow ( y = z ) \,
  • *\, est dite rĂ©guliĂšre Ă  droite ou simplifiable Ă  droite si tous les Ă©lĂ©ments de E sont rĂ©guliers Ă  droite, c'est-Ă -dire si :
 \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( y * x = z * x ) \Rightarrow ( y = z ) \,
  • *\, est dite rĂ©guliĂšre ou simplifiable si tous les Ă©lĂ©ments de E sont rĂ©guliers, c’est-Ă -dire si :
 \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ [\ ( x * y = x * z ) \or ( y * x = z * x )\ ] \Rightarrow ( y = z ) \,
Une loi est réguliÚre si et seulement si elle est réguliÚre à gauche et réguliÚre à droite.

Associativité et propriétés analogues[modifier | modifier le code]

  • *\, est dite associative si :
 \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ x * ( y * z ) = ( x * y ) * z \,
On peut noter que l’associativitĂ© d’une loi permet de se passer des parenthĂšses quand on rĂ©pĂšte la loi; la plupart des lois intĂ©ressantes sont associatives (exemples : l’addition, la multiplication, la composition des correspondances,...).
  • *\, est dite alternative si :
 \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ [\ x * ( x * y ) = ( x * x ) * y \ ] \wedge [\ ( x * y ) * y = x * ( y * y )\ ] \,
Cette propriĂ©tĂ© est moins forte que l'associativitĂ©, puisqu’une loi associative est nĂ©cessairement alternative.
  • *\, est dite associative des puissances si :
 \forall\ x \in E ,\ x * ( x * x ) = ( x * x ) * x \,
Cette propriĂ©tĂ© est moins forte que l’alternativitĂ©, puisqu’une loi alternative est nĂ©cessairement associative des puissances.
Quand cette propriĂ©tĂ© est vĂ©rifiĂ©e, il est possible d’introduire la notion de puissance d’un Ă©lĂ©ment (d’oĂč le nom de la propriĂ©tĂ©) :
- la puissance n-iĂšme d’un Ă©lĂ©ment x, notĂ©e habituellement « x n  Â», est Ă©gale au rĂ©sultat de la composition de x selon *\,, (n – 1) fois avec lui-mĂȘme; ainsi   x 1 = x ;   x 2 = x *\, x ;   x 3 = x *\, x *\, x ;...
- si, de plus, la loi *\, prĂ©sente un Ă©lĂ©ment neutre e, on pose alors   x 0 = e
- si, de plus, la loi *\, est inversible (voir plus bas), on pose alors   x–n = (x n )–1
  • *\, est dite permutative[rĂ©f. nĂ©cessaire] si :
 \forall\ ( x , y , z , t ) \in E^4 ,\ ( x * y ) * ( z * t ) = ( x * z ) * ( y * t ) \,
Cette propriété est appelée permutativité car elle permet de permuter les termes moyens dans les expressions du type ci-dessus.
Cette propriĂ©tĂ© est moins forte que l’associativitĂ©, car une loi associative et commutative est nĂ©cessairement permutative; notons toutefois qu’une loi associative, mais non-commutative, n’est pas nĂ©cessairement permutative, et qu’une loi permutative, mĂȘme commutative, n’est pas nĂ©cessairement associative.
(Exemples de lois permutatives non associatives : la soustraction dans â„€ et la division dans ℚ*, ou la loi qui associe Ă  deux points d’un espace affine leur milieu.)

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

  • *\, est dite idempotente si tous les Ă©lĂ©ments de E sont idempotents, c’est-Ă -dire si :
 \forall\ x \in E ,\ x * x = x \,
  • *\, est dite intĂšgre si elle est absorbante et si aucun Ă©lĂ©ment de E n’est diviseur de zĂ©ro, c’est-Ă -dire si :
 \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( x\ *\ a = a\ *\ x = a )\ \wedge\ [\ \forall\ y \in E ,\ ( x\ *\ y = a ) \Rightarrow [\ ( x = a )\ \vee\ ( y = a ) \ ]\ ] \,
  • *\, est dite commutative si tous les Ă©lĂ©ments de E sont commutatifs, c’est-Ă -dire si :
 \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ x * y = y * x ;
Les lois commutatives sont notĂ©es par « + Â», « \top  Â» ou « \bot  Â» plutĂŽt que par « *\, Â».
Les notions de permutativitĂ© et de commutativitĂ© sont des notions diffĂ©rentes: il existe des lois permutatives et non commutatives (comme la soustraction dans â„€) et des lois commutatives qui ne sont pas permutatives (comme la somme des inverses dans ℝ+*).

La liste de propriĂ©tĂ©s ci-dessus n’est pas exhaustive, loin de lĂ . Toutefois, nous n'aborderons dans ce paragraphe qu’un seul autre cas : dans des structures algĂ©briques comportant plusieurs lois, certaines de ces lois ont des propriĂ©tĂ©s relatives Ă  d’autres lois. La plus importante de ces lois relatives est la distributivitĂ©.

  • Une loi *\, peut ĂȘtre distributive par rapport Ă  une autre loi \bot (par exemple, la multiplication l’est par rapport Ă  l’addition) :
 \forall\ ( x , y , z , t ) \in E^4 ,\ ( x \bot y ) * ( z \bot t ) = [ ( x * z ) \bot ( x * t ) ]\ \bot\ [ ( y * z ) \bot (y * t ) ] \,

Cette propriĂ©tĂ© se dĂ©compose en deux parties :

- distributivitĂ© Ă  gauche :
 \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ x * ( y \bot z ) = ( x * y ) \bot ( x * z ) \,
- distributivitĂ© Ă  droite :
 \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x \bot y ) * z = ( x * z ) \bot ( y * z ) \,

Remarque : si dans la situation ci-dessus la loi \bot est rĂ©guliĂšre et unifĂšre, alors son Ă©lĂ©ment neutre est nĂ©cessairement absorbant pour la loi *\,. Cela explique entre autres pourquoi, dans un corps commutatif, l'Ă©lĂ©ment neutre de la premiĂšre loi n'a pas de symĂ©trique par la deuxiĂšme loi.

Inversibilité[modifier | modifier le code]

Cette propriĂ©tĂ© importante mĂ©rite un paragraphe sĂ©parĂ©. Nous nous placerons dans un magma ( E, *\, ) dont nous supposerons la loi unifĂšre, c'est-Ă -dire disposant d'un Ă©lĂ©ment neutre  e \,. Il est alors possible de dĂ©finir les notions suivantes :

  • un Ă©lĂ©ment  s \, est dit symĂ©trisable Ă  gauche ou inversible Ă  gauche si :
 \exists\ s' \in E /\ s' * s = e \,
s' est alors appelĂ© Ă©lĂ©ment symĂ©trique Ă  gauche de s ;
  • un Ă©lĂ©ment  s \, est dit symĂ©trisable Ă  droite ou inversible Ă  droite si :
 \exists\ s' \in E /\ s * s' = e \,
s' est alors appelĂ© Ă©lĂ©ment symĂ©trique Ă  droite de s ;
  • Tout Ă©lĂ©ment inversible Ă  gauche est rĂ©gulier Ă  gauche, et de mĂȘme Ă  droite. Si E est fini, la rĂ©ciproque est vraie car toute injection de E dans E est alors surjective (voir les propriĂ©tĂ©s des bijections).
  • un Ă©lĂ©ment  s \, est dit symĂ©trisable ou inversible lorsqu'il est inversible Ă  droite et Ă  gauche et que les deux symĂ©triques sont Ă©gaux ;
s' est alors appelé élément symétrique de s.
Note : attention Ă  ne pas confondre le symĂ©trique d'un composĂ© avec son rĂ©ciproque !
  • la loi  * \, est dite symĂ©trisable Ă  gauche ou inversible Ă  gauche si tous les Ă©lĂ©ments de E sont inversibles Ă  gauche;
  • la loi  * \, est dite symĂ©trisable Ă  droite ou inversible Ă  droite si tous les Ă©lĂ©ments de E sont inversibles Ă  droite ;
  • la loi  * \, est dite symĂ©trisable ou inversible si tous les Ă©lĂ©ments de E sont inversibles.

Si la loi  * \, est de plus associative, il y a unicitĂ©, pour les Ă©lĂ©ments symĂ©trisables Ă  gauche (respectivement Ă  droite), de leur symĂ©trique Ă  gauche (resp. Ă  droite). Et si un Ă©lĂ©ment s est symĂ©trisable Ă  droite et Ă  gauche alors ses symĂ©triques Ă  gauche et Ă  droite sont forcĂ©ment Ă©gaux entre eux et cet Ă©lĂ©ment est donc symĂ©trisable. Son symĂ©trique est alors notĂ© habituellement « s -1  Â».

Exemples :

  • 2 n'est pas symĂ©trisable pour l'addition dans les entiers naturels ;
  • 2 est symĂ©trisable, de symĂ©trique –2, pour l’addition dans les entiers relatifs ;
  • 2 n’est pas inversible pour le produit dans les entiers relatifs ;
  • 2 est inversible, d’inverse 1/2, pour le produit dans les rationnels.

Remarque :

Lorsque la loi est notée additivement, le symétrique est plutÎt appelé opposé, et quand la loi est notée multiplicativement le symétrique est plutÎt appelé inverse.

Nombre de lois de composition internes sur un ensemble à n éléments[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble à n éléments.

Le nombre de lois de composition internes sur E est le nombre d'applications de E×E dans E, soit

n^{(n^2)}.

On peut compter de mĂȘme combien, parmi elles, sont commutatives. Une loi commutative sur E est entiĂšrement dĂ©terminĂ©e par sa valeur xâœČy=yâœČx pour les paires {x,y} et sa valeur xâœČx pour les singletons {x}. Le nombre de ces paires et singletons Ă©tant

\Gamma_n^2={n+1\choose2}=\frac{n(n+1)}2,

il y a donc

n^{n(n+1)/2}~

lois commutatives sur E.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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AlgĂšbre universelle

Note[modifier | modifier le code]

  1. ↑ Cette utilisation de l'expression « opĂ©ration binaire Â» est inspirĂ©e de l'expression anglaise « binary operation Â», utilisĂ©e en lieu et place de « loi de composition Â». En mathĂ©matiques, le mot « opĂ©ration Â» peut aussi dĂ©signer autre chose qu'une loi de composition interne.

Références[modifier | modifier le code]

  • N. Bourbaki, ÉlĂ©ments de mathĂ©matique, vol. II : AlgĂšbre, Chapitres 1 Ă  3, Springer,‎ 1970 (rĂ©impr. 2007), 2e Ă©d. (ISBN 978-3-540-33849-9, prĂ©sentation en ligne)
  • Serge Lang, AlgĂšbre [dĂ©tail des Ă©ditions]
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