Matrice symétrique (encyclopédie mathématiques)

En algèbre linéaire et bilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée.

Sommaire

[modifier] Exemples

Intuitivement, les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite). La matrice suivante est donc symétrique :

$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\ 4 & 0 & 10\\ 6 & 10 & 12\end{pmatrix}$

Toute matrice diagonale est symétrique.

[modifier] Propriétés

Une matrice représentant une forme bilinéaire est symétrique si et seulement si cette dernière est symétrique.
L'ensemble des matrices symétriques d'ordre n à coefficients dans un corps commutatif est un sous-espace vectoriel de dimension n(n+1)/2 de l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n, et si la caractéristique du corps est différente de 2, un sous-espace supplémentaire est celui des matrices antisymétriques.

[modifier] Matrices symétriques réelles

[modifier] Structure euclidienne

On note $\mathcal{S}^n(\R)$ , ou simplement $\mathcal{S}^n$ s'il n'y a pas de confusion possible, l'espace vectoriel des matrices réelles symétriques d'ordre $n$ . Cet espace vectoriel de dimension $n (n + 1) / 2$ est canoniquement muni d'une structure d'espace euclidien, qui est celle de $\mathcal{M}_n (\R)$ . Le produit scalaire est défini par

$(A,B)\in\mathcal{S}_n\times\mathcal{S}_n\mapsto\langle A,B\rangle:=\operatorname{tr}(A^T B)=\sum_{\scriptstyle 1\leqslant i\leqslant n\atop\scriptstyle 1\leqslant j\leqslant n}A_{ij}B_{ij}\in\R,$

où $\textstyle\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^nA_{ii}$ désigne la trace de $A$ et $A i j$ désigne l'élément $(i, j)$ de $A$ . La norme associée à ce produit scalaire est la norme de Frobenius, que l'on note ici simplement

$\|A\|= \sqrt{ \operatorname{tr}(A^T A)} =\left(\sum_{\scriptstyle 1\leqslant i\leqslant n\atop\scriptstyle 1\leqslant j\leqslant n}A_{ij}^2\right)^{\frac{1}{2}}$

Avec ces notations, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit alors pour tout $A$ et $B\in\mathcal{S}_n$ :

$|\langle A,B\rangle|\leqslant\|A\|\,\|B\|.$

[modifier] Théorie spectrale

[modifier] Décomposition spectrale

Le théorème spectral (en dimension finie) énonce que toute matrice symétrique à éléments réels est diagonalisable à l'aide d'une matrice orthogonale. Ses valeurs propres sont donc réelles et ses sous-espaces propres sont orthogonaux. Une démonstration est proposée dans l'article Endomorphisme autoadjoint.

Remarque : une matrice symétrique à coefficients complexes peut ne pas être diagonalisable. Par exemple : $\begin{pmatrix}1 & i\\i & -1\end{pmatrix}$ En effet, cette matrice admet 0 comme seule valeur propre ; si elle était diagonalisable, elle serait nulle. L'analogue complexe des matrices symétriques réelles est en fait les matrices hermitiennes (qui, elles, sont diagonalisables).

[modifier] Inégalité de Fan

On note $\lambda_i(A)\in\R$ , $i=1,\ldots,n$ , les $n$ valeurs propres de $A\in\mathcal{S}^n$ , que l'on range par ordre décroissant :

$\lambda_1(A)\geqslant \lambda_2(A)\geqslant \cdots\geqslant \lambda_n(A).$

On introduit l'application

$\lambda:\mathcal{S}^n\to\R^n:A\mapsto(\lambda_1(A), \ldots, \lambda_n(A))$

et, pour un vecteur (colonne) $v\in\R^n$ , on note $v^{\top\!}$ le vecteur transposé et $\operatorname{Diag}(v)$ la matrice diagonale dont l'élément $(i, i)$ est $v i$ .

Inégalité de Fan — Pour tout $A$ et $B\in\mathcal{S}^n$ , on a

$\langle A,B\rangle\leqslant\lambda(A)^{\top\!}\lambda(B),$

avec égalité si et seulement si l'on peut obtenir les décompositions spectrales ordonnées $λ(A)$ et $λ(B)$ de $A$ et $B$ par la même matrice orthogonale, c'est-à-dire si et seulement si

$\exists\, V~\mbox{orthogonale}:\quad A=V\;\operatorname{Diag}(\lambda(A))\;V^{\top\!}\quad\mbox{et}\quad B=V\;\operatorname{Diag}(\lambda(B))\;V^{\top\!}.$

Remarques

L'inégalité de Fan a été publiée par K. Fan en 1949^[1], mais elle est reliée étroitement à un travail antérieur de J. von Neumann (1937^[2]). La condition pour avoir l'égalité est due à C. M. Teobald (1975^[3]).
On sait que $A$ et $B\in\mathcal{S}^n$ sont diagonalisables par la même matrice orthogonale si et seulement si elles commutent. La condition énoncée ci-dessus pour avoir l'égalité dans l'inégalité de Fan est plus forte, car elle requiert que les matrices diagonales obtenues soient ordonnées. Ainsi $A=\operatorname{Diag}(1,2)$ et $B=\operatorname{Diag}(2,1)$ commutent mais $\langle A,B\rangle=4$ diffère de $\lambda(A)^{\top\!}\lambda(B)=5$ .
L'inégalité de Fan est un raffinement de l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur $\mathcal{S}^n$ , dans le sens où cette dernière peut se déduire de la première. En effet, si $A=V\,\operatorname{Diag}(\lambda(A))\,V^{\top\!}$ avec $V$ orthogonale, on a $\|\lambda(A)\|_2=\|\operatorname{Diag}(\lambda(A))\|=\|V\,\operatorname{Diag}(\lambda(A))\,V^{\top\!}\|=\|A\|.$ Dès lors l'inégalité de Fan et l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur $\R^n$ donnent $\langle A,B\rangle\leqslant\|\lambda(A)\|_2\,\|\lambda(B)\|_2=\|A\|\,\|B\|.$ On en déduit l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur $\mathcal{S}^n$ en tenant compte également de celle obtenue en remplaçant ci-dessus $B$ par $- B$ .
En appliquant l'inégalité de Fan à des matrices diagonales, on trouve une inégalité de Hardy, Littlewood et Pólya^[4], simple à démontrer directement, selon laquelle le produit scalaire euclidien de deux vecteurs $x$ et $y$ est majoré par celui des vecteurs $[x]$ et $[y]$ obtenus à partir des vecteurs précédents en ordonnant leurs composantes par ordre décroissant : $\forall\,x,y\in\R^n:\qquad x^{\top\!}y\leqslant[x]^{\top\!}[y].$

[modifier] Matrices symétriques positives

Articles détaillés : Matrice positive et Matrice définie positive.

Une matrice $S$ symétrique réelle d'ordre $n$ est dite positive si la forme bilinéaire symétrique associée est positive, c'est-à-dire si

$\forall\,x\in\R^n,\qquad x^{\!\top}Sx\geqslant 0.$

Une matrice $S$ symétrique réelle d'ordre $n$ est dite définie positive si la forme bilinéaire associée est définie et positive, c'est-à-dire si

$\forall\,x\in\R^n\setminus\{0\},\qquad x^{\!\top}Sx> 0.$

[modifier] Utilisations concrètes

Une matrice symétrique d'ordre 3 représente une conique en coordonnées homogènes dans un plan projectif construit à partir de $\mathbb C^3\, \backslash\, \{(0,0,0)\}$ .

[modifier] Annexes

[modifier] Notes

↑ (en) K. Fan (1949). On a theorem of Weyl concerning eigenvalues of linear transformations. Proceedings of the National Academy of Sciences of U.S.A. 35, 652-655.
↑ (en) J. von Neumann (1937). Some matrix inequalities and metrizatiion of matric-space. Tomsk University Review 1, 286-300. In Collected Works, Pergamon, Oxford, 1962, Volume IV, 205-218.
↑ (en) C.M. Teobald (1975). An inequality for the trace of the product of two symmetric matrices. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 77, 265-266.
↑ (en) G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Pólya (1952). Inequalities. Cambridge University Press, Cambridge, U.K.

[modifier] Ouvrage de référence

(en) J.M. Borwein, A.S. Lewis (2000). Convex Analysis an Nonlinear Optimization. Springer-Verlag, New York.

v · d · m Matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • conjuguée • adjointe • inverse • comatrice
En relation	équivalentes • semblables • congruentes
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • positive • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac • de Householder
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • Cholesky • polaire • valeurs singulières Diagonalisation • Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire • Algèbre bilinéaire

Matrice symétrique