Matrice transposée (encyclopédie mathématiques)

Cet article est une ébauche concernant l'algèbre.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une matrice $A \in \mathcal{M}_{n,m}(K)$ est la matrice notée $^{\operatorname t}\!A\in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ (aussi parfois notée $A^{\operatorname T}\,$ , notation recommandée par la norme ISO 31-11, ou $A^{\operatorname t}\,$ ), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$ .

Si B = ^tA alors $\forall(i,j)\in\{1,\ldots,m\}\times\{1,\ldots,n\},\qquad b_{i,j} = a_{j,i}$ .

Exemple : si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ alors $^{\operatorname t}\!A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ .

Sommaire

[modifier] Propriétés

L'application « transposition » est linéaire :

$^{\operatorname t}\!(A + B) = ^{\operatorname t}\!A + ^{\operatorname t}\!B,\quad ^{\operatorname t}\!(aA) = a\ ^{\operatorname t}\!A.$

La transposée de $t A$ est $A$ . Autrement dit, l'application « transposition » $^{\operatorname t}\!:\mathcal{M}_{n,m}(K) \to \mathcal{M}_{m,n}(K)\,$ est une involution. Elle est par conséquent (non seulement linéaire, mais aussi) bijective. C'est donc un isomorphisme.
La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l'ordre inverse :

$^{\operatorname t}\!(A \cdot B) = ^{\operatorname t}\!B \cdot ^{\operatorname t}\!A.$

Si une matrice est inversible (donc carrée) alors la transposée de son inverse est égale à l'inverse de sa transposée :

$^{\operatorname t}\!(A^{-1}) = (^{\operatorname t}\!A)^{-1}.~$

Si $A$ désigne une matrice carrée de dimension $n$ et $B$ sa transposée, alors $A$ et $B$ ont même diagonale principale (et par conséquent également la même trace) : $\forall i \in\{1,\ldots,n\},\qquad b_{i,i} = a_{i,i}.$

En particulier, toute matrice diagonale est symétrique, c'est-à-dire égale à sa transposée.

Plus généralement, deux matrices carrées transposées l'une de l'autre ont même polynôme caractéristique donc mêmes valeurs propres, comptées avec leurs multiplicités (en particulier, non seulement même trace mais aussi même déterminant), et même polynôme minimal. Mieux : sur un corps, elles sont semblables^[1]. Cela se montre en remarquant qu'elles ont les mêmes invariants de similitude.

[modifier] Interprétation : dualité

[modifier] Espaces euclidiens

Dans le cadre des espaces euclidiens, si A représente une application linéaire f:E→F par rapport à deux bases orthonormales B_E, B_F alors sa transposée ^tA représente la matrice, dans les bases B_F, B_E, de son opérateur adjoint f*:F→E, caractérisé par :

$\forall x\in E,\forall y\in F, \quad \langle x,f^*(y)\rangle = \langle f(x),y\rangle$

Plus généralement, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée ^tA représente la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir espace dual).

[modifier] Hypergraphes

Dans la théorie des hypergraphes, si l'on représente un hypergraphe par la matrice à coefficients dans {0,1} qui lui est associée, l'hypergraphe dual est défini par la transposée de cette matrice.

[modifier] Note

↑ Matthieu Romagny, Une remarque sur la transposée d'une matrice, préparation 2008-2009 à l'agrégation de mathématiques, UPMC

[modifier] Voir aussi

v · d · m Matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • conjuguée • adjointe • inverse • comatrice
En relation	équivalentes • semblables • congruentes
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • positive • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac • de Householder
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • Cholesky • polaire • valeurs singulières Diagonalisation • Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire • Algèbre bilinéaire

Matrice transposée

Sommaire

[modifier] Propriétés

[modifier] Interprétation : dualité

[modifier] Espaces euclidiens

[modifier] Hypergraphes

[modifier] Note

[modifier] Voir aussi

Rechercher

Menu

Espace membre

Changer d'île