Matrice triangulaire (encyclopédie mathématiques)

En algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie triangulaire des valeurs, délimitée par la diagonale principale, est nulle.

Sommaire

[modifier] Matrices triangulaires supérieures

Ce sont des matrices carrées dont les valeurs sous la diagonale principale sont nulles :

$A = (a_{i,j}) = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & \cdots & a_{1,n}\\ 0 & a_{2,2} & & & a_{2,n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n,n}\\ \end{pmatrix}$

A est triangulaire supérieure si et seulement si :

$\forall i>j,\quad a_{i,j}=0$

[modifier] Matrices triangulaires inférieures

Ce sont les matrices carrées dont les valeurs au-dessus de la diagonale principale sont nulles :

$A = (a_{i,j}) = \begin{pmatrix} a_{1,1} & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & & \ddots & 0\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & \cdots & a_{n,n}\\ \end{pmatrix}$

A est triangulaire inférieure si et seulement si :

$\forall i<j,\quad a_{i,j}=0$

[modifier] Propriétés des matrices triangulaires

Une matrice triangulaire à la fois inférieure et supérieure est une matrice diagonale.
Le produit de deux matrices triangulaires inférieures (respectivement supérieures) est une matrice triangulaire inférieure (respectivement supérieure).
Plus généralement l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) est une sous algèbre (non commutative) de Mn(K), ensemble des matrices de taille n a valeur dans le corps K.
La transposée d'une matrice triangulaire supérieure est une triangulaire inférieure, et vice-versa.
Une matrice triangulaire A est inversible si et seulement si tous ses termes diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, son inverse est aussi une matrice triangulaire (supérieure si A est supérieure, inférieure sinon).
Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses termes diagonaux, par invariance de similitude du polynôme caractéristique.
Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux :

$\det\left((a_{i,j})_{(i,j)\in[\![1;n]\!]^2}\right) = \prod_{i=1}^n a_{i,i}$ (résultat qui se montre aisément par récurrence sur la taille de la matrice.)

[modifier] Articles connexes

Matrice
Matrice diagonale
Matrice symétrique
Théorème de Lie-Kolchin
Trigonalisation

v · d · m Matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • conjuguée • adjointe • inverse • comatrice
En relation	équivalentes • semblables • congruentes
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • positive • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac • de Householder
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • Cholesky • polaire • valeurs singulières Diagonalisation • Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire • Algèbre bilinéaire

Matrice triangulaire

Sommaire

[modifier] Matrices triangulaires supérieures

[modifier] Matrices triangulaires inférieures

[modifier] Propriétés des matrices triangulaires

[modifier] Articles connexes

Rechercher

Menu

Espace membre

Changer d'île