Matrices semblables

Matrices semblables : encyclopédie mathématiques

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Article détaillé : réduction d'endomorphisme.

En mathématiques, deux matrices carrées A et B sont dites semblables s'il existe une matrice inversible P telle que :

A = P B P - 1

Il s'agit d'une relation d'équivalence.

Deux matrices sont semblables si et seulement si elles constituent deux matrices représentatives du même endomorphisme dans deux bases (éventuellement) différentes. Il ne faut pas confondre la notion de matrices semblables avec celle de matrices équivalentes. En revanche, si deux matrices sont semblables, alors elles sont équivalentes. Un moyen de déterminer si deux matrices sont semblables est de les réduire, c'est-à-dire de les ramener à une forme type : diagonale, forme réduite de Jordan…

[modifier] Exemple

Les matrices suivantes sont semblables :

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ .

En effet, en posant :

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ,

on obtient : $P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ ,

et on vérifie aisément que :

$P^{-1} A P = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} = B$ .

[modifier] Invariants de similitude

Les applications de l'espace des matrices carrées dont le résultat est identique pour une matrice et une matrice qui lui est semblable sont appelés invariants de similitude. En particulier, la trace d'une matrice est un invariant de similitude. Avec les notations précédentes :

$\mathrm{tr}\; B = \mathrm{tr} \left( (P^{-1}A)P \right) = \mathrm{tr} \left( P (P^{-1}A) \right) = \mathrm{tr}\; A$

De même, le rang, le déterminant, les valeurs propres, le polynôme caractéristique et le polynôme minimal sont des invariants de similitudes.

[modifier] Voir aussi

v · d · m Articles en rapport avec les matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • adjointe • inverse • Comatrice
En relation	équivalente • semblable • congruente
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • polaire • valeurs singulières Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire