Nombre algébrique

Nombre algébrique : encyclopédie mathématiques

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En mathématiques, on appelle nombre algébrique tout nombre qui est racine d'une équation algébrique (autrement dit d'un polynôme différent de zéro) à coefficients entiers (ou de manière équivalente, à coefficients rationnels). Sans plus de précision, on suppose qu'un nombre algébrique est un nombre complexe, mais on peut aussi considérer les nombres algébriques dans d'autres corps, tel que le corps des nombres p-adiques. Les éléments d'un certain corps de nombres sont nécessairement des nombres algébriques.

Le polynôme irréductible unitaire ayant ce nombre pour racine est appelé polynôme minimal du nombre algébrique. L'étude de ce nombre, de son polynôme minimal et du corps qui le contient est l'objet d'une théorie, dite de théorie de Galois.

Sommaire

[modifier] Exemples

Tout nombre rationnel est algébrique, car le quotient $\frac{p }{q}\,$ de deux entiers est racine de l'équation $q x - p = 0\,$ .
Un nombre irrationnel peut être ou non algébrique. Par exemple $\sqrt{2}\,$ ou $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{2}\,$ sont algébriques, car ils sont les solutions de $x^2~-~2=0\,$ et $8x^{3}~-~3=0\,$ , respectivement.
Le nombre complexe $i\,$ est algébrique, car il est racine de l'équation $x 2 + 1 = 0$ .

[modifier] Propriétés

Les nombres qui ne sont pas algébriques sont appelés nombres transcendants. "La plupart" des nombres complexes sont transcendants, parce que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable tandis que l'ensemble des nombres complexes, et par conséquent aussi l'ensemble des nombres transcendants, ne l'est pas. Les exemples de nombres transcendants incluent $\pi\,$ et $e\,$ . D'autres exemples sont fournis par le théorème de Gelfond-Schneider.

Tous les nombres algébriques sont calculables et par conséquent sont définissables.

Si un nombre algébrique est racine d'une équation polynômiale de degré n, et s'il n'est racine d'aucune équation polynômiale de degré strictement inférieur à n, on dit que c'est un nombre algébrique de degré n. Par exemple, les nombres algébriques de degré 1 sont les rationnels, et $i,\, \sqrt{2}$ sont algébriques de degré 2.

Le concept de nombre algébrique peut être généralisé à des extensions de corps arbitraires; les éléments dans de telles extensions qui satisfont aux équations polynômiales sont appelés des éléments algébriques.

[modifier] Le corps des nombres algébriques

La somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres algébriques sont encore algébriques : par conséquent, les nombres algébriques forment un corps, habituellement noté $\overline\mathbb{Q}$ ; il est inclus dans $\mathbb{C}$ . On a $\overline\mathbb{Q} \neq \mathbb{C}$ : en effet, il est connu que l'ensemble $\overline\mathbb{Q}$ est dénombrable, alors que $\mathbb{C}$ ne l'est pas. Il en résulte l'existence de nombres qui ne sont pas algébriques : on dit qu'ils sont transcendants. On peut montrer que chaque racine d'une équation polynômiale dont les coefficients sont des nombres algébriques est encore algébrique. Ceci peut être reformulé en disant que le corps des nombres algébriques est algébriquement clos. En fait, c'est le plus petit corps algébriquement clos contenant les nombres rationnels, et il est par conséquent appelé clôture algébrique du corps $\mathbb{Q}$ des rationnels.

Tous les énoncés ci-dessus sont très facilement démontrés dans le contexte général des éléments algébriques d'une extension de corps.

[modifier] Nombres définis par des radicaux

Tous les nombres qui peuvent être obtenus à partir des entiers en utilisant un nombre fini d'additions, de soustractions, de multiplications, de divisions et d'extractions de racines n-ièmes (où n est un nombre entier positif) sont algébriques. La réciproque, néanmoins, n'est pas vraie : il existe des nombres algébriques qui ne peuvent pas être obtenus de cette manière ; d'après la théorie de Galois, tous ces nombres sont de degré supérieur ou égal à 5.

Article détaillé : équation quintique.

et le théorème d'Abel–Ruffini. Un exemple d'un tel nombre est l'unique racine réelle de $x^5-x-1=0\,$ .

[modifier] Entiers algébriques

Article détaillé : entier algébrique.

Un nombre algébrique qui satisfait une équation polynômiale de degré n avec le premier coefficient $a_n~=~1\,$ (c'est-à-dire racine d'un polynôme monique) et tous les autres coefficients a_i appartenant à l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers, est appelé un entier algébrique. Exemples d'entiers algébriques : $3~\sqrt{2}+5\,$ et $6i~-~2\,$ .

La somme, la différence et le produit d'entiers algébriques sont encore des entiers algébriques, ce qui signifie que les entiers algébriques forment un anneau. Le nom entier algébrique provient du fait que les seuls nombres rationnels qui sont des entiers algébriques sont les entiers, et parce que les entiers algébriques dans tout corps de nombres sont sous bien des aspects analogues aux entiers. Si $\mathbb{K}\,$ est un corps de nombres, son anneau d'entiers est le sous-anneau des entiers algébriques dans $\mathbb{K}\,$ , et est fréquemment noté $\mathcal{O}_{\mathbb{K}}\,$ . Ceux-ci sont les prototypes d'anneaux de Dedekind.

[modifier] Généralisation

Plus généralement : soient $\mathbb{K}$ un corps, et $\mathbb{L}$ une extension de $\mathbb{K}$ . Un élément de $\mathbb{L}$ est dit algébrique sur $\mathbb{K}$ s'il est racine d'une équation polynômiale à coefficients dans $\mathbb{K}$ , non tous nuls ; il est dit transcendant sur $\mathbb{K}$ dans le cas contraire.

La définition donnée plus haut s'obtient dans le cas particulier où $\mathbb{K}$ est le corps $\mathbb{Q}$ des rationnels et $\mathbb{L}$ est le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes.

[modifier] Classes particulières de nombres algébriques

Entier de Gauss
Entier d'Eisenstein
Entier de Dirichlet
Entier quadratique
Entier algébrique
Racine de l'unité
Période de Gauss
Nombre de Pisot-Vijayaraghavan
Nombre de Salem

[modifier] Voir aussi

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚ_p corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
$\scriptstyle\mathbb{N}\ \sub\ \mathbb{Z}\ \sub\ \mathbb{D}\ \sub\ \mathbb{Q}\ \sub\ \mathbb{R}\ \sub\ \mathbb{C}$
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : $\sqrt 2$ : φ : 0 : $i$ : e : ℵ₀ :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif